高考数学一轮总复习课件第3章三角函数解三角形第八讲解三角形应用举例（含解析）

第八讲解三角形应用举例课标要求考情分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.本节复习时应联系生活实例，体会建模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法.2.加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力，这也是近几年高考的热点之一术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角测量中的有关术语术语名称术语意义图形表示方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°(续表)术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：

(2)南偏西α：(续表)【名师点睛】易混淆方位角与方向角的概念

(1)方位角是指北方向线按顺时针旋转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.(2)“方位角”与“方向角”的范围：方位角大小的范围是[0°，360°)，方向角大小的范围是[0°，90°).题组一走出误区1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为(

)(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√

题组二走进教材

2.(教材改编题)如图3-8-1所示，设

A，B两点在河的两岸，一测量者在A点所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()图3-8-1答案：A

3.(教材改编题)如图3-8-2所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.

图3-8-2题组三真题展现

4.(2021年全国甲)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.图3-8-3是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，图3-8-3A.346B.373C.446D.473答案：B

5.(2021年全国乙)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图3-8-4，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH)的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(

图3-8-4答案：A考点一距离问题

[例1](2021年宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图3-8-5所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.图3-8-5【题后反思】求距离问题的两个注意事项

(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【变式训练】

(2021年聊城期末)第十届中国花卉博览会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦”，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米.图3-8-6为世纪馆真实图，图3-8-7是世纪馆的简化图.世纪馆的简化图可近似看成是

图3-8-6

图3-8-7A.27米B.28米C.29米D.30米

解析：如图D20所示，过B点作AA′的垂线，垂足为H， 图D20答案：B

考点二测量高度问题

[例2](2021年运城期末)如图3-8-8，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，则此山的高度CD为(

)图3-8-8∵∠CBD＝60°，答案：C【反思感悟】

(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它们是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它们是在水平面上所成的角)是关键.

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.

【变式训练】

如图3-8-9，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()图3-8-9答案：D

考点三测量角度问题

[例3]如图3-8-10，已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？图3-8-10

解：如图3-8-11，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意得，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，图3-8-11由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.

又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.【反思感悟】

(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.

【变式训练】

如图3-8-12，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端)A看建筑物CD的张角∠CAD等于(

图3-8-12A.30°B.45°C.60°D.75°答案：B⊙解三角形中的综合问题【反思感悟】

(1)解三角形中的综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函