第六讲基本初等函数解析版

第六讲：基本初等函数【考点梳理】1．幂函数的概念一般地，形如()的函数称为幂函数，其中底数为自变量，为常数.2．几个常见幂函数的图象与性质函数图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减过定点过定点过定点3．常用结论(1)幂函数在上都有定义.(2)幂函数的图象均过定点.(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.(5)幂函数在第四象限无图象.4.根式的概念及性质（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．（2）性质：①(且)；②当为奇数时，；当为偶数时，5.分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．6.指数幂的运算性质①；②；③.7.指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．（2）指数函数的图象和性质底数图象性质定义域为，值域为图象过定点当时，恒有；当时，恒有当时，恒有；当时，恒有在定义域上为增函数在定义域上为减函数注意指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究8.对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.（3）对数式与指数式的互化：.9.对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：①负数和零没有对数，即；②1的对数等于0，即；③底数的对数等于1，即；④对数恒等式.（2）对数的运算性质如果，那么：①；②；③.（3）对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①；②；③(其中，，均大于0且不等于1，).10.对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．（2）对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过点，即当时，在上是单调增函数在上是单调减函数【典型题型讲解】考点一：幂函数的定义及其图像【典例例题】例1．幂函数在上为增函数，则实数的值为（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D【详解】因为是幂函数，所以，解得或，当时，在上为减函数，不符合题意，当时，在上为增函数，符合题意，所以.故选：D.例2．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且【答案】D【详解】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.故选：D【方法技巧与总结】1、5种特殊幂函数的图像及其性质；2、幂函数的单调性及奇偶性的性质判断方法.【变式训练】1．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．【答案】．（答案不唯一）【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性得到指数满足的条件，再写出一个满足题意的幂函数即可.【详解】设幂函数，由题意，得为奇函数，且在定义域内单调递增，所以（）或（是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为.故答案为：（答案不唯一）.2.已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.【答案】因为是幂函数，，解得或1，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合题意，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，符合题意，.故答案为：.3.如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．从上面任取一个即可得出答案．故答案为：α越大函数增长越快．4.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】当时，函数是增函数，函数值集合是，当时，是减函数，函数值集合是，关于的方程有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根，所以实数的取值范围为.故选：A考点二：指数与指数幂的运算【典例例题】例1．化简：（1）（2）(a>0，b>0).（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）原式（2）原式＝.（3）原式.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；【变式训练】1．=（）A．2 B．1 C．3 D．0【答案】B【详解】解：2.甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【详解】令，则方程可化为，甲写错了常数b，所以和是方程的两根，所以，乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，则可得方程，解得，所以原方程的根是或故选：D考点三：指数函数的图像及性质【典例例题】例1.函数恰有一个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，与只有一个交点，又的图象如下：∴.故选：C.例2.已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为为定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称，且，又，所以．依题意可得，当或时，．所以等价于或，解得或．故选：D【方法技巧与总结】指数函数的解析式具有单一性；指数函数的单调性和图像与底数有关系.【变式训练】1.函数，下列关于函数的说法错误的是（

）A．函数的图象关于原点对称B．函数的值域为C．不等式的解集是D．是增函数【答案】A【解析】【详解】对于A选项，函数的定义域为，且，所以，函数的图象不关于原点对称，A错；对于B选项，因为，所以，，B对；对于C选项，由可得，则，解得，C对；对于D选项，对任意的，，且函数在上单调递减，故函数是增函数，D对.故选：A.2.函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.【答案】或4.5【详解】当时，，过定点，又点在直线上，，即，，，，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故答案为：.3.已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为(

)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由知的图象关于对称，由知的图象关于对称，作出与在,上的图象：由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．故选：B．4．（2022·北京·二模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以的定义域为，，当时，则在上单调递增，所以；要使定义域和值域的交集为空集，显然，当时，若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若时在上单调递减，此时，则，所以，解得，即故选：B5．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，则______．【答案】4043【详解】由题意，函数，可得，设，则两式相加，可得，所以.故答案为：.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则______．【答案】【详解】由，得，于是，又当时，，故可得，则.故答案为：.7．已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【详解】①当时，，在上单调递增，，又，恒成立；②当时，，，又，恒成立；③当时，，，；恒成立；④当时，，，，，解得：，；综上所述：不等式的解集为.故答案为：.8．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______．【答案】【详解】解：因为，当时函数单调递减且，当时，可得在时函数单调递减，在单调递增，若，，则在处取得最大值，不符题意；若，，则在处取得最大值，且，解得，综上可得的范围是．故答案为：考点四：对数概念与对数运算【典例例题】例1.（1）计算；（2）已知，求实数x的值；（3）若，，用a，b，表示．【答案】（1）7；（2）109；（3）．【详解】（1）原式=；（2）因为，所以，所以，所以x=109；（3）因为，所以，所以．【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.【变式训练】1.（1）求的值.（2）已知，，试用，表示【答案】（1）18；（2）.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到原式，再利用换底公式化简即可得到答案.（2）首先根据题意得到，，再利用换底公式化简即可得到答案.【详解】（1）原式（2）由得到，由，得到，即..2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（

）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了.故选：B.3．（2022·广东韶关·一模）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的？（

）（参考数据：）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】．A【详解】设该种放射性物质初始质量为，经过年，剩留量变为，则可建立模型为，

即，所以大约经过16年，该物质剩留的是原来的.故选：A.4．（2022·广东·金山中学高三期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（

）（参考数据）A．11分钟 B．14分钟C．15分钟 D．20分钟【答案】．A【详解】依题意可知时，，即，所以，由，得，两边取以为底的对数得，，所以至少需要分钟.故选：A考点五：对数函数的图像及性质【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）已知函数（，），则的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】．B【详解】由题意，，∴，即为偶函数，排除A、D；当时，，当时，，∴、对应函数值异号，排除C；故选：B例2．（2022·广东珠海·高三期末）设，，，则a，b，c大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】．B【详解】，即，，而，所以，故选：B．【方法技巧与总结】对数的函数的图像画法，定点问题；对数函数的图像及性质应用.【变式训练】1．（2022·广东茂名·一模）已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】．C【详解】解：因为均为大于0的实数，所以，进而将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图，由图可知故选：C2．（2022·广东茂名·一模）已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是___________【答案】【详解】不妨设，由图可得，，所以即，由得，，所以的取值范围是故答案为：3．（2022·广东湛江·一模）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.【答案】．【详解】函数恒过点，且其图象开口向上，的零点为1，当的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：函数的零点至多有两个，不符合题意，故要使恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图示，故解得，故答案为：4.己知实数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】对利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性，，继而得解.【详解】由可得，因为在上单调递增，且，，所以，即，其次，，所以，又因为且单调递增，所以由可知，综上，．故选：A5.（多选题）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（

）A．， B．在上是奇函数C．在上是单调递增函数 D．当时，【答案】BCD【详解】对于A，由图像可知，函数（且）在上单调递增，所以，因为经过，所以，所以，，故A错误.对于B，，定义域关于原点对称，，所以在上是奇函数，故B正确.对于C，对于，由题意不妨令，则，因为，，所以，即，所以在上是单调递增函数，故C正确.对于D，，因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，即当时，成立，故D正确.故选：BCD6.（2022·广东·三模）已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【详解】设，则在R上单调递增，因为，则，设，则，即，所以，设，，当，当，则在单调递减，在单调递增，，即，所以，即，故的取值可以是3和4.故选：CD.【巩固练习】1．已知函数，则（

）A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减【答案】B【解析】【详解】解：定义域为，且，所以为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；故选：B2．1947年，生物学家MaxKleiber发表了一篇题为《bodysizeandmetabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（

）A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍【答案】C【详解】设该哺乳动物原体重为、基础代谢率为，则，经过一段时间生长，其体重为，基础代谢率为，则则，则故选：C3．已知函数，且，则（

）A．26 B．16 C．－16 D．－26【答案】A【详解】由题意得当时，，方程无解，当时，，解得，所以，故选：A4．若函数的零点为，则（

）．A． B．1 C． D．2【答案】B【详解】由题设，由得：，若，可得，若，可得，综上，，故.故选：B5．已知函数满足：对任意，．当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，则，即，所以，即，所以，因为，所以，所以，故选：C6．关于函数和实数的下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】解：因为，所以函数是一个偶函数，又时，与是增函数，且函数值为正数，故函数在上是一个增函数由偶函数的性质得函数在上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，故A错误；B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；C选项是正确的，由，一定得出；D选项由，可得出，但不能得出，不成立，故选：C．7．区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据，）（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间为秒，则有，两边取常用对数，得，所以.故选：B.8．已知，，其中且，且，若，则的值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【详解】因为，所以，得，所以.即.因为，所以，解得故选：A．9．已知正实数x，y，z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，故，故故选：C二、多选题10．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，在单调递增且其图象恒过点，则选项B符合要求；当时，在单调递减且其图象恒过点，在单调递减且其图象恒过点，则选项D符合要求；综上所述，选项B、D符合要求.故选：BD.11．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】【详解】解：设，则，，，所以，即，所以，所以，故D正确；由，所以，故A正确，B错误；因为，，又，所以，即，故C正确；故选：ACD12．下列函数中，存在实数a，使函数为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】对于A中，当时，函数的定义域为，关于原点对称，又由，即，所以函