信号与系统第八章Z变换

第八章Z变换与离散系统的Z域分析8.1Z变换的定义8.2Z变换收敛区及典型序列Z变换8.3逆Z变换

Z变换的性质定理8.4Z变换的性质定理8.5离散系统的复频域分析8.1Z变换的定义

Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理想抽样信号为式中,T为抽样间隔。对上式取双边拉氏变换，得到

交换运算次序，并利用冲激函数的抽样性，得到抽样信号的拉氏变换为(8.1-1)令z=esT或 ，引入新的复变量，式(8.1-1)可写为(8.1-2)式(8.1-2)是复变量Z的函数（T是常数），可写成(8.1-3)式(8.1-3)是双边Z变换的定义。如果x(n)是因果序列，则式(6.1-3)的Z变换为(8.1-4)总结：双边Z变换的定义式单边Z变换的定义式只有当级数收敛时，Z变换才有意义即：8.2Z变换收敛域及典型序列Z变换例8.2-1已知序列分别求它们的Z变换及收敛域。对于任意给定的有界序列x(n),使z变换定义式级数收敛的所有z值得集合，称为z变换X(z)是收敛域（regionofconvergence,简写为ROC）解（1）（2）

X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径的圆外，而X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边Z变换，不同序列的ZT表示式有可能相同，但各自的收敛区一定不同。所以为了惟一确定Z变换所对应的序列，双边Z变换除了要给出X(z)的表示式外，还必须标明X(z)的收敛区。

1.有限长序列

图8.2-1有限长序列示意图Z变换为

：X(z)是有限项级数，级数每项有界，则有限项之和亦有界。当x(n)有界时，n1≤n≤n2,Z变换的收敛区取决于|z|-n，

(1)0≤n1

，X(z)只有z的负幂项,收敛区为

0<

|z|≤∞(2)n2≤0,X(z)只有z的正幂项，收敛区为0≤|z|<∞（3）n1≤0,n2

≥

0,收敛区为0<|z|<∞(4)x(n)=aδ(n)X(z)=a，0≤|z|≤∞例8.2-2已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。解收敛域为0<|z|≤∞2.右边序列

右边序列是有始无终的序列，即n2→∞，如图6.2-2所示。右边序列的Z变换为若满足图8.2-2右边序列示意图即右边序列的收敛域为一个圆外的部分：

当n1≥0时，X(z)的和式中没有z的正幂项，收敛域为例8.2-3已知序列求X(z)。解推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则右边序列的收敛域是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外。

收敛域是以X(z)的极点1/3为半径的圆外3.左边序列

左边序列是无始有终的序列，即n1→-∞，如图8.2-3所示。左边序列的Z变换为当满足图8.2-3左边序列示意图

即左边序列的收敛域为一个圆内的部分：若n2≤0，收敛域还包含’0’点

例8.2-4已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求X(z)。

解

推论：在X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则左边序列收敛区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内。

收敛域是以X(z)的极点b为半径的圆内

4.双边序列

双边序列是无始无终的序列，即n1→-∞，n2→∞。其Z变换为

将双边序列的X(z)分为两部分

双边序列的收敛域为圆环：注意：若Rx2<Rx2,两序列的ROC无重叠区，则该双边序列的ROC不存在例8.2-5已知双边序列x(n)=c|n|，c为实数，求X(z)。

n<0时，

解：n≥0时

讨论：(1)|c|<1时，c|n|波形如图6.2-4所示。

图8.2-4|c|<1双边序列示意图

(2)|c|>1时，c|n|波形如图6.2-5所示。因为 无公共收敛区，所以X(z)的双边Z变换不存在。

图8.2-5|c|>1双边序列示意图8.2.2典型序列的Z变换连续时间系统中非因果信号较少，但在离散系统中非因果序列(单边序列、双边序列)却有一定的应用。

1.δ(n)

2.u(n)3.斜变序列nu(n)|z-1|<1可利用u(n)的Z变换，等式两边分别对z-1求导，得两边各乘以z-1

4.指数序列5.单边正、余弦序列

由指数序列的可推得将正、余弦序列分解为两个指数序列|z|>1同理|z|>16.双边指数序列表8-1常用序列Z变换表8.3逆Z变换

逆Z变换也称反变换，Z反变换可用英文缩写Z-1表示，是由X(z)求x(n)的运算，若(8.3-1)则由柯西积分定理，可以推得逆变换表示式为(8.3-2)即对X(z)zn-1作围线积分，其中c是在X(z)的收敛区内一条逆时针的闭合围线。一般来说，计算复变函数积分比较困难，所以当X(z)为有理函数时，介绍常用的两种反变换方法。8.3.1幂级数展开法将X(z)展开，X(z)=…+x(-1)z+x(0)+x(1)z-1+…，其系数就是x(n)。特别的，对单边的左序列或右序列，当X(z)为有理函数时，幂级数法也称长除法。举例说明用长除法将X(z)展开成级数求得X(z)的方法。

例8.3-1已知 ,求x(n)。解

因为收敛区在1/|a|外，序列为右序列，应展开为z的降幂级数。由此可得x(n)=a-nu(n)。例6.3-2已知 ，求x(n)。

解因为收敛区在1/|a|圆内，序列为左序列，应展开为z的升幂级数。由此可得x(n)=-a-nu(-n-1)。用长除法可将X(z)展开为z的升幂或降幂级数，它取决于X(z)的收敛区。所以在用长除法之前，首先要确定x(n)是左序列还是右序列，由此决定分母多项式是按升幂还是按降幂排列。由长除法可以直接得到x(n)的具体数值，但当X(z)有两个或两个以上极点时，用长除法得到的序列值，要归纳为x(n)闭合式还是比较困难的，这时可以用部分分式法求解x(n)。8.3.2部分分式法

X(z)一般是z的有理函数，可表示为有理分式形式。最基本的分式及所对应的序列为式（8.3-3）是基本Z变换对。部分分式法就是基于此基础上的一种方法，即将X(z)的一般有理分式展开为基本（单极点）有理分式之和。这与傅氏变换、拉氏变换的部分分式法相似。（8.3-3）通常X(z)表示式为（8.4-4）式中,分子最高次为M，分母最高次为N。设M≤N，且X(z)均为单极点，X(z)可展开为式中（8.4-5）（8.4-6）（8.4-7）

因为Z变换的基本形式为，在用部分分式展开法时，可以先将 展开，然后每个分式乘以z，X(z)就可以展开为 的形式，即

（6.4-8）式中,A0对应的变换为A0

δ(n)，根据收敛域最终确定x(n)。

例8.4-3已知 ，|z|>1，求x(n)。解1<|z|，是右边（因果）序列。例8.4-4已知求x(n)。解因为收敛区为2<|z|<3，是双边序列，由此可得x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)

若X(z)在z=d1有一阶的重极点，其余为单极点。X(z)可展开为其中,A0、Ak计算同前，Bk为（8.4-9）作业（1）P1038-1单号题8-28-4单号题8-5（2）（4）8-128.4Z变换的性质定理1.线性若则ax(n)+by(n)aX(z)+bY(z)R-<|z|<R+

（8.4-1）式中一般情况下线性相加后的序列其Z变换的收敛区会改变。2.双边Z变换的位移（移序）性（m>0）若序列x(n)的双边Z变换为证明令n+m=k，代入上式例8.4-23.单边Z变换的位移性(1)若序列x(n)的单边Z变换为则序列左移后单边Z变换为（8.4-3）证明序列左移后单边Z变换的示意图如图6.4-1所示。特别的，图6.3-1序列左移后单边Z变换的示意图8.4-1(2)若x(n)u(n)X(z),则m>0（6.3-4）证明序列右移后单边Z变换的示意图如图8.4-2所示。特别的，图6.3-2序列右移后的单边Z变换8.4-2(3)若x(n)为因果序列，,则(8.4-5)(8.4-6)

例8.4-3求周期序列的单边Z变换。

解周期序列x(n)=x(n+rN)

令n=0~N-1的主值区序列为x1(n)，其Z变换为X1(z)x(n)u(n)=x1(n)+x1(n-N)+x1(n-2N)+…则x(n)的单边Z变换为

与连续周期信号的单边拉氏变换相同，也称为离散周期因子。4.指数序列加权(z域尺度变换)（8.3-7）证

利用指数序列加权性及 ，可推得5.x(n)线性加权或z域微分性(8.3-8)证(交换运算次序)

利用z域微分性及 ，可推得6.复序列的共轭

（8.4-9）利用复序列的共轭及ZT的线性性质，我们可以得到7.初值定理对因果序列x(n)，有（8.4-10）证明:对等式两边取极限8.终值定理若x(n)是因果序列,除单位圆上可有z=1的一阶极点外，其余极点均在单位圆内。则（8.4-11）9.时域卷积定理若w(n)=x(n)*y(n)，则式中例8.4-4求w(n)=x(n)*y(n)。解图8.4-3离散系统的零状态响应求解表8-2Z变换性质与定理作业（2）8-7(选做，目的