福建省龙岩市“长汀、上杭、武平、永定、漳平、连城一中”六校联考高一下学期期中数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年福建省龙岩市“长汀、上杭、武平、永定、漳平、连城一中”六校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．sin300°+tan600°的值是(）A．﹣ B． C．﹣+ D．+2．已知，则在方向上的投影是（）A．1 B．﹣1 C． D．3．角α的终边过点P（﹣8m，﹣6cos60°）且cosα=﹣，则m的值是（)A． B．﹣ C．﹣ D．4．函数y=2cos2（x﹣)﹣1是(）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数5．若sinx+cosx=,0＜x＜π，则tanx的值是(）A． B．﹣ C．﹣ D．6．下列函数中，图象的一部分符合右图的是（)A． B． C． D．7．要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位8．在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=+λ，则实数λ的值为（)A． B． C． D．9．已知函数f(x）=sin2x+cos2x﹣m在［0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是(）A．（﹣1，2) B．［1，2) C．(﹣1，2] D．[1,2]10．若0＜x＜，则=(）A． B． C． D．11．已知函数f（x）=sin(2x+φ），其中φ为实数，若f（x)≤|f（）｜对x∈R恒成立,且f（)＞0，则f（x）的单调递减区间是（）A．［kπ，kπ+］（k∈Z） B．［kπ﹣,kπ+]（k∈Z）C．[kπ+，kπ+]（k∈Z) D．［kπ﹣，kπ］（k∈Z）12．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得g(x）的图象，若对满足f（x1）•g（x2)=﹣1的任意x1,x2，都有|x1﹣x2｜min=，则φ的值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知向量=(1，3)，=（﹣2，0），=（3，2），若向量与向量k垂直，则实数k=．14．若sin（﹣α)=，则cos（+2α）的值为．15．在△ABC中，AB=5，AC=7，若O为△ABC外接圆的圆心，则的值为．16．已知关于θ的方程在区间（0，2π)上有两个不相等的实数根α、β，则sin(α+β）=．三、解答题(本大题共6小题，共70分．）17．已知向量、是夹角为600的单位向量,，，（1）求；（2）当m为何值时，与平行？18．已知,，，,求sin（α+β）的值．19．已知函数f(x）=sinxcosx+1．（1）求函数f(x）的最小正周期和其图象对称中心的坐标;（2）求函数f（x）在上的值域．20．已知A、B、C是△ABC的三个内角,向量=（1，），=（cosA,sinA），且•=1．（1）求角A；（2）若=2，求tanC．21．一半径为4m的水轮（如图），水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；（2）在水轮转动的一圈内,有多长时间点P距水面的高度超过4m．22．已知向量=（2sinθ，sinθ﹣cosθ），，函数的最小值为g（m）．(1）当m=2时，求g（m）的值；（2)求g（m);(3）已知函数h（x)为定义在R上的增函数,且对任意的x1，x2都满足h（x1+x2）=h(x1）+h（x2），问:是否存在这样的实数m,使不等式对所有恒成立．若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

2016-2017学年福建省龙岩市“长汀、上杭、武平、永定、漳平、连城一中”六校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．sin300°+tan600°的值是（）A．﹣ B． C．﹣+ D．+【考点】GO:运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解:sin300°+tan600°=sin+tan=﹣sin60°+tan60°=﹣+=．故选：B．2．已知，则在方向上的投影是（）A．1 B．﹣1 C． D．【考点】MS：向量的投影．【分析】由题意及相关的公式知可以先求出两向量的内积再求出，求出的模，再由公式求出投影即可【解答】解:由题意，∵∴在方向上的投影是==﹣1故选B3．角α的终边过点P(﹣8m，﹣6cos60°）且cosα=﹣，则m的值是（）A． B．﹣ C．﹣ D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】从cosα=﹣,推出α在第二、三象限，﹣6cos60°可知α在第三象限，利用三角函数余弦的定义，可求m的值．【解答】解:P（﹣8m,﹣3），cosα==﹣．∴m=或m=﹣（舍去）．故选A．4．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是(）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；3K:函数奇偶性的判断．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x,∴T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函数．故选A．5．若sinx+cosx=，0＜x＜π,则tanx的值是（）A． B．﹣ C．﹣ D．【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系,三角函数在各个象限中的符号，求得sinx﹣cosx的值，可得sinx和cosx的值,从而求得tanx的值．【解答】解:∵sinx+cosx=，0＜x＜π，∴1+2sinxcosx=，∴sinxcosx=﹣，∴sinx＞0，cosx＜0,∴x为钝角，∴sinx﹣cosx==，∴sinx=，cosx=﹣，则tanx==﹣,故选：B．6．下列函数中，图象的一部分符合右图的是（）A． B． C． D．【考点】HK:由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式．【解答】解：由函数y=sin（ωx+φ）的图象可得=+，∴ω=2，再根据五点法作图可得2•+φ=，∴φ=,∴函数的解析式为y=sin（2x+)，故选：D．7．要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【分析】先根据诱导公式化简可得y=sin［2（x+）］，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案．【解答】解:∵=sin（2x+）=sin[2（x+）]，∴只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数的图象．故选:A．8．在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=+λ，则实数λ的值为()A． B． C． D．【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=μ•,根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ,μ的方程组，解方程组后即可得到λ的值．【解答】解：△ABC中，∵=，P是BN上的一点，∴=μ•=μ•(﹣）=μ（﹣）=﹣μ,∴=+=+﹣μ=（1﹣μ)+．又已知=+λ，∴=1﹣μ，且λ=，由此求得λ=，故选:D．9．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是(）A．（﹣1，2) B．［1,2) C．（﹣1,2］ D．［1，2］【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；51：函数的零点．【分析】由题意可知g（x）=sin2x+cos2x与直线y=m在[0，]上两个交点,数形结合可得m的取值范围．【解答】解：由题意可得函数g(x）=2sin(2x+)与直线y=m在［0，]上两个交点．由于x∈［0,]，故2x+∈[，］，故g（x）∈［﹣1,2]．令2x+=t，则t∈[，]，函数y=h（t）=2sint与直线y=m在[，]上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2,故选B．10．若0＜x＜,则=（）A． B． C． D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数关系式求出cos（），和与差的公式构造出cos2x，即可求出结果．【解答】解：∵0＜x＜，∴,∴cos（）=．cos2x═sin［（）］=2sin（）cos(）=2×=．cos（）=sin（）=，那么：=．故选：A．11．已知函数f(x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x)≤|f（）|对x∈R恒成立,且f（）＞0，则f（x）的单调递减区间是（)A．［kπ，kπ+］（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ+](k∈Z）C．［kπ+，kπ+]（k∈Z) D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）【考点】H2:正弦函数的图象．【分析】由题意可得2×+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ,k∈z①，再由f（）=sin（+φ)＞0②,求得φ=0，可得f（x）=sin2x．令2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的减区间．【解答】解：由题意可得函数f（x）=sin(2x+φ）的图象关于直线x=对称，故有2×+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，k∈z①．又f（）=sin（+φ)＞0②，由①②可得φ=0,∴f（x)=sin2x．令2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈z,求得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z，故选：C．12．将函数f(x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜)个单位后得g（x）的图象，若对满足f（x1）•g(x2)=﹣1的任意x1，x2，都有|x1﹣x2|min=，则φ的值为（）A． B． C． D．【考点】HJ:函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【分析】根据函数平移关系求出函数g（x）的解析式，根据条件对满足f（x1）•g（x2)=﹣1的任意x1,x2，都有｜x1﹣x2｜min=，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ(0＜φ＜）个单位后得g（x）的图象,则g（x）=sin2(x﹣φ）=sin（2x﹣2φ)，则由f（x1）•g（x2)=﹣1得sin2x1•sin（2x2﹣2φ）=﹣1，则sin2x1=1，且sin（2x2﹣2φ）=﹣1,或sin2x1=﹣1,且sin（2x2﹣2φ）=1，根据对称性不妨取sin2x1=1，且sin（2x2﹣2φ）=﹣1，则2x1=+2k1π,2x2﹣2φ=﹣+2k2π,得x1=+k1π，x2=φ﹣+k2π，则x1﹣x2=+k1π,﹣φ+﹣k2π=﹣φ+（k1﹣k2）π，∵|x1﹣x2｜min=，∴|﹣φ+(k1﹣k2)π|min=,∵0＜φ＜，∴当(k1﹣k2）π=0时，﹣φ=，得φ=，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分．）13．已知向量=（1，3），=（﹣2，0），=（3，2）,若向量与向量k垂直，则实数k=．【考点】9R:平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，再由向量的数量积的坐标表示，解方程即可得到k的值．【解答】解：向量=（1,3），=（﹣2，0)，=(3，2）,可得•=3+6=9，•=﹣2×3+0×2=﹣6，向量与向量k垂直,可得•（k）=0，即为k•+•=0，即有9k﹣6=0，解得k==．故答案为：．14．若sin(﹣α）=，则cos（+2α）的值为．【考点】GT：二倍角的余弦;GV：角的变换、收缩变换．【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为2﹣1，再利用诱导公式化为2﹣1，将条件代入运算求得结果．【解答】解:∵=cos2（+α）=2﹣1=2﹣1=2×﹣1=，故答案为：．15．在△ABC中，AB=5,AC=7，若O为△ABC外接圆的圆心，则的值为12．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，由垂径定理得D、E分别为AB、AC的中点，利用三角函数在直角三角形中的定义，可得cos∠OAD=，由向量数量积的定义得•=｜｜•｜｜cos∠OAD=|｜•｜|=｜|2，同理可得•=｜|2，而•=•(﹣）,展开后代入前面的数据即可得到的值．【解答】解:作OD⊥AB于D,OE⊥AC于E，∵⊙O中，OD⊥AB,∴AD=AB，cos∠OAD=，因此，•=||•｜｜cos∠OAD=||•｜｜=｜｜2=；同理可得•=｜｜2=．∴•=•（﹣）=•﹣•=﹣=12．故答案为:12．16．已知关于θ的方程在区间（0，2π）上有两个不相等的实数根α、β，则sin(α+β)=．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由题意变形可得a=﹣2sin（α+)=﹣2sin（β+)，利用正弦函数的图象和性质可求对称轴，进而可求α+β的值，即可得解．【解答】解：∵sinθ+cosθ+a=0，∴a=﹣（sinθ+cosθ)=﹣2sin（θ+），由题意可得a=﹣2sin（α+）=﹣2sin（β+），∴α,β关于或对称，∴α+β=或，∴sin(α+β）=．故答案为：．三、解答题(本大题共6小题，共70分．）17．已知向量、是夹角为600的单位向量，，，（1）求；(2）当m为何值时，与平行？【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量的平方与其模长平方相等，转化为数量积的运算，然后开方求值;(2）利用向量平行的性质得到,借助于平面向量基本定理得到m的值．【解答】解:(1）,∴,∴…4分（2）当∥，则存在实数λ使，所以∵不共线∴∴m=﹣6…18．已知，，，,求sin（α+β）的值．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由同角三角函数基本关系可得sinα和sinβ，代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ,计算可得．【解答】解：∵＜α＜,＜+α＜π，又∵cos（+α）=﹣∴sin（+α）=，，＜，sin（）=，∴cos(）=﹣，sin（α+β）=﹣sin［π+（α+β）］=﹣sin［（+α）+（)］=﹣［sin（+α）cos（）+sin(）cos（+α）］=﹣［×（）﹣］=．19．已知函数f(x）=sinxcosx+1．（1)求函数f（x）的最小正周期和其图象对称中心的坐标；(2）求函数f（x）在上的值域．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质可求对称中心的坐标；（2）x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x)的取值范围．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+1，化简可得：．（1）∴函数f（x）的最小正周期T==π．令,可得，对称中心的坐标：．∴函数f（x）的对称中心．（2）∵，∴∴，∴，故得函数f（x）在上的值域是．20．已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量=（1，），=（cosA，sinA），且•=1．（1)求角A；（2）若=2,求tanC．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量的数量积可得：cosA+sinA=1，再利用和差公式、三角函数求值即可得出．（2）利用倍角公式和同角的三角函数的关系求出tanB，再根据诱导公式和两角和的正切公式即可求出．【解答】解：（1）∵=(1，），=（cosA,sinA），且•=1,∴cosA+sinA=2sin（A+）=1，∴sin（A+）=∵0＜A＜π,∴A=，（2）∵=2，∴===2，∴1+tanB=2﹣2tanB，∴tanB=,∴tanC=﹣tan(A+B）=﹣=﹣=21．一半径为4m的水轮（如图）,水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；(2)在水轮转动的一圈内,有多长时间点P距水面的高度超过4m．【考点】HT:三角形中的几何计算．【分析】（1）以0为原点，建立平面直角坐标系．利用三角函数的定义即可表示点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s)的函数（2）根据(1)中的三角函数关系式,利用三角函数公式化简即可得答案．【解答】解:(1)建立如图所示的平面直角坐标系．依题意，如图易知OP，在ts内所转过的角为,故角是以Ox为始边，OP为终边的角，故P点的纵坐标为，故所求函数关系式为．（2）由点P距水面的