高中数学一轮复习考点专题75 几何问题的转换 (含解析)

PAGE微专题75几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题：①若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率SKIPIF1<0②若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系①可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大②若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，SKIPIF1<0为钝角（再转为向量：SKIPIF1<0；若点在圆上，则SKIPIF1<0为直角（SKIPIF1<0）；若点在圆外，则SKIPIF1<0为锐角（SKIPIF1<0）（3）三点共线问题①通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线②通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0共线SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的角平分线上SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为邻边的平行四边形的顶点SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为邻边的菱形的顶点：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若SKIPIF1<0共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二、典型例题：例1：如图：SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左右顶点，SKIPIF1<0为其右焦点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中项（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程（2）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的动点，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴，若过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，并交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0。证明：SKIPIF1<0三点共线解：（1）依题意可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中项SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为：SKIPIF1<0（2）由（1）可得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立直线与椭圆方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0另一方面，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，联立方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0三点共线例2：已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为上顶点，SKIPIF1<0为坐标原点，若△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，且椭圆的离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且使点为△SKIPIF1<0的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为：SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由（1）可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为△SKIPIF1<0的垂心SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0由SKIPIF1<0为△SKIPIF1<0的垂心可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0①因为SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，代入①可得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0②考虑联立方程：SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．代入②可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，△SKIPIF1<0不存在，故舍去当SKIPIF1<0时，所求直线SKIPIF1<0存在，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）例3：如图，椭圆SKIPIF1<0的一个焦点是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点.（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点SKIPIF1<0且不垂直SKIPIF1<0轴的直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0任意转动，恒有SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的取值范围.解：（1）由图可得：SKIPIF1<0由正三角形性质可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为：SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为钝角SKIPIF1<0联立直线与椭圆方程：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立即SKIPIF1<0恒成立SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0例4：设SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为SKIPIF1<0（1）求椭圆的方程；（2）设SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上不同于点SKIPIF1<0的任意一点，若直线SKIPIF1<0分别与椭圆相交于异于SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0，证明：点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆内解：（1）依题意可得SKIPIF1<0，且到右焦点距离的最小值为SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0（2）思路：若要证SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆内，只需证明SKIPIF1<0为钝角，即SKIPIF1<0为锐角，从而只需证明SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0坐标可求，所以只要设出SKIPIF1<0直线（斜率为SKIPIF1<0），联立方程利用韦达定理即可用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0的坐标，从而SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0表示。即可判断SKIPIF1<0的符号，进而完成证明解：由（1）可得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0与椭圆方程可得：SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0为钝角SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线相交于SKIPIF1<0两点，与椭圆SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，是否存在直线SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0？若存在，求出直线SKIPIF1<0的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0考虑联立直线与抛物线方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0①联立直线与椭圆方程：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②由①②可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0所以存在满足条件的直线，其方程为：SKIPIF1<0例6：在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作抛物线的切线SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0（异于点SKIPIF1<0），直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0与抛物线交于两点SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0（1）求抛物线的方程（2）试问SKIPIF1<0的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解：（1）由准线方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0抛物线方程：SKIPIF1<0（2）设切点SKIPIF1<0，抛物线为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0切线斜率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0切线方程为：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0及SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0SKIPIF1<0共线且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0和抛物线方程：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0再联立SKIPIF1<0直线方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0例7：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的坐标分别是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0轴上一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程（2）直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，若在轨迹SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得四边形SKIPIF1<0为平行四边形（其中SKIPIF1<0为坐标原点），求SKIPIF1<0的取值范围解：（1）设SKIPIF1<0由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心可得：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0轴上一点SKIPIF1<0满足平行关系，可得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0化简可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形SKIPIF1<0设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在椭圆上SKIPIF1<0SKIPIF1<0①因为SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，代入①可得：SKIPIF1<0②联立方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入②可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0有两不等实根可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0SKIPIF1<0另一方面：SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0例8：已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且与椭圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程（2）是否存在过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆交于不同的两点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出直线SKIPIF1<0的方程；若不存在，请说明理由解（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程化为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0过SKIPIF1<0SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0联立直线与椭圆方程：SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0与椭圆相切于SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为：SKIPIF1<0，且可解得SKIPIF1<0（2）思路：设直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）可得：SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，若要求得SKIPIF1<0（或证明不存在满足条件的SKIPIF1<0），则可通过等式SKIPIF1<0列出关于SKIPIF1<0的方程。对于SKIPIF1<0，尽管可以用两点间距离公式表示出SKIPIF1<0，但运算较为复杂。观察图形特点可知SKIPIF1<0共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为SKIPIF1<0同向，所以SKIPIF1<0。写出SKIPIF1<0的坐标即可进行坐标运算，然后再联立SKIPIF1<0与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于SKIPIF1<0的方程，求解即可解：由题意可知直线SKIPIF1<0斜率存在，所以设直线SKIPIF1<0由（1）可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0共线且SKIPIF1<0同向SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0联立直线SKIPIF1<0与椭圆方程：SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0，另一方面，若方程SKIPIF1<0有两不等实根则SKIPIF1<0解得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0符合题意SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例9：设椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直的直线交SKIPIF1<0轴负半轴与点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）求椭圆SKIPIF1<0的离心率（2）若过SKIPIF1<0三点的圆恰好与直线SKIPIF1<0相切，求椭圆SKIPIF1<0的方程（3）在（2）的条件下，过右焦点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，在SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0使得以SKIPIF1<0为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出SKIPIF1<0的取值范围；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）由（1）可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的外接圆的直径为SKIPIF1<0，半径设为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0由圆与直线相切可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0（3）由（2）得SKIPIF1<0：设直线SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为邻边的平行四边形是菱形则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0垂直平分线上的点SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中垂线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0联立方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以存在满足题意的SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的取值范围是SKIPI