第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）

第1页（共1页）第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一．填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）算式÷（）﹣的值为．2．箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的二分之一．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为．3．（10分）设某圆锥的侧面积是10π，表面积是19π，则它的侧面展开图的圆心角是．4．设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么对于不同的自然数x，6△[4▽（x△5）]的取值共有个．5．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要分钟才可将水池注满．6．如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于．7．（10分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620，米，甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第36分钟甲与乙两人在B点相遇．那么O与B两点的距离是米．8．（10分）从1到1000中最多可以选出个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和．二．解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。9．（10分）一个四位数与它的反序数之差可否为1008？请说明理由．10．（10分）已知99个互不相同的质数p1，p2，…p99，．记作N＝++…+，问N被3除的余数是多少？11．（10分）能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．12．（10分）小明拿着100元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有4张不同币值的纸币，4枚不同的硬币．纸币面值大于一元，硬币的面值小于1元．并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被3整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7整除．问小明最多用了多少钱？（注：商店有面值为100元、50元、20元、10元、5元和1元纸币，面值为5角、1角、5分、2分和1分的硬币找零）三．解答下列各题（每小题15分，共60分，要求写出详细过程）13．（15分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点．已知，平行四边形ABCD的面积是1，＝，三角形BHC的面积是，求三角形ADG的面积．14．（15分）记一百个自然数x，x+1，x+2，…，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？

第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一．填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）算式÷（）﹣的值为．【分析】先算小括号里面的加法，再算括号外的除法，最后算减法，由此求解．【解答】解：÷（）﹣，＝÷﹣，＝﹣，＝；故答案为：．2．箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后，红球的数量是黑球的二分之一．若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里红球与黑球数量之比为2：5．【分析】此题中，第一次加球后，变化的是黑球，红球没变（原有的），这时红球数：黑球数＝1：3＝2：6；第二次加球后，黑球是这次没变（球数是第一次变化后的），红球却变化了，这时红球数：黑球数＝1：2＝3：6．对比可知，黑球数一样，红球却多出了1份，这正是第二次加入的红球，当然也是第一次加的黑球数．至此就可求得问题答案了．【解答】解：1﹣：＝＝1：3＝2：6＝1：2＝3：63﹣2＝16﹣1＝5原有红球为2份、黑球为5份．故：原来箱子里的红球与黑球之比为2：5．3．（10分）设某圆锥的侧面积是10π，表面积是19π，则它的侧面展开图的圆心角是324度．【分析】根据圆锥的特征，圆锥的侧面是一个曲面，侧面展开是一个扇形，底面是一个圆，圆锥的表面积＝侧面积+底面积，由题可知底面面积为9π，所以底面半径为3，周长也就是侧面弧长为6π，设角度为A侧面半径为R，则有×πR2＝10π，×2πR＝6π，据此解答．【解答】解：设角度为A侧面半径为R，则有×πR2＝10π，×2πR＝6π，解得：A＝324度．答：它的侧面展开图的圆心角是324度．故答案为：324度．4．设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4＝3，3▽4＝4，那么对于不同的自然数x，6△[4▽（x△5）]的取值共有2个．【分析】首先对x进行分类讨论，分别得出2种结果，据此解答．【解答】解：当x≥5时，x△5＝5，4▽（x△5）＝5，6△[4▽（x△5）]＝5；当x＜4时，x△5＝x，4▽（x△5）＝4，6△[4▽（x△5）]＝4．故答案为：2．5．（10分）某水池有A，B两个水龙头．如果A，B同时打开需要30分钟可将水池注满．现在A和B同时打开10分钟，即将A关闭，由B继续注水40分钟，也可将水池注满．如果单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满．【分析】我们把水池的容量看作单位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用单位“1”除以B的工作效率就是单独打开B龙头注水，需要的时间．【解答】解：1÷[（1﹣）÷40]，＝1÷，＝60（分钟）；答：单独打开B龙头注水，需要60分钟才可将水池注满．故答案为：60．6．如图是一个五棱柱的平面展开图．图中的正方形边长都为2．按图所示数据，这个五棱柱的体积等于7．【分析】如图，两个五边形是折成的五棱柱的底，其面积是正方形的面积减去一个直角三角形的面积，正方形的边长是2，三角形的底和高都是1，据此可求出这个五边形的面积，也就是五棱柱的底面积，五棱柱的高是2，根据直棱的体积＝底面积×高，即可求出这个五棱柱的体积．【解答】解：（2×2﹣×1×1）×2＝（4﹣0.5）×2＝3.5×2＝7；故答案为：77．（10分）一条路上有A、O、B三个地点，O在A与B之间，A与O相距1620，米，甲、乙两人同时分别从A和O点出发向B点行进，出发后第12分钟，甲、乙两人离O点的距离相等；第36分钟甲与乙两人在B点相遇．那么O与B两点的距离是1620米．【分析】设12分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620﹣x）米，所以乙走了（1620﹣x）米，考虑甲乙速度不变，36分钟时，两人到达B点，此时甲行走3x，乙行走3×（1620﹣x）米；所以有AB＝4x，OB＝3×（1620﹣x），又已知AO＝1620米；AB＝AO+OB，得到3x＝1620+3×（1620﹣x），解得x＝1080米；代入OB＝3×（1620﹣x）＝3×（1620﹣1080），解决问题．【解答】解：设12分钟时，甲走了x米，则甲距离O点（1620﹣x）米，所以乙走了（1620﹣x）米，36分钟时，两人到达B点，此时甲行走3x，乙行走3×（1620﹣x）米；因为AB＝AO+OB，得到：3x＝1620+3×（1620﹣x），6x＝6480，x＝1080；O与B两点的距离是：3×（1620﹣1080）＝1620（米）；答：O与B两点的距离是1620米．故答案为：1620．8．（10分）从1到1000中最多可以选出334个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和．【分析】要使取得数最多，必须使除数尽量小，因为自然数按被2除得的余数可以分成2类，即余数是：0、1，这些数中任意两个数的差都能整除它们的和，不合要求；那么再看3，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，然后再把余数分为1与0和2两类讨论即可得出答案．【解答】解：显然，自然数按被3除得的余数可以分成3类，即余数是：0、1、2，被3除余1的所有数，任两个数相加的和被3除余2，差能被3整除，符合要求，对被3除余2的所有数也如此，即2+2＝4，4÷3还是余1，在1到1000中，被3除余1的有334个，余0、2的333个．因此取被3除余1的334个，这些数符合题意；故答案为：334．二．解答下列各题（每题10分，要求写出简要过程）。9．（10分）一个四位数与它的反序数之差可否为1008？请说明理由．【分析】由题意得a＝9，d＝1，则＜2000，﹣1008＜1000，则四位数，﹣1008是三位数，没有这样的数．【解答】解：设这个四位数为，如果这个四位数与它的反序数之差为1008，则a＝9，d＝1，所以＜2000，﹣1008＜1000，则是四位数，﹣1008是三位数，没有这样的数．所以，一个四位数与它的反序数之差不能为1008．10．（10分）已知99个互不相同的质数p1，p2，…p99，．记作N＝++…+，问N被3除的余数是多少？【分析】除3以外，质数除以3的余数只能是1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，（2的平方除以3余1），然后分是否含有质数3讨论．【解答】解：除3外，质数除以3的余数只能是1或2，质数的平方除以3，余数只能是1，所以99个余数1加起来是99，再除以3，余数为0；若这些质数中有3，因为32÷3＝3，余数为0，所以99个余数加起来是98，98÷3＝32…2，答：N除以3的余数是0或2．故答案为：0或2．11．（10分）能否用500个如图所示的1×2的小长方形形成一个5×200的大长方形，使得5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明理由．【分析】500个小长方形就有500个小星星，500个星星平均分成5行，每行就有100个，是偶数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+2＝4（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数，由此可解．【解答】解：可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星，因为；500个小长方形就有500个小星星，500÷5＝100（个），每行100个是偶数；500÷200＝2（个）…100（个）；再把余下的100个平均分给50列，每列分2个，这50列每列就是2+2＝4（个），剩下的150列每列是2个，都是偶数；所以可以使5×200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星．12．（10分）小明拿着100元人民币去商店买文具，回来后数了数找回来的人民币有4张不同币值的纸币，4枚不同的硬币．纸币面值大于一元，硬币的面值小于1元．并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被3整除，所有硬币的面值的和以“分”为单位可以被7整除．问小明最多用了多少钱？（注：商店有面值为100元、50元、20元、10元、5元和1元纸币，面值为5角、1角、5分、2分和1分的硬币找零）【分析】根据能够被3整除的数的特征是：各个数位上的数的和能够被3整除，50+20+10+1＝81元，50+10+5+1＝66元，20+10+5+1＝36元，都能够被3整除，取最小的数是36元，能被7整除，是7的倍数，50+10+2+1＝63分，再加起来即可．【解答】解：能够被3整除，50+20+10+1＝81元，50+10+5+1＝66元，20+10+5+1＝36元，取最小的数是36元，能被7整除是50+10+2+1＝63分，36元+63分＝36元6角3分，100元﹣36元6角3分＝63元3角7分；答：小明最多用了63元3角7分钱．三．解答下列各题（每小题15分，共60分，要求写出详细过程）13．（15分）图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在DC边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点．已知，平行四边形ABCD的面积是1，＝，三角形BHC的面积是，求三角形ADG的面积．【分析】设出平行四边形的底和高，得出F点的位置，进而用平行四边形的底表示出CF、DF、BE、AE的长度，进而用平行四边形的底和高与三角形ADG的底和高的关系，问题即可得解．【解答】解：设平行四边形ABCD的底为a，高为h，ah＝1．AE＝，BE＝，h＝．1．计算F点在CD上的位置：S△BEH＝BE×h÷2﹣S△BCH，＝a×﹣，＝；h1＝2×S△BEH÷BE（h1为△BEH之BE边上的高），＝2×÷a，＝；S△CFH＝CF×（h﹣h1）÷2，＝CF×h÷2﹣S△BCH，所以CF×（﹣）÷2＝CF×÷2﹣，CF×＝CF×﹣，CF×＝，CF＝；DF＝DC﹣CF＝；2．计算△ADG的面积：S△ADG＝S△ADE﹣S△AEG，＝AE×h÷2﹣AE×h2÷2，（h2为△AEG之AE边上的高）＝×÷2﹣×h2÷2，＝﹣×h2，（1）S△ADG＝S△ADF﹣S△DFG，＝DF×h÷2﹣DF×（h﹣h2）÷2，＝（DF×h2）÷2，＝×h2÷2，＝×h2，（2）（2）代入（1）可得：×h2＝﹣×h2，×h2＝﹣×h2，h2＝，S△ADG＝×h2，＝，＝；答：△ADG的面积是．14．（15分）记一百个自然数x，x+1，x+2，…，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？【分析】