2021年宁夏大学附中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

2021年宁夏大学附中高考数学三模试卷(理科)

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分).

1.设集合A=3-2VxV0},B={x\x1-1^0},则AA8=()

A.(-2,0)B.[-1,0)C.(-2,1)D.[-1,1]

2.复数z=(1+i)(2-i)-i的共瓶复数为()

A.3zB.3C・-3iD.-3

3.在等差数列{〃〃}中，已知。3+。5+。7=15,则。1+。9=()

A.4B.6C.8D.10

TT

4.己知信=1,F3=2,且之与己的夹角为二-，则二-丁品=()

0

A.V7B.2&C.万D.779

OJT1

5.已知sin(a+———)=一,则cos2a=()

23

771

A.—B.—C.——

993

6.2020年中秋加国庆8天小长假结束后，根据中商产业研究院的国庆假期旅游统计数据，

分别绘制了8个省的接待游客数量(单位：万人次)和旅游收入(单位：亿元)的折线

图(分别为图1和图2),根据折线图，下列叙述错误的是()

接待游客数6:/万人次

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000---------------------------------------------------------------------------------

Qtillin,，

河南江西湖北贵州广东江苏陕西福建

图1

旅游收入/亿元

600

500

400

300

200

100

0

河南江西湖北贵州广东江界陕西福建

图2

A.河南省的接待游客数量在这8个省中排名第一，江西省的接待游客数量排名第二

B.河南、江西、湖北三省的旅游收入的平均数和江苏、陕西、福建三省的旅游收入的平

均数相差不到1亿元

C.贵州省的旅游收入在这8个省中排名第三

D.这8个省的旅游收入的中位数高于河南省的旅游收入

7.从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人

中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）

A.20B.25C.30D.55

8.已知两条不同的直线/,加和不重合的两个平面a,0,且有下面四个命题：

①若，"_L0,则/〃如

②若a〃仇则/_La；

③若a_Lp,则/〃a；

④若则，7?〃0.

其中真命题的序号是()

A.①②B.②③C.②③④D.①④

9.已知函数/CO=Asin(3x+(p),(A>0,0)>0,|。有两个相邻的极值点

TTTT

分别为:：和T，为了得到函数g(x)=ACOS3X的图象，只需将7(X)图象()

63

A.向左平移等个单位长度B.向右平移2个单位长度

00

TTTT

C.向左平移勺个单位长度D.向右平移多个单位长度

66

10.若M(x,y)在直线上x+2y+l=0移动，贝U2"+4、'的最小值是()

A.唱B.&C.272D.472

11.下列命题中的假命题是()

A.对于命题，p：3xoGR,x()2+xoWO,则一1〃：VxGR,x2+x>0

B.抛物线y=8P的准线方程是丁=-2

C.“x=3”是“x2-3x=0”的充分不必要条件

D.若两直线3x+4)43=0与6x+my+l=0平行，则它们之间的距离为£

22

12.已知双曲线E：25-工5=1(a>0,h>0)的左焦点为Q,过点Fi的直线与两条渐近

线的交点分别为M、N两点(点Q位于点M与点N之间)，且诵=3不，又过点Fi

作修PLOM于尸(点O为坐标原点)，且|ON|=|OP|,则双曲线E的离心率《=()

A.脏B.FC.婴D.第

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若(1-3%)”展开式中各项系数的和等于64,则展开式中/的系数是.

14.已知三棱锥P-4BC中，侧棱底面ABC,AC±BC,PA=AB=2BC=2,则三棱锥

P-ABC的外接球的表面积为.

15.已知数列｛如｝满足如+i=3a“+4,a\—\,则〃”=.

16.若存在区间M=[a，b](a<b)使得｛y|y=f(x),XEM｝=M,则称区间M为函数/(X)

的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：

@f(x)

@f(x)=R

jrv

®f(x)=cos2

@f(x)=lnx+\

其中存在稳定区间的函数有(写出所有正确命题的序号).

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：

共60分)

17.已知/(x)=J^sinxcosjc+sidx.

(1)求/(x)的最小正周期和最大值；

Q

(2)若I,AABC的周长为12,且/'(B)=p求△ABC的面积.

18.中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带

一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、

电子元件、农产品丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，

该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为得，

且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，

则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需全部费用为900元.

(1)求系统需要维修的概率；

(2)该电子产品共由3个系统G组成，设《为电子产品所需要维修的费用，求《的分布

列和数学期望.

19.如图，在四棱锥尸-4BC。中，24,平面A8CO,底面48C。是菱形，PA=AB=2,Z

8Ao=60°.

(I)求证：直线平面PAC；

(II)求直线P8与平面PAO所成角的正切值；

(III)设点M在线段PC上，且二面角的余弦值为擀，求点M到底面488

的距离.

M

B

20.已知椭圆C：2y座b>0)的离心率为《，并且经过P(0,正)点.

a"/2

(I)求椭圆C的方程；

(H)设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为3,点8关于x轴的对

称点为6,直线P9交x轴于点M,求证：|OMqCW|为定值.

21.已知函数f(x)=ax-型巴，a€R

x

(I)当a=l时，求/(X)的图象在点P(e,7(e))处的切线方程；

(II)设函数g(x)^xf(x)-4,讨论函数g(x)的零点个数.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的

第一题记分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

'Y=A/2COSa

22.在直角坐标系xOy中，曲线C,的参数方程是《1J(a是参数).以原点。

y=sind.

为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是

兀

Psin(8

(1)求曲线Ci的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)设P为曲线G上的动点，过P点且与x轴垂直的直线交C2于点A,求|PA|的最小

值，并求此时点P的直角坐标.

［选修4-5：不等式选讲］

23.设函数/(x)=k-2|-|2x+l|.

(I)求不等式/(x)Wx的解集；

(H)若不等式f(x)，尸-，在xe［-2,-1］时恒成立，求实数，的取值范围.

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1.设集合A={x|-2VxV0},^^{xlx2-1^0},则AA3=()

A.(-2,0)B.[-1,0)C.(-2,1)D.[-1,1]

解：・・・集合A={x|-2VxV0},

-1W0}={x|-KW1},

：.AQB={x\-l<x<0}=[-1,0).

故选：B.

2.复数z=（1+i）（2-/）-i的共辄复数为（）

A.3zB.3C.-3zD.-3

解:由z=(1+z)(2-i)-i=3f

得1=3-

故选：B.

3.在等差数列{〃〃}中，已知。3+。5+。7=15,则〃1+。9=()

A.4B.6C.8D.10

解：根据题意，等差数列｛%｝中，

若。3+〃5+〃7=15,则3〃5=15,即。5=5,

所以。1+。9=2的=10.

故选：D.

4.己知市=2,且之与己的夹角为多，则（）

U

A.V?B.272C.5/10D.-719

TT

解：lbl=2'且a与b的夹角为『

0

，Z,E=1X2X^=F，

•••la-V3bl2=l2-2与；工+3黄=1-2MX«+3X22=7,

故W-V?bl=V7-

故选：A.

ojr1

5.已知sin（a+J）=K，贝Ucos2a=（）

23

7711

A.—B.—C.——D.—

9933

解：sin（a+芳=-cosa=£,即有cosa=-羡，

7

cos2a=2cos2a-1=-----

9

故选：A.

6.2020年中秋加国庆8天小长假结束后，根据中商产业研究院的国庆假期旅游统计数据，

分别绘制了8个省的接待游客数量（单位：万人次）和旅游收入（单位：亿元）的折线

图（分别为图1和图2）,根据折线图，下列叙述错误的是（）

接待游客数届/万人次

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000---------------------------------------------------------------------------------

Q11111na，

河南江西湖北贵州广东江林陕西福建

图1

旅漩收入/亿元

600

500

400

300

200

100--------------------------------------------------------------------------------------

0a1411al£

河南江西湖北贵州广东江苏陕西福建

A.河南省的接待游客数量在这8个省中排名第一，江西省的接待游客数量排名第二

B.河南、江西、湖北三省的旅游收入的平均数和江苏、陕西、福建三省的旅游收入的平

均数相差不到1亿元

C.贵州省的旅游收入在这8个省中排名第三

D.这8个省的旅游收入的中位数高于河南省的旅游收入

解：由图1可知，河南省的接待游客数量在这8个省中排名第一，

江西省的接待游客数量排名第二，故A正确，

由图2可知，河南、江西、湖北三省的旅游收入的平均数为

360.71+398.81+34&29（亿元）

§-ooy.//<，

江苏、陕西、福建三省的旅游收入的平均数为51Z55+25,06+340.驼一丁016（亿

O

元），

显然相差不到1亿元，故B正确，

由图2可知，贵州省的旅游收入在这8个省中排名第三，故C正确，

由图2可知，这8个省的旅游收入的中位数为360・7,56.7—358.71（亿元），

显然低于河南省的旅游收入360.71（亿元），故。错误.

故选：D.

7.从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人

中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（）

A.20B.25C.30D.55

解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有C73=35种选法，

若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有C$3=10种，

则有35-10=25种不同的选取方案，

故选：B.

8.已知两条不同的直线和不重合的两个平面a,p,且/，仇有下面四个命题：

①若机_1_0,则/〃机；

②若a〃B，则/JLa；

③若a_L0,则/〃a；

④若则相〃0.

其中真命题的序号是（）

A.①②B.②③C.②③④D.①④

解：对于①，由/_1_0,可得/〃H7,故①正确;

对于②，若LL0,a//p,可得/La,故②正确；

对于③，若/_L0,a_L0,则/〃a或/ua,故③错误；

对于④，若/_L0,l-Lmf则机〃0或mu0,故④错误.

综上，真命题的序号是①

故选：4.

JT

9.已知函数fCO=Asin（3x+（p）,（A>0,3>0,|。|<丁）有两个相邻的极值点

分别为乡和一，为了得到函数gCO=AC0S3X的图象，只需将/（X）图象（）

63

A.向左平移3JT个单位长度B.向右平移勺TT个单位长度

33

兀

C.向左平移多1T个单位长度D.向右平移2个单位长度

66

解：•••】斗-（4）;,

26'3'2

，r=n,a）=2,

jryr

将点（""Z-，土A）代入，得sin（f+。）=±1，

63

从而02+2k兀，或。2k兀，k€z,

66

•••1016,

0=^-.

中6

11IT11

因此f（x）=Asin（2x十1）变换到g（x）=Acos2x=Asin（2x^^~一）只需向左平移-1个单

位长度.

故选：C.

10.若M（x,y）在直线上x+2y+l=0移动，则2+T的最小值是（）

A.唱B.&C.2MD.V2

解：因为M（x,y）在直线上x+2y+l=0移动，所以x+2y=-l.

所以2'+4V>2,2*,4丫=2\122丫=2^2-1=V2,

所以2*+4,.的最小值是我.

故选：B.

11.下列命题中的假命题是（）

A.对于命题，p：SxoGR,沏2+XOWO,则一'p：VXGR,X2+X>0

B.抛物线y=8/的准线方程是y=-2

C.“x=3”是“N-3x=0”的充分不必要条件

D.若两直线3x+4），+3=0与6x+/ny+l=0平行，则它们之间的距离为方

解：对A,根据特称命题的否定是全称命题可判断A是真命题，不符合题意；

对B,抛物线k8炉的标准方程为乂24丫，准线方程为了二卷，故8是假命题，符合

题意；

对C,由/-3x=0可解得x=o或3,所以“x=3”是“x2-3x=0”的充分不必要条件,

故C是真命题，不符合题意；

_|6-1|1-

对。，直线3x+4y+3=0可化为64+8片6=0,两直线距离为一'彳...；一万,故。是真命

旷6+8/乙

题，不符合题意.

故选：B.

22

12.已知双曲线E：t-%=1（。＞°，匕＞。）的左焦点为人，过点K的直线与两条渐近

abz

线的交点分别为M、N两点（点E位于点M与点N之间）,且诵=3不，又过点Fi

作F|P_LOM于P（点。为坐标原点），且|CW|=|。尸则双曲线E的离心率6=（)

A.加B.V3C.挛D.坐

22

解：法一、双曲线氏%-4=1（。＞0,fe＞0）的渐近线方程为了=土且X，

/a

如图所示，设M(，""Xi)，N(乂个—,FI(-c,0),

1a1/a/

+

MN=Cx2-xi,—x9-^xJ，FiN=(x9c,—x9)»

aa11乙a'

x-x!=3»2+303

2X12

由而=3不，得，bb3b1解得

-X+-X1=---x3

a94ala9zX2=-7C

I-cbI

又点吊到直线bx+ay=0的距离内尸|=77=^=b,|OQ|=c,

va+b

A|OP|=7c2-b2=a，则|02=1。尸1=〃，

又'V。誉，又°M=/4c）2+（誉产=誓，

可得3c2即3^=4。2,:.片二上区

4aa3

故选：C.

法二、在△OPFi与△ONFi中，由|CW|=|OP|,\OFi\=\OFt\,NPOFi=NNOF\,

得△OPFi丝△◊可尸i,'：F\PYOM,:.FiN工ON,

|F,P|m1

设|FiN|=/«,则|F|P|=/M,\MFi\—2m,可得sin/PMF1=q"不^~

|Mr।|2m2

：.ZPMFi=30°,可得NMON=60°,则/BON=30°,

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若（1-3%）〃展开式中各项系数的和等于64,则展开式中/的系数是135.

解：令x=l,可得（1-3x）”展开式中各项系数的和等于（-2）"=64,：.n=6,

则展开式中/的系数为"•（-3）2=135,

故答案为：135.

14.已知三棱锥尸-A8C中，侧棱尸4,底面ABC,ACLBC,PA=AB=2BC=2,则三棱锥

P-ABC的外接球的表面积为8TT.

解：将所给的几何体补形为如图所示的长方体,

由题意可知PA=2,AC=V3>CB=1,

设长方体的外接球半径为R,则：2R2=4+3+l=8,R2=2,

从而其外接球的表面积为：S=4TrR2=8n.

故答案为：8n.

15.已知数列｛知｝满足3+1=3。“+4,0=1,则a〃=3"-2.

解:根据题意，知数列｛〃〃｝满足为+i=3z+4,

、a+i+2

变形可得：a〃+i+2=3m+6=3(。〃+2),即.....-=3»

又0=1,则0+2=3,故｛念+2｝是首项为3,公比为3的等比数列,

则有aj2=3X3n_1=3”，

=n_

故an32；

故答案为：3"-2

16.若存在区间M=[mb]Ca<b)使得｛y|y=f(%),xeM)=Mf则称区间M为函数f(x)

的一个“稳定区间”.给出下列4个函数:

®f(x)="

@fCx)=3

JT

@f(X)=COS—

@f(x)=lnx+\

其中存在稳定区间的函数有②③(写出所有正确命题的序号).

解：①对于函数/(x)若存在“稳定区间”b],由于函数是定义域内的增函数，

故有e^—a,^—b,

即方程F=x有两个解，即y=F和y=x的图象有两个交点，这与即y=e'，和y=x的图象

没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”.

②对于/(x)=〃存在“稳定区间”,如xe[O,1]时,f(②=&[0,1].

TTK

③对于(x)=sin-^-x,存在“稳定区间"，如x€[0,1]时，f(x)=sin-^-x€[O,1].

④对于,f(x)=bvc,若存在“稳定区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数，故有

lna=a,且lnb=b,即方程/nx=x有两个解，

即和y=x的图象有两个交点，这与y=lrvc和y=x的图象没有公共点相矛盾，

故④不存在“稳定区间”.

故答案为②③.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(~)必考题:

共60分)

17.已知/'(X)—■^3sirircosx+sin2x.

(1)求/(x)的最小正周期和最大值；

(2)若b=4,AABC的周长为12,且/(8)=-|,求△ABC的面积.

2

解：(1)/(%)=-73sirucosx+sinx=^^-sin2x+^-^^^-=sin(2x-^-)

故函数的最小正周期7=卫匚=兀.

(2)在△A8C中，/(8)=sin(2B—r-)

b/Z

所以2B-r=2kK"r(k£Z),解得B=3.

由于匕=4,△ABC的周长为12,

所以a+c=8,

由余弦定理a2+c2-ac=16,整理得ac=16,

所以SAABC蒋acsinB=yX16X亨=4>/3'

18.中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带

一路”的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、

电子元件、农产品丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品,

该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为得，

且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，

则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需全部费用为900元.

(1)求系统需要维修的概率；

(2)该电子产品共由3个系统G组成，设S为电子产品所需要维修的费用，求W的分布

列和数学期望.

O

解：(1)系统需要维修的概率为c3

27

(2)设X为需要维修的系统的个数，则X〜B(3,专)，且E=900X,

7

故所以E(8)=900E(X)=900X3X方=700.

19.如图，在四棱锥P-ABC。中，PA_L平面ABCD,底面4BCD是菱形，PA=AB=2,Z

BAD=60°.

(I)求证：直线2。_L平面PAC；

(II)求直线尸8与平面PAO所成角的正切值；

(III)设点用在线段PC上，且二面角C-MB-4的余弦值为,求点例到底面ABCD

的距离.

【解答】(I)证明：由菱形的性质可知，BDVAC,

因为PA_L平面ABCC,且平面ABCZ),

则BO_L4P,且APCAC=A,AP,ACu平面尸AC,

故平面PAC；

(II)解：以点4为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则P(0,0,2),B(V3>1，0)，A(O,0,0),D(0,2,0：,

所以说=(«,1,-2)，

由平面PAD的一个法向量为m=(l,0,0)，

设直线PB与平面PAD所成的角为0,

所以sin9=|cos<PB,/〉卜售:叫=/

IPBIImIV8X1

故cos0=71-sin26条，

所以1ali。=更嗓=叵，

cosy5

故直线PB与平面PAD所成角的正切值为运；

5

(III)解：设M(X,y,z),,api=Xpc(0W入Wl),

因为P(0,0,2),C(V3，3,0),B(V3，1,0),A(0,0,0),

所以(x,y,z-2)=入3,-2),

解得工=愿入，y=3入，z=-2入+2,

所以点M的坐标为M(6入，3入，-2入+2),

设平面CM8的法向量为1=(a,b,c)，

w

nlfnCB=-2b=0

则—»,

n*MB=(V3-)a+(l-3入)b+(2入-2)c=C

令。=2,则c=«,

故［⑵0,愿)，

设平面MBA的法向量为工二(p,q,r),

:，AB=V§p+q=0

贝_，

t•MB=(V3-V3)p+(l-3入)q+(2入-2)r=(

令P=l,则q=-dl，r=坐二，

1-人

因为二面角C-MB-A的余弦值为率,

整理可得14入2-19入+6=0,

解得X•或X.=-^-»

27

由点例的坐标可知点M到底面ABCD的距离为1或手.

乙乙

20.已知椭圆C：2y崖b>0）的离心率为《1，并且经过P（0,正）点.

/J2

（I）求椭圆C的方程；

（H）设过点尸的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为3,点8关于x轴的对

称点为6,直线P8交x轴于点M,求证：|OM」。川为定值.

解：（I）由题意可得e=£=],6=遂，/=层-6,

a2

解得/=4,匕2=3,

22

所以椭圆的方程为：三-+，=1；

43

（II）证明：由题意可得直线PB的斜率存在，设为k,

设P（xi,yi）,B（X2,”），则B'（及，-”），N（nt,0）,M（〃，0）,

设直线PB的方程为：y=k（x-m）,

y=k(x-m)

联立|Y22,整理可得：(3+4F)/-86加+以2m2-12=0,

I431

ni2JI22_■«n

△=64初层-4(3+422)(46层-12)>0,Xi+X2=*。,x\X2=-—T—

3+4k23+4k2

①人WO,8,P,M三点共线，kgkpM,

-yYi

-------2--=---------，BPy](X2-n)+yz(xi-n)=0,

x2-nxj-n

整理可得：k(X]-机)(%2-〃)+k(X2-M(xi-n)=0,

2X\X2~(相+〃)(X1+X2)+2m〃=0,

代入韦达定理可得：2-4――2--2-(,”+〃)♦■8k-^-i2/Mn=0,

3+4k"3+4kJ

可得〃?”=4,所以M(—,0),

m

|OM|・|O/V|=〃2〃=4,

②当k=0时，PB与X轴重合，也满足条件，

综上所述可证得：|OMqCWI=4为定值.

21.已知函数f(x)=ax-四丝，a€R

x

(I)当。=1时，求f(x)的图象在点P(e,f(e))处的切线方程；

(II)设函数g(x)=xf(x)-4,讨论函数g(x)的零点个数.

解：(I)当a=1时，/(x)=x-导数为，(x)=1-22/x,

XX

可得切线的斜率为/(e)=1,/(e)=e-2,

e

则切线方程为y-e+2=x-e,即为y=x-&

ee

(II)函数g(x)=xf(x)-4=0^-2lnx-4,x>0,

gr(x)=2奴_2=2(ax--I.),

xx

当〃WO时，g'(x)<0,g(x)在%>0递减，可令xo=^则OVxoVl,

g(xo)>a-2//tro-4=0,g(1)=a-4<0,g(x)在1)上有唯一零点;

当。>0时，由g'(x)>0,可得x>7=,g(x)在(0,—递减，(-+8)

Va7a

递增,

可得g(R)的最小值为g(，")=痴-3.

①当时,g(X)的最小值大于0,g(x)无零点;

②当〃=/时,g(x)的最小值等于0,g(x)有唯一零点；