2021年中考数学复习讲义 第7讲-几何变换之旋转（一）

第7讲几何变换之旋转（一

Section1旋转的性质

知识总结

如下图，将△/8C绕点/旋转得到△/£>£

性质一：对应边相等

结论：AB=AD,AC=AE,BC=DE.

性质二：对应角相等

结论：ZB=ZD,ZC=ZE,ZBAC=ZDAE.

性质三：旋转角都相等

结论：ZBAD=ZCAE=ZBFD.

证明：易证

VZBAD+ZB=ZBFD+ZD,S.ZB=ZD,

：.ZBAD=ZBFD.

经典例题

【例1】如图，在必中，NB=90。，AB=5,8c=12,将AABC绕点4逆时针旋转得到AWE,

使得点。落在AC上，则tanN£CZ）的值为.

【例2】如图，在AABC中，AC=BC,将AABC绕点A逆时针旋转60。，得到A40E.若/W=2,

ZACB=30°,则线段8的长度为.

【例3】如图，在AABC中，ZR4c=90。，AB=AC=10cm,点。为A4BC内一点，ZBAD=15°,

45=651,连接8。，将绕点A按逆时针方向旋转，使/W与AC重合，点。的对应点为点£,

连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为cm.

【例4】如图，正方形AB8的边长为4,点E是8的中点，/3平分44E交BC于点尸，将AAAE

绕点A顺时针旋转90。得AABG,则CF的长为.

【例5】如图，AA8C和AWE是有公共顶点的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°.

(1)如图1,连接BE,CD,BE的延长线交AC于点尸，交CD于点、P,求证：BPLCD；

(2)如图2,把AADE绕点A顺时针旋转，当点。落在的上时，连接BE,CD,8的延长线交

BE于点、P,若BC=6五,4)=3,求APDE的面积.

Section2手拉手模型

知识总结

i.构成手拉手的必要条件.

如图，OA=OB,OC=OD（四线共点，两两相等），ZAOB=ACOD（夹角相等）

结论：段△08。（S/S）

条件：四点共线，两两相等，夹角相等.

常见手拉手模型有“等边三角形手拉手”、“正方形手拉手”等.

模型一：等边三角形手拉手

（1）如图，B、C、。三点共线，ZUBC和△8E是等边三角形，连接N。、BE,交于点P：

E

结论一：△ZCO四△8CE.

（2）记NC、BE交点、为M,AD、CE交点为M

结论二：4ACN名△BCM；/XMCE名/\NCD.

(3)连接MN：

E

结论三：△MNC是等边三角形.

(4)记BE交点、为P,连接尸C：

结论四：PC平分NBPD.

(5)结论五：NAPB=NBPC=NCPD=NDPE=60°.

(6)连接4E：

结论六：P点是的费马点(刃+PC+PE值最小)

模型二：正方形手拉手

如图，四边形/8CQ和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG-

A______________、D

G

结论一：XBCE迫ADCG

CB=CD

证明：NBCE=NDCG—/XBCE^/XDCG(SAS)

CE=CG

结论二：BE=DG,BELDG

证明：△BCEQ^DCG-BE=DG；

NCBE=NCDG一NDHB=NBCD=90°(旋转角都相等)

2.模型的另一种解读.

以上条件亦可以理解为由两个相似的共点等腰三角形构造而成.

如果题目已知△/BC咨外，则还可得△Z8D和均为等腰三角形,

且有△48DsA4CE,—=—=

ACAECE

经典例题

【例6】如图，正方形488和正方形C瓦G边长分别为。和b,正方形CEFG绕点C旋转，给出下

列结论：®BE=DG;②BE工DG;③DE?+8G?=2〃+»,其中正确结论是（填序号）

【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点、B按顺时针方向旋转得到矩形

GBEF,点A落在矩形ABC£＞的边8上，连接CE,则CE的长是

E

【例8】（2017•苏州）如图，在矩形中，将NABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC

rr'

的对应边8C交C。边于点G.连接班r、CC.若4）=7,CG=4,A8=8'G,则士上=（结

BB'

果保留根号）.

BC

Section3共点旋转的构造

知识总结

【引例】如图，点尸在等边AABC的内部，且PC=6,PA=8,PB=\O,将线段PC绕点C顺时针

旋转60。得到/C,连接4P,则sinNAAP的值为.

搭配一：在等边△/BC中，点尸是三角形内一点，若满足户42+依2=PC?,

则可任意旋转，得等边+直角.且两条较短边夹角(NAPB)为150。.

搭配二：在等边△Z8C中，若三角形内一点「满足N/P8=150。，贝I」有PA?+依2=372.

【思考1】满足N/P8=150°的点尸轨迹是？

B

【思考2】如果放在正方形里，条件与结论又该如何搭配？

作旋转之后，可得是等腰直角三角形，若使△PE8也为直角三角形，

则原N/P£>=135。，而线段以、PB、之间的关系为：224?+小=尸长.

搭配一：若/力尸。=135°,贝IJ224：+2£>2=切寸；

搭配二：若2%2+灯）2=，则N/PZ>135。.

另外，其实这个图和点C并没有什么关系，所以也可以将正方形换成等腰直角三角形.

大概如下图：

抓主要条件，舍弃无用条件，也是理解几何图形的一种方式.

经典例题

【例9】如图，尸为等边三角形ABC内的一点，且尸到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,

则A48c的面积为（）

…+竽C.18+256D.I8+苧

【例1（）】（2018•沈阳）如图，△ZBC是等边三角形，48=近，点。是边8c上一点，点，是线段

4D上一点,连接84、CH,当NBHD=60。、NN〃C=90。时，DH=.

【例11】（2018•烟台）【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1,点尸是正方形内一点，P4=l,PB=2,

PC=3.你能求出/4PB的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将△BPC绕点8逆时针旋转90。，得到48尸A,连接小，求出/4P8的度数；

思路二：将尸8绕点8顺时针旋转90。，得到△CP8,连接PP,求出NAP8的度数.

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.

【类比探究】

如图2,若点P是正方形ABC。外一点，PA=3,PB=1,PC=JfT,求/4P8的度数.

P

图1图2

【例12](2018•广州)如图，在四边形48CQ中,N例=60°,ZD=30°,AB=BC.

(1)求NZ+NC的度数；

(2)连接8。，探究/O,BD,8三者之间的数量关系，并说明理由；

(3)若48=1,点E在四边形48co内部运动，且满足/呼二夕加+(:序，求点E运动路径的长度.

Section4费马点一60。角的共点旋转

知识总结

【弓I例】如图，在△/8C中，ZBAC=90°,AB=AC=\,P是△4BC内一点，求R4+P5+PC的最小值.

1.结论：若△/8C内一点产满足//尸8=N8PC=NS=120°,

则点P称△4BC的费马点，此时PA+PB+PC最小.

2.费马点作图步骤：

(1)如图，分别以A/BC中的48、4C为边，作等边A/B。、等边△/(?£

(2)连接8、BE,即有一组手拉手全等：MDgAABE.

(3)记8、8E交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)

(4)以8c为边作等边ABCF,连接Z尸，必过点尸，WZAPB=ZBPC=ZC/^=120°.

类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD.

3.证明：为什么是这个点？

考虑到/“尸8=120。，，//2£=60。，则可以4尸为边，在PE边取点。使得P°=/P,

则A/P。是等边三角形.

MPQ、”CE均为等边三角形，且共顶点力，故A/PCGZX/QE,PC=QE.

以上两步分别转化为=P0,PC=QE,故R4+PB+PC=PB+PQ+QE=BE.

换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△/P。，同样有转化R1=P0,

PC=QE,

显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE.

经典例题

【例13】（2019•武汉）问题背景：如图1,将△NBC绕点/逆时针旋转60°得至ljZ\4QE,DE与BC

交于点P,可推出结论：PA+PC=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4母，点、O是4MNG内一点、,则点。到

AMNG三个顶点的距离和的最小值是.

图1图2

【例14］如图，已知矩形/8C。，AB=4,8c=6,点M为矩形内一点，点E为8C边上任意一点，则

MA+MD+ME的最小值为.

【例1］对应边相等求线段长，即可得所求角的正切值.

由题意得：AD=AB=5,EN=CB=\2,

：.CD=AC-AD=\3-5=i,

123

/.tanZ£CZ)=—=-.

82

【例2】连接EC,由题意可得△NCE是等边三角形,

：.EC=AC=BC=ED,

易证AECD丝AEAD,：.CD=AD=AB=2,

故C。的长为2.

【例3】特殊特殊度数必然有特殊图形.

NBAD=15°,二NCAE=15°,/.ZAFH=60°

过点/作AHA.DE交DE于H点、,

AD=6cm,AH=3应cm,HF=V6cm,

AF=2\[i>cm,CF=10—2^cm,故CF的长为10-2#。〃?.

【例4】方法较多，举一种与旋转相关的做法.

T^ZEAF=ZBAF=a,aDAE=2BAG=0,

则ZGAF=a+p=AGFA,,GF=GA=EA=2石，

/.CF=CG-GF=6-245,的长为6-2班.

【例5】(1)利用旋转的性质：旋转角都相等.

易证4AEB丝ZXADC,AZABE=ZACD,如下左图,

如下右图，由“8字''模型可得：ZFPC=ZFAB=90°.

DD

AA

(2)由(1)可知NBPC=90。,

VAD=3,AC=6,:.CD=*,

CACDAD

易证△CADs/\CPE,J——

CP~CE~~PE'

可得：PE=^1,CPW

55

PD=—,

5

•c19石3石27

,血25510

27

/.△PDE的面积为一.

1()

【例6】

①②显然正确，下分析③：

连接8。、EG,2a2+2b2=BD2+EG2,记8E、DG交点为，点,

BD2=BH2+DH2,EG2=EH2+GH2,

DE1=DH2+EH2,BG-=BH'+GH2,

DE2+BG-=BD?+EG2,

二DE2+BG1=2a2+2b2.

故正确的结论有①②③.

［例7］还有一组等腰相似.

,：BG=AG=5,BC=3,；.CG=4,DG=\,

连接AG,AG=6?+F=屈

易证△BECs^BG/,—,

AGBA

代入解得：CE=|>/i0,

故CE的长为|厢.

［例8］转化比例.

CC1AC

连接NC、AC,易证△ABB's△ACC',上匕=空，求出即可.

BB'AB

连接NG,设AB'=x,则3'G=x,DG=x-4,

AG2=AB'2+B'G2=AD2+DG2,

代入得：x2+x2=72+(x—4)',解得：4=5,々=—13(舍),

.CC'_AC_V74

••诲一益-亏'

【例9】（3,4,5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形.

法一：如图，将三个小三角形面积分别£、S?、S、

考虑到△ZBC是等边三角形，可将△/P8旋转到△4DC位置,

2

可得：5j+Sy-S^p+S^PCD=^--x3+~x3x4=+6,

同理可得：S,+5,=—x42+ix3x4=4>/3+6,

1242

°c_6,1°_256,,

S、+Sq=—x5H—x3x4=-------F6,

23424

2(S1+S2+S3)=y>/3+18,；.§+S2+S3=曰6+9,

故选力.

法二：如图，易证NAPB=150。，过点A作BP的垂线交BP延长线于点H,

则A”=1AP=3,PH=­,BH=4+—,

2222

S=^AB2=当442+丽)=/((+16+m+12冏=负25+126)=^^+9.

【例10】如果是120°,可以分为60。+60。.

如图，将AAHB旋转至4APC（严格的辅助线说明并不能这样）

易证AAPH是等边三角形，又NCHP=30。，.♦.△PCH是直角三角形,

—=—=又CH2+AH2=7,可得：CH=6AH=2,

AHPH2

则PC=BH=1,XABDH^ABCP,

—=代入数据得：DH=~.

PCBP3

【例思路1：如图，/SPB尸是等腰直角三角形，.N8PP'=45。,

PP，=®PB=2叵,又AP=1,AP'=CP=3,二八4"'是直角三角形，

，ZAPP'=90°,，ZAPB=900+45°=135°,

思路2：类似.

(2)过点B作BP'^BP,且满足=连接P'A、PP',

易证△ABP也△€»「，即相当于将4CBP绕点B逆时针旋转90°,

AP'=CP=y/H,PP'=CPB=0,又AB=3,

故△APP是直角三角形，；.ZAPP,=90°,

在等腰直角△