n-s方程的表示式

n-s方程的表示式

在下肢运动方程（n-s方程）中，为了便于应用，给出了方程的柱坐标和球形坐标的表示式。然而，由于数学导出过程的难度很大，一般来说，教科书中省略了。在相应的数学教材中，如果描述这个问题，请使用曲线坐标。曲线坐标本身非常困难，因此仍然距离该方程的应用还有很长的路要走。在课堂上，这项工作的作者试图理解学生们直观的微分方法，并给出方程的数学导出过程，以显著降低初始难度，方便学生掌握和应用方程的方法（但数学过程是否严格，请等待专家复习）。1方程n-s在柱坐标中的数学推导过程1.1角标记中的分量式F-1ρ∇Ρ+ν∇2u=∂u∂t+(u⋅∇)u(1)式中:F—体积力ρ—流体密度P—体中某点压强ν—运动粘滞系数u—流体中某点流速∇—哈密顿算子∇2—拉普拉斯算子N-S方程在直角坐标中的分量式为:X-1ρ∂Ρ∂x+ν(∂2ux∂x2+∂2ux∂y2+∂2ux∂z2)=∂ux∂t+(ux∂ux∂x+uy∂ux∂y+uz∂ux∂z)Y-1ρ∂Ρ∂y+ν(∂2uy∂x2+∂2uy∂y2+∂2uy∂z2)=∂uy∂t+(ux∂uy∂x+uy∂uy∂y+uz∂uy∂z)}Ζ-1ρ∂Ρ∂z+ν(∂2uz∂x2+∂2uz∂y2+∂2uz∂z2)=∂uz∂t+(ux∂uz∂x+uy∂uz∂y+uz∂uz∂z)}(2)为了给出N-S方程在柱坐标系中的表示式,需先给出哈密顿算子∇及拉普拉斯算子∇2在柱坐标中的表示式.1.2y,y,,,r=√x2+y2‚θ=arctanyx‚z=z据上述关系有:∂r∂x=cosθ,∂r∂y=sinθ,∂θ∂x=-sinθr,∂θ∂y=cosθr.∴∂∂x=∂∂r∂r∂x+∂∂θ∂θ∂x=cosθ∂∂r-sinθr∂∂θ∂∂y=∂∂r∂r∂y+∂∂θ∂θ∂y=sinθ∂∂r+cosθr∂∂θ1.3哈密顿算子哈密顿算子∇在直角坐标中的表示式为:∇=∂∂xi+∂∂yj+∂∂zk据上述坐标变量之间的微分关系为:(∂∂x)2+(∂∂y)2+(∂∂z)2=(cosθ∂∂r-sinθr∂∂θ)2+(sinθ∂∂r+cosθr∂∂θ)2+(∂∂z)2=(∂∂r)2+(1r∂∂θ)2+(∂∂z)2(3)∴哈密顿算子∇在柱坐标中的表示式为:∇=∂∂rr0+1r∂∂θθ0+∂∂zΚ(4)1.4拉普拉斯算子2拉普拉斯算子2拉普拉斯算子∇2在直角坐标中的表示式为:∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2据哈密顿算子的计算过程有:∂2∂x2=∂∂x(∂∂x)=(cosθ∂∂r-sinθr∂∂θ)(cosθ∂∂r-sinθr∂∂θ)=cos2θ∂2∂r2+sin2θr∂∂r+2sinθcosθr2∂∂θ-2sinθ⋅cosθr∂2∂r∂θ+sin2θr2∂2∂θ2∂2∂y2=(sinθ∂∂r+cosθr∂∂θ)(sinθ∂∂r+cosθr∂∂θ)=sin2θ∂2∂r2+cos2θr∂∂r-2sinθcosθr2∂∂θ+2sinθ⋅cosθr∂2∂r∂θ+cos2θr2∂2∂θ2∂2∂z2=∂2∂z2∴拉普拉斯算子∇2在柱坐标中的表示式为:∇2=∂2∂r2+1r∂∂r+1r2∂2∂θ2+∂2∂z2(5)或∇2=1r∂∂r(r∂∂r)+1r2∂2∂θ2+∂2∂z2(5′)1.5u3000uneuruzz(u⋅∇)u=[(urr0+uθθ0+uzΚ)⋅(∂∂rr0+1r∂∂θθ0+∂∂zΚ)]u⋅=(ur∂∂r+uθr∂∂θ+uz∂∂z)(urr0+uθθ0+uzΚ)=(ur∂ur∂r+uθr∂ur∂θ-u2θr+uz∂ur∂z)r0+(ur∂uθ∂r+uθr∂uθ∂θ+uruθr+uz∂uθ∂z)θ0+(ur∂uz∂r+uθr∂uz∂θ+uz∂uz∂z)Κ(6)1.6r125r15r12.25e2552.22,5.22,5.22,5.22,52,52,52,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,52,52,52,52,52。22,5.22,52,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e2,5.22,5e22,5e2,5.22,5e2,5.22,5e2,5.22,5e2,5.22,5.22,5e22,5e2,5.2.22,5e2,5.2.22,5e22,5e2,5.2.22,5e2,5.2.22,5∇2u=(∂2∂r2+1r∂∂r+1r2∂2∂θ2+∂2∂z2)(urr0+uθθ0+uzΚ)=(∂2ur∂r2+1r∂ur∂r-urr2-2r2∂uθ∂θ+1r2∂2ur∂θ2+∂2ur∂z2)r0+(∂2uθ∂r2+1r∂uθ∂r-uθr2+2r2∂ur∂θ+1r2∂2uθ∂θ2+∂2uθ∂z2)θ0+(∂2uz∂r2+1r∂uz∂r+1r2∂2uz∂θ2+∂2uz∂z2)Κ(7)1.7pr+2r1r2.2.25r15r15r3+5r22+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2.2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2将(6)式及(7)式代入N-S方程的矢量式中,即可给出N-S方程的柱坐标表示式:∂ur∂t+ur∂ur∂r-u2θr+uθr∂ur∂θ+uz∂ur∂z=Fr-1ρ∂p∂r+ν(∂2ur∂r2+1r∂ur∂r-urr2-2r2∂uθ∂θ+1r2∂2ur∂θ2+∂2ur∂z2)∂uθ∂t+ur∂uθ∂r+ur⋅uθr+uθr∂uθ∂θ+uz∂uθ∂z=Fθ-1ρ⋅r∂p∂θ+ν(∂2uθ∂r2+1r∂uθ∂r-uθr2+2r2∂ur∂θ+1r2∂2uθ∂θ2+∂2uθ∂z2)∂uz∂t+ur∂uz∂r+uθr∂uz∂θ+uz∂uz∂z=Ζ-1ρ∂p∂z+ν(∂2uz∂r2+1r∂uz∂r+1r2∂2uz∂θ2+∂2uz∂z2)}(8)2方程n-s的数学推导过程在球坐标中2.1rx、rz、coszzzzr=√x2+y2+z2;θ=arctan√x2+y2z;β=arctanyx据上述关系有:∂r∂x=sinθ⋅cosβ,∂r∂y=sinθ⋅sinβ,∂r∂z=cosθ∂θ∂x=cosθ⋅cosβr,∂θ∂y=cosθ⋅sinβr,∂θ∂z=-sinθr∂β∂x=-sinβr⋅sinθ,∂β∂y=cosβr⋅sinθ,∂β∂z=02.2r+coscos计算过程同柱坐标∂∂x=∂∂r∂r∂x+∂∂θ∂θ∂x+∂∂β∂β∂x?=sinθ⋅cosβ∂∂r+cosθ⋅cosβr∂∂θ-sinβr⋅sinθ∂∂β∂∂y=∂∂r∂r∂y+∂∂θ∂θ∂y+∂∂β∂β∂y?=sinθ⋅sinβ∂∂r+cosθ⋅sinβr∂∂θ+cosβr⋅sinθ∂∂β∂∂z=∂∂r∂r∂z+∂∂θ∂θ∂z+∂∂β∂β∂z=cosθ∂∂r-sinθr∂∂θ2.3哈密顿算子球坐标公式利用与(3)式、(4)式相同的运算过程,可给出∇在球坐标中的表示式为:∇=∂∂rr0+1r∂∂θθ0+1r⋅sinθ∂∂ββ02.4,2,2,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,1022,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102,102据哈密顿算子的计算过程有:∂2∂x2=(sinθ⋅cosβ∂∂r+cosθ⋅cosβr∂∂θ-sinβr⋅sinθ∂∂β)(sinθ⋅cosβ∂∂r+cosθ⋅cosβr∂∂θ-sinβr⋅sinθ∂∂β)=sin2θ⋅cos2β∂2∂r2+cosθ⋅sin2βr2sinθ∂∂θ-2sinθ⋅cosθ⋅cos2βr2∂∂θ+cos2θ⋅cos2βr∂∂r+2sinθ⋅cosθ⋅cos2βr∂2∂r⋅∂θ+2sinβ⋅cosβr2⋅sin2θ∂∂β-2sinβ⋅cosβr∂2∂r⋅∂β+sin2βr∂∂r+cos2θ⋅cos2βr2∂2∂θ2-2cosθ⋅sinβ⋅cosβr2⋅sinθ∂2∂θ⋅∂β+sin2βr2⋅sin2θ∂2∂β2(9)∂2∂y2=(sinθ⋅sinβ∂∂r+cosθ⋅sinβr∂∂θ+cosβr⋅sinθ∂∂β)(sinθ⋅sinβ∂∂r+cosθ⋅sinβr∂∂θ+cosβr⋅sinθ∂∂β)=sin2θ⋅sin2β∂2∂r2-cosθ⋅cos2βr2sinθ∂∂θ-2sinθ⋅cosθ⋅sin2βr2∂∂θ+cos2θ⋅sin2βr∂∂r+2sinθ⋅cosθ⋅sin2βr∂2∂r⋅∂θ-2sinβ⋅cosβr2⋅sin2θ∂∂β+2sinβ⋅cosβr∂2∂r⋅∂β+cos2βr∂∂r+cos2θ⋅sin2βr2∂2∂θ2+2cosθ⋅sinβ⋅cosβr2⋅sinθ∂2∂θ⋅∂β+cos2βr2⋅sin2θ∂2∂β2(10)∂2∂z2=(cosθ∂∂r-sinθr∂∂θ)(cosθ∂∂r-sinθr∂∂θ)=cos2θ∂2∂r2+2sinθ⋅cosθr2∂∂θ-2sinθ⋅cosθr∂2∂r⋅∂θ+sin2θr∂∂r+sin2θr2∂2∂θ2(11)由(9)、(10)、(11)式有:∇2=∂2∂r2+2r∂∂r+cosθr2⋅sinθ∂∂θ+1r2∂2∂θ2+1r2⋅sin2θ∂2∂β2(12)或∇2=1r2∂∂r(r2∂∂r)+1r2⋅sinθ∂∂θ(sinθ∂∂θ)+1r2⋅sin2θ∂2∂β2(12′)2.5rr0+u0+u2+u2r+urur0+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2r+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+u2+2+u2+u2+2+u2+u2+2+u2+2+u2(u⋅∇)u=[(urr0+uθθ0+uββ0)⋅(∂∂r?r0+1r∂∂θ?θ0+1r⋅sinθ∂∂β?β0)]u=(ur∂∂r+uθr∂∂θ+uβr⋅sinθ∂∂β)(urr0+uθθ0+uβ?β0)=(ur∂ur∂r+uθr∂ur∂θ+uβr⋅sinθ∂ur∂β-uθ2+uβ2r)r0+(ur∂uθ∂θ+uθr∂uθ∂θ-uruθr+uβr⋅sinθ∂uθ∂β-uβ2⋅cosθr⋅sinθ)θ0+(ur∂uβ∂r+uθr∂uβ∂θ+uβr⋅sinθ∂uβ∂β+uruβr+uθ⋅uβ⋅cosθr⋅sinθ)β0(13)在上述计算中需用到下述6式:∂r0∂θ=θ0,∂θ0∂θ=-r0,∂β0∂θ=0∂r0∂β=sinθβ0,∂θ0∂β=cosθβ0,∂β0∂β=-sinθr0-cosθθ02.63232322222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222∇2u=(∂2∂r2+2r∂∂r+1r2∂2∂θ2+cosθr2⋅sinθ∂∂θ+1r2⋅sin2θ∂2∂β2)(urr0+uθθ0+uβ?β0)=(∂2ur∂r2+2r∂ur∂r-2urr2+1r2∂2ur∂θ2+cosθr2⋅sinθ∂ur∂θ-2uθ⋅cosθr2⋅sinθ+1r2⋅sin2θ∂2ur∂β2-2r2∂uθ∂θ-2r2⋅sinθ∂uβ∂β)r0+(∂2uθ∂r2+2r∂uθ∂r+cosθr2⋅sinθ∂uθ∂θ+1r2∂2uθ∂θ2-uθr2⋅sin2θ+2r2∂ur∂θ+1r2⋅sin2θ∂2uθ∂β2-2cosθr2⋅sin2θ∂uβ∂β)θ0+(∂2uβ∂r2+2r∂uβ∂r+cosθr2⋅sinθ∂uβ∂θ+2r2⋅sinθ∂ur∂β-uβr2⋅sin2θ+1r2∂2uβ∂θ2+2cosθr2⋅sin2θ∂uθ∂β+1r2⋅sin2θ∂2uβ∂β2)β0(14)2.7sin2为2为2为2为2为2为2为2为2,2为2为2,2为2为2,2为2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2.2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2s2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2s2,2s2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为2,2为