2024届山东省莱山第一中学高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

2024届山东省莱山第一中学高二数学第一学期期末质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种A.54 B.72C.96 D.1202．已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.3．已知正三棱柱中，，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.4．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（）A. B.C. D.5．下列说法中正确的是A.命题“若，则”的逆命题为真命题B.若为假命题，则均为假命题C.若为假命题，则为真命题D.命题“若两个平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题.6．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则有（）A.， B.，C.， D.，7．两圆x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直线的方程为（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝08．下列双曲线中，以为一个焦点，以为一个顶点的双曲线方程是（）A. B.C. D.9．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取2次，则在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为（）A. B.C. D.10．已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（）①②③A.0 B.1C.2 D.311．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A. B.C. D.12．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（）A.5 B.6C.7 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，…，8的八张卡片．从中随机取出3张．设X为这3张卡片的标号相邻的组数（例如：若取出卡片的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3、4和4、5，此时X的值是2）．则随机变量X的数学期望______14．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.15．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____________16．已知数列满足，则的前20项和___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上运动（1）证明：；（2）当E为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）等于何值时，二面角的大小为？19．（12分）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不相等的零点，证明：20．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D为棱上的点.（1）证明：；（2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值.21．（12分）在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为.（1）求对角线所在直线的一般方程；（2）求所在直线的一般方程.22．（10分）已知函数（1）求的单调区间；（2）若，求的最大值与最小值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；则一共有种不同的名次情况，故选：A2、B【解析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程.【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为：∴设双曲线：∵双曲线与椭圆有相同的焦点∴，解得：∴双曲线的方程为.故选：B.3、A【解析】根据异面直线所成角的定义，取中点为，则为异面直线和所成角或其补角，再解三角形即可求出【详解】如图所示：设中点为，则在三角形中，为中点，为中位线，所以有，，所以为异面直线和所成角或其补角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故选：A.4、C【解析】设，，根据双曲线的定义可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得关于，的方程，再由离心率公式即可求解.【详解】设，则，由双曲线的定义可得：，，因为点在以为直径的圆上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以双曲线离心率为，故选：C.第II卷（非选择题5、D【解析】A中，利用四种命题的的真假判断即可；B、C中，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题；D中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性【详解】对于A，命题“若，则”的逆命题是：若，则；因为也成立.所以A不正确；对于B，命题“”为假命题时，、至少有一个为假命题，所以B错误；C错误；对于D，“平面向量满足”，则不共线的否命题是，若“平面向量满足”，则共线；由知：，一定有，，所以共线，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题6、B【解析】将直线方程的一般形式化为截距式，由此可得其在x轴和y轴上的截距.【详解】直线方程化成截距式为，所以，故选：B.7、C【解析】两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程.【详解】两圆方程相减得，即x﹣2y+6＝0则公共弦所在直线的方程为x﹣2y+6＝0故选：C8、C【解析】设出双曲线方程，根据题意，求得，即可选择.【详解】因为双曲线的一个焦点是，故可设双曲线方程为，且；又为一个顶点，故可得，解得，则双曲线方程为：.故选：.9、C【解析】求出两次取球都没有取到3的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，每次取到标号为3的球的事件为A，则，且每次取球是相互独立的，在两次取得小球中，标号最大值是3的事件M，其对立事件是两次都没有取到标号为3的球的事件，，则有，所以在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为.故选：C10、C【解析】根据等差数列的定义判断【详解】设的公差为，则，是等差数列，，是常数列，也是等差数列，若，则不是等差数列，故选：C11、A【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，∴点P到直线和直线的距离之和，∴当B，P，F三点共线时，最小，∵，∴，∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为故选：A12、B【解析】求出样本的中心点，再利用回归直线必过样本的中心点计算作答.【详解】依题意，，则这个样本的中心点为，因此，，解得，所以实数m的值为6.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，利用列举法分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望【详解】解：不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，，8的八张卡片从中随机取出3张，共有种，设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，的情况有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6个，，的情况有：取，另外一个数有5种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有5种取法的情况一共有：，，，随机变量的数学期望：故答案为：14、【解析】将双曲线的方程化为标准式，可得出、，由此可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，，所以，，解得.故答案为：.15、【解析】根据直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，由点到直线的距离公式求出半径，然后可得.【详解】圆心到直线的距离，又圆与直线相切，所以，所以圆的方程为.故答案为：16、135【解析】直接利用数列的递推关系式写出相邻四项之和，进而求出数列的和.【详解】数列满足，所以，故，当时，，当时，，，当时，，所以.故答案为：135.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，连接，，证明两两垂直，如图建系，求出的坐标以及平面的一个法向量，证明结合面，即可求证；（2）求出的坐标以及平面的法向量，根据空间向量夹角公式计算即可求解.【小问1详解】如图：取的中点，连接，，因为是边长为等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，可得，，因为面面，面面，，面，所以平面，因为面，所以，可得两两垂直，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量，由，可得，令，则，所以，因为，所以，因为面，所以平面.【小问2详解】，，，设平面的一个法向量，由，令，，，所以，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）连接、，长方体、线面垂直的性质有、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）连接，由已知条件及勾股定理可得、，即可求、，等体积法求到面的距离，又直线与面所成角即为与面所成角，即可求线面角的正弦值.（3）由题设易知二面角为，过作于，连接，可得二面角平面角为，令，由长方体的性质及勾股定理构造方程求即可.【小问1详解】由题设，连接、，又长方体中，∴为正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小问2详解】连接，由E为棱的中点，则，∴，又，故，∴，又，，故，则，由，若到面的距离为，又，，∴，可得，又，∴直线与面所成角即为与面所成角为，故.【小问3详解】二面角大小为，即二面角为，由长方体性质知：面，面，则，过作于，连接，又，∴面，则二面角平面角为，∴，令，则，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴时，二面角的大小为.19、（1）单调递增区间是(4,+∞)，单调递减区间是(0,4)；（2）证明见解析.【解析】（1）求的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；（2）法一：讨论、时的零点情况，即可得，构造，利用导数研究在(0,2a)恒成立，结合单调性证明不等式；法二：设，由零点可得，进而应用分析法将结论转化为证明，综合换元法、导数证明结论即可.【小问1详解】函数的定义域为(0,+∞)，当a=2时，，则令得，x>4；令得，0<x<4；所以,单调递增区间是(4,+∞)；单调递减区间是(0,4).【小问2详解】法一：当a≤0时，>0在(0,+∞)上恒成立，故函数不可能有两个不相等的零点，当a>0时，函数在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，因为函数有两个不相等的零点，则，不妨设，设，（0<x<2a），则，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上单调递减，即>=0，所以，即，又，故，因为，所以，因为函数在(2a,+∞)上单调递增，所以，即法二：不妨设，由题意得，，得，即，要证，只需证，即证：，即，令，，则，所以在区间(1,+∞)单调递减，故<=0，即恒成立因此，所以.【点睛】关键点点睛：第二问，法一：应用极值点偏移方法构造，将问题转化为在(0,2a)恒成立，法二：根据零点可得，再由分析法将问题化为证明，构造函数，综合运用换元法、导数证明结论.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空间向量求解【小问1详解】证明：因为三棱柱是直三棱柱，且，所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设，则，所以，所以，所以【小问2详解】因为，所以，所以，设平面一个法向量为，则，令，则，设直线BF与平面DEF所成角为，则，所以直线BF与平面DEF所成角的正弦值为21、（1）（2）【解析】（1）首先求的中点，再利用垂直关系求直线的斜率，即可求解；（2）首先求点的坐标，再求直线的斜率，求得直线的斜率，利用点斜式直线方程，即可求解.【