关于左简正断面的刻画

关于左简正断面的刻画

1子半群.的行业发展1982年，蜀和mcfadan引入了“半正半组”的概念。半组的s的逆截面称为s的逆截面。如果s中包含的元素的唯一逆元是s，则可以认为s是一个正半组，so是s的子半组。对于s的任意xs，将s（x）集合为vso（x），然后将xo表示vso（x）中的元素记录为xo。在具有逆断面的正则半群的研究中,集合I和Λ起到了非常重要的作用,它们分别是左正则带和右正则带.S的另外重要子集是R={x∈S:xox=xoxoo}和L={x∈S:xxo=xooxo},它们都是S的子半群,且分别是左逆半群和右逆半群.Chen于1999年引入了纯正断面的概念,推广了逆断面的相关结果,并给出了具有拟理想纯正断面的正则半群的结构.纯正断面具有与逆断面非常类似的性质,具有纯正断面的正则半群类包含纯正半群和具有逆断面的正则半群.2001年,Chen和Guo讨论了纯正断面的一般情形,并给出了与集合I和Λ相关的若干性质.类似地,在纯正断面的研究中,集合R和L也起到了非常重要的作用.在本文中,我们引入并研究了左简纯正断面,得到了与之相关的若干刻画;给出例子说明左简纯正断面是拟理想纯正断面的真推广;推广并丰富了Blyth和AlmeidaSantos于1996年得到的关于左简逆断面及Kong于2007年得到的关于纯正断面的相关结果;同时,给出了一个具有左简纯正断面的正则半群的结构定理.设S是半群.S的子半群So称为S的纯正断面,如果满足如果So是S的纯正断面,那么由(1.1)知S是正则半群;由(1.2)知So是S的纯正子半群.S的子半群T称为S的拟理想,如果TST⊆T.设S和So是半群.记S和So的幂等元集分别为E和Eo.在本文中经常用到下面的结果.(1.3)设e和f是S的D-等价的幂等元.则Re∩Lf的任一元a在Rf∩Le中存在惟一逆元a′使得aa′=e且a′a=f;(1.4)设a,b∈S.则ab∈Ra∩Lb当且仅当La∩Rb包含一个幂等元.引理1.5设So是S的子半群且对任一a∈S,有VSo(a)̸=∅.则下列两项等价:(1)So是S的纯正断面;引理1.6设S是具有纯正断面So的正则半群.则I是带当且仅当EoI⊆I.引理1.7设S是具有纯正断面So的正则半群及e∈S.若引理1.8设S是具有纯正断面So的正则半群.若a,b∈So及引理1.9设S是具有纯正断面So的正则半群.则设S是具有纯正断面So的正则半群.在文献中定义了两个集合R和L并用Green关系进行了刻画,2左简纯正断面本节引入了左简纯正断面的概念并得到纯正断面是左简的八个等价条件,给出例子说明左简纯正断面是拟理想纯正断面的真推广,并讨论了与左简纯正断面相关的若干性质.定义2.1设S是具有纯正断面So的正则半群.若SoISo⊆So(SoΛSo⊆So),则称So是左简的(右简的);若So既是左简的又是右简的,则称So是简的.定理2.2设S是具有纯正断面So的正则半群.则下列各项等价:(1)So是左简的;(2)Eo是I的右理想;(3)EoI⊆So;(4)SoI⊆So;(5)So是R的右理想;(6)R是子半群且SoS⊆L;(7)R是子半群且L是S的右理想;(8)R是子半群且ΛI⊆L.据引理1.6,定理2.2(2)蕴涵I是带且EoI⊆Eo.从定义2.1来看,So是左简的条件只与集合I相关,但下面会看到,此条件对集合Λ也产生较大的影响.若So是左简的,据定理2.2(8),ΛI⊆L.故ΛEo⊆ΛI⊆L,又引理1.5蕴涵ΛEo⊆E,从而ΛEo⊆L∩E=Λ.据引理1.6的对偶,Λ是带.归结为定理2.3设So是S的左简纯正断面.则I和Λ都是带且EoI⊆Eo.设S是具有纯正断面So的正则半群.据定义2.1,若So是S的拟理想,则显然So是左简的.据下面的例子知反之不成立.例2.4设S={1,a,b,c}.其乘法表如表1,则S是正则半群且So={1,a,b}是S的纯正断面因Eo=I={1,a,b},So是左简的.但So不是S的拟理想,因为定理2.5设S是具有纯正断面So的正则半群.则下列各项等价:(1)SoI⊆So,ΛSo⊆So;(2)So是简的,即,SoISo⊆So且SoΛSo⊆So;(3)So是S的拟理想,即,SoSSo⊆So;(4)ΛI⊆So;(5)EoI⊆Eo,ΛEo⊆Eo;(6)EoI⊆So,ΛEo⊆So;(7)SSo⊆R,SoS⊆L;(8)R是S的左理想且L是S的右理想;(9)LR⊆So;证明(1)=⇒(2)显然.(2)=⇒(3)对任意的so,to∈So及x∈S,有据[8,定理2.4],(3),(4),(5),(7)与(8)是等价的.(5)⇐⇒(6)据引理1.5,显然.(8)=⇒(9)若(8)成立,则LR⊆L∩R=So.(9)=⇒(10)这是平凡的.(10)=⇒(1)这是平凡的.故So∩IΛ=Eo.定理2.8设S是具有纯正断面So的正则半群.则下列各项等价:(1)IΛ是S的子半群;(2)VSo(E)⊆Eo;(3)VSo(ΛI)⊆Eo;证明(1)=⇒(2)对任意的i∈I,l∈Λ,存在io,lo∈Eo使得ioLi,loRl.若(1)成立,则li=loliio∈EoΛIEo⊆IΛIΛ⊆IΛ.所以ΛI⊆IΛ.若x∈E,则对任一xo∈VSo(x),有据定理2.7,xo∈Eo.故(2)成立.(4)=⇒(1)这是平凡的.若定理2.8的条件成立,则称So为弱可乘的.据定理2.8,正则半群S的纯正断面So是弱可乘的当且仅当E⊆IΛ.下面的定理给出了IΛ=E的情形的刻画.定理2.9设S是具有纯正断面So的正则半群.则下列各项等价:(1)S是纯正半群;证明据定理2.6,(4)与(5)是等价的.只须证(1),(2),(3)与(4)是等价的.从而xo∈Eo.反之,对任一xo∈VSo(x),若xo∈Eo,则xo=(xo)2∈VSo(x2).故从而x∈E.所以(4)成立.定理2.10设S是具有纯正断面So的正则半群.则下列两项等价:(1)So是左简的及弱可乘的;(2)ΛI⊆Λ且I是S的子带.证明据[8,定理2.2],R是S的子半群当且仅当I是S的子带.命题2.13设S是具有左简纯正断面So的正则半群及R,Λ,ϕ和ψ如上所述.则对任意的e,f∈Λ及x,y∈R满足3求解w是半群且具有-5-3.2.33.33.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3本节的主要目的是给出具有左简纯正断面的正则半群的一个结构定理.在下文中,Λ表示具有纯正(事实上,带)断面B的带且Λ中的任一元与B中的某元满足R关系,R表示具有右理想纯正断面So的正则半群.假设So的幂等元的带同构于B.为叙述简洁,把E(So)等同于B,且记为Eo.四元组(R,Λ;ϕ,ψ)称为允许的,如果映射对(ϕ,ψ)是正则的.定理3.1设(R,Λ;ϕ,ψ)是允许的四元组.在集合上定义乘法为则Γ是具有同构于So的左简纯正断面的正则半群.反之,每一个具有左简纯正断面的正则半群都可以如此构造.注意到Γ的定义与x和e的选取无关.事实上,对e1Le及x1∈K(x),设xo是x与x1在So中的共同的逆元.从e+ReLe1和(1.4)可推断出e1Re1e+Le+.因e+∈Eo及e1与Eo中的某元满足R关系,据引理1.8,有e1e+∈Eo.另一方面,因xoxLx及xLe+,有xoxLe1e+且xoxRxox1.故据(1.4)有xox1Le1e+xox1Re1e+.设e1+=e1e+xox1.因x1Lxox1及e1e+Re1,故e1+∈Eo且x1Le1+Re1.事实上,可给出正则对(ϕ,ψ)稍有不同的刻画.引理3.2设(R,Λ;ϕ,ψ)是允许的四元组.则且为证明定理3.1,给出下列引理.引理3.3Γ是半群.证明设(K(x),Le),(K(y),Lf)∈Γ.则存在e+,f+∈Eo及yo∈VSo(y)使得eRe+Lx,fRf+Ly且yoy=f+.首先验证(K(x(ϕey)),L(eψy)f)∈Γ.据条件(1)和(5′),存在(ϕex)o∈VSo(ϕex)使得且故(K(x(ϕey)),L(eψy)f)∈Γ.其次证明Γ上的乘法与x,e,y和f的选取无关.假设(K(x′),Le′)=(K(x),Le)及(K(y′),Lf′)=(K(y),Lf).则且因e+ReLe′,据(1.4),e′Re′e+Le+.因对任一xo∈VSo(x),e′e+和xxo是幂等元且xxoRxLe+Le′e+据(1.3)x在Re′e+∩Lxxo中存在逆元x-1.因e′e+∈Eo及xxoLxo∈So,据引理1.8,x-1∈So故x-1∈VSo(x)=VSo(x′).令s∈VSo(ϕe′y′).则据条件(6),存在yo∈VSo(y)=VSo(y′)使得yoy′se′e+∈VSo(ϕey).因R是纯正半群,有所以Γ上的乘法定义是合理的.对任意的(K(x),Le),(K(x1),Le1),(K(x2),Le2)∈Γ,据条件(2),有且故[(K(x),Le)(K(x1),Le1)](K(x2),Le2)=(K(x),Le)[(K(x1),Le1)(K(x2),Le2)].所以Γ是半群.引理3.4设则W是Γ的纯正子半群且证明显然W⊆Γ.只须证W同构于So.定义φ:So→W为sφ=(K(s),Ls*),其中s*∈Eo，s*Ls.显然φ是有定义的.对任意的s,t∈So及to∈VSo(t),由条件(4′)知则VW(a)=M(a).证明设b=(K(xo),L(xo)*)∈W.则据条件(4′),因xoxexoxooe+xo=xoxee+xo=xoxxo=xo,xLe+Re及xooexoLxoL(xo)*,据条件(3)和(4′),有且所以b∈VW(a).反之,若b=(K(y),Ly*)∈VW(a),则aba=a且bab=b.注意到y∈So,则据条件(4′),有y(ϕy*x)=y·y*x=yx∈SoR⊆So,从而据引理3.5,yx∈Eo.从而,且引理3.7W是Γ的纯正断面.设易验证故W是R(Γ)的右理想.据定理2.2,W是Γ的左简纯正断面.反之,设S是具有左简纯正断面So的正则半群.则据定理2.2,R是具有右理想纯正断面So的正则半群.从而,据[7,引理1],R是纯正半群且对任一x∈R及xo∈VSo(x),存在xoo∈VSo(xo)使得xox=xoxoo.据定理2.3,Λ是具有纯正断面Eo=E(So)的带且Λ中的每一元与B中的某元满足R关系.对任一e∈Λ,设ϕe:R→R的映射为ϕex=ex(ex)o(ex)oo对给定的(ex)o∈VSo(ex)和(ex)oo∈VSo((ex)o);对任一y∈R,设ψy:Λ→Λ的映射为fψy=(fy)ofy对给定的(fy)o∈VSo(fy)从命题2.13知条件(1)–(7)满足.故四元组(R,Λ;ϕ,ψ)是允许的.所以可如定理3.1的直接部分那样构造一个半群Γ,其乘法为最后证明Γ同构于S.设(K(x),Le)∈Γ.定义映射θ:Γ-→S为则θ是有定义的.事实上,若y∈K(x),fLe,因xLe+Re和yLf+Rf,从(1.4)知xe和yf在同一H-类.因xLe+和yLf+,令xo∈VSo(x)和yo∈VSo(y)使得xox=e+且yoy=f+.则xexoxe=xee+e=xe且xoxexo=e+exo=exo=xo,从而xo∈VSo(xe).类似地,yo∈VSo(yf).据引理1.9,VSo(x)=VSo(xe)且VSo(y)=VSo(yf).从而,VSo(xe)=VSo(yf),