42线段射线直线

4.1线段、射线、直线导图先学边学边练1．线段、射线、直线的定义及表示方法（1）直线：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．表示方法：①可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．②也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．（2）线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．表示方法：①线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．②线段也可用一个小写英文字母来表示，如图所示，记作：线段a．（3）射线：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．表示方法：①可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图所示，可记为射线OA．②也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l．注：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线．题型1：线段、射线、直线的辨析【例】（2022秋•潮安区期末）下列说法正确的是A．线段和线段表示的不是同一条线段 B．射线和射线表示的是同一条射线 C．若点是线段的中点，则 D．线段叫做、两点间的距离【分析】根据线段、射线的特点以及线段的中点和两点间的距离的定义回答即可．【解答】解：、线段和线段表示的是同一条线段，故错误；、射线和射线表示的不是同一条射线，故错误；、由线段中点的定义可知正确．、线段的长度叫做、两点间的距离，故错误．故选：．【变式1】（2022秋•江汉区期末）下列说法正确的是A．延长线段和延长线段的含义相同 B．射线和射线是同一条射线 C．经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线 D．延长直线【分析】根据直线、射线、直线的公理判断即可．【解答】解：、延长线段和延长线段的含义不同，错误；、射线和射线不是同一条射线，错误；、经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线，正确；、直线向两个方向无限延伸，所以不能延长，错误；故选：．【变式2】（2021秋•潜江期末）如图，下列说法正确的是A．线段与线段是不同的两条线段 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是两条不同的射线 D．直线与直线是同一条直线【分析】根据直线、线段、射线的区别判断即可．【解答】解：、线段与线段是同一条线段，选项说法错误，不符合题意；、射线与射线不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；、射线与射线是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；、直线与直线是同一条直线，选项说法正确，符合题意；故选：．【变式3】（2021秋•新乐市期末）如图，点、、在同一条直线上，则下列说法正确的是A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．图中只有4条线段 D．图中有4条直线【分析】根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解．【解答】解：、射线和射线不是同一条射线，错误；、直线和直线是同一条直线，正确；、图中只有6条线段，错误；、图中2条直线，错误；故选：．题型2：线段、射线、直线的表达方式【例】（2021秋•利辛县期末）下列各图中表示线段，射线的是A． B． C． D．【分析】根据直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点解答．【解答】解：、是直线，射线，故此选项不符合题意；、是射线，线段，故此选项不符合题意；、是线段，射线，故此选项符合题意；、是线段，射线，故此选项不符合题意；故选：．【变式1】（2023春•桓台县期末）观察图形，下列说法正确的个数是（1）直线和直线是同一条直线（2）射线和射线是同一条射线（3）（4）线段和线段是同一条线段A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】结合图形，根据线段、射线、直线的特征解答即可．【解答】解：（1）由直线的定义可知，直线和直线是同一条直线，直线没有端点，此说法正确，符合题意；（2）由射线的定义可知，射线和射线是同一条射线，都是以为端点，同一方向延伸的射线，所以此说法正确，符合题意；（3）由两点之间线段最短可知，所以此说法正确，符合题意；（4）由线段的定义可知，线段和线段是同一条线段，所以此说法正确，符合题意．所以共有4个正确．故选：．题型3：线段、射线、直线的数数问题【例】（2021秋•东莞市校级期末）如图，图中以为一个端点的线段共有A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【分析】根据线段的定义即可判断．【解答】解：以为端点的线段有、、，共三条，故选：．【变式1】（2021秋•梁山县期末）如图，图中射线、线段、直线的条数分别为A．8，4，1 B．3，3，2 C．1，3，2 D．5，5，1【分析】根据直线、射线、线段的意义结合具体的图形一一列举即可．【解答】解：如图，射线有：、、、、、、、，共8条；线段有：、、、，共4条；直线有：直线，1条；故选：．【变式2】（2022秋•济南期末）如图，在平面内有，，三点．（1）画直线，射线，线段；（2）在线段上任取一点（不同于，，连接，并延长至，使；（3）数一数，此时图中线段共有条．【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线，线段，射线；（2）依据在线段上任取一点（不同于，，连接线段即可；（3）根据图中的线段为，，，，，，，，即可得到图中线段的条数．【解答】解：（1）如图，直线，线段，射线即为所求；（2）如图，线段和线段即为所求；（3）由题可得，图中线段的条数为8，故答案为：8．【变式3】（2022秋•淮滨县期末）如图，在平面内有、、三点．（1）画直线，线段，射线；（2）在线段上任取一点（不同于、，连接；（3）数数看，此时图中线段共有条．【分析】（1）（2）根据直线，射线，线段的概念，利用直尺即可作出图形；（3）根据线段的定义即可求解．【解答】解：（1）（2）如图所示：（3）图中有线段6条，即线段，，，，，．故答案为6．2．直线公理经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．题型：直线公理【例】（2022秋•渭滨区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．以上都不是【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：．【变式1】（2021秋•紫金县期末）王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理：．【分析】根据直线的性质解答．【解答】解：王小毛利用的数学原理是两点确定一条直线，故答案为：两点确定一条直线．【变式2】（2021秋•淮南期末）把一根木条钉在墙上使其固定，至少需要个钉子，其理由是．【分析】因为经过两点有且只有一条直线，所以固定一根木条，至少需要2个钉子．【解答】解：两点确定一条直线，将一根细木条固定在墙上时，我们至少需要两个钉子．【变式3】（2022•双辽市一模）如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是．【分析】由直线公理可直接得出答案．【解答】解：建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的道理是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．3．直线相交当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点．题型：线段、射线、直线的相交问题【例】（2023•莲池区校级三模）如图，直线，和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是A．① B．② C．③ D．④或⑤【分析】由线段与线段有公共点，即可判断落在的区域．【解答】解：线段与线段有公共点，点落在的区域是②．故选：．【变式1】（2022秋•二七区期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是A．如图1所示，延长线段到点 B．如图2所示，射线经过点 C．如图3所示，直线和直线相交于点 D．如图4所示，射线和线段没有交点【分析】直接利用延长线段以及直线或射线相交和过一点画直线的作法分别分析得出答案．【解答】解：．如图1所示，延长线段到点，几何图形与相应语言描述不相符；．如图2所示，射线不经过点，几何图形与相应语言描述不相符；．如图3所示，直线和直线相交于点，几何图形与相应语言描述相符；．如图4所示，因为射线可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符；故选：．【变式2】同一平面内互不重合的三条直线的交点的个数是A．可能是0个，1个，2个 B．可能是0个，2个，3个 C．可能是0个，1个，2个或3个 D．可能是1个或3个【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，平行和相交，三条直线互相平行无交点，两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点，三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点．【解答】解：由题意画出图形，如图所示：故选：．【变式3】（2023•新华区校级模拟）如图，若射线与线段有一个公共点，则射线可能经过的点是A．点 B．点 C．点 D．点【分析】由射线与线段有公共点，即可判断．【解答】解：射线与线段有一个公共点，则射线可能经过的点是点．故选：．4．尺规作图在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．题型：尺规作图【例】（2022秋•海珠区期末）如图，平面上有四个点，，，，根据下列语句画图：（1）画线段、交于点；（2）作射线；（3）取一点，使点既在直线上又在直线上．【分析】分别根据直线、射线、线段的定义作出图形即可．【解答】解：（1）如图所示：；（2）如图所示，（3）如图所示，．【变式1】（2022秋•大余县期末）如图，在平面内有，，三点．（1）画直线，射线；（2）在线段上任取一点（不同于点，，连接；（3）数数看，此时图中线段共有条．【分析】（1）根据直线、射线的定义画出直线，射线即可；（2）在线段上任取一点（不同于点，，连接即可；（3）根据线段的定义即可求解．【解答】解：（2）直线，射线如图；（2）如图；（3）图中的线段有：线段，线段，线段，线段，线段，线段，共6条．故答案为：6．【变式2】（2021秋•炎陵县期末）如图，在平面内有、、三点．（1）画直线、线段、射线；（2）取线段的中点，连接；（3）延长线段到，使，并连接．【分析】直线、射线、线段定义、线段中点定义、线段延长线定义和线段的大小画出即可．【解答】解：如图：．5．中点点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点．类似地，还有线段的三等分点、四等分点．题型：线段的中点【例】（2021秋•霍邱县期末）如图，点是线段上的点，其中不能说明点是线段中点的是A． B． C． D．【分析】根据线段中点的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：、若，则是线段中点；、若，则是线段中点；、，可是线段是任意一点；、若，则是线段中点．故选：．【变式1】已知直线上有三点，，，线段，，点是线段的中点，则．【分析】此题画图会出现两种情况，即在内，在外，所以要分两种情况计算．，点是线段的中点，则．第一种情况：在内，则；第二种情况：在外，则．【解答】解：，点是线段的中点，则，第一种情况：在内，则；第二种情况：在外，则．【变式2】如图，是的中点，是的中点，是的中点，试判断与的大小关系．【分析】根据线段中点定义得出，，求出，根据是的中点得出，即可推出答案．【解答】解：是的中点，是的中点，，，．又是的中点，，，即与的大小关系是．【变式3】（2021秋•随县期末）如图，延长线段到，使，点是线段的中点，如果，那么线段的长度是多少？【分析】已知的长度，是线段的一半，则长度可求出，根据，即可求出的长度，进而可求出的长度．【解答】解：点是线段的中点，，，，，．6．线段公理两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．题型：线段公理【例】（2022秋•微山县期末）人们喜欢把弯弯曲曲的公路改为直道，其中隐含着数学道理的是．【分析】一条弯曲的公路改为直道，使两点之间接近线段，因为两点之间线段最短，所以可以缩短路程．【解答】解：由题意把弯曲的公路改为直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，其中隐含着数学道理的是：两点间线段最短．故答案为：两点间线段最短．【变式1】如图，小丽同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是A．两点之间，直线最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点确定一条线段【分析】线段的性质：两点之间线段最短，根据线段的性质，可得答案．【解答】解：由于两点之间线段最短，剩下树叶的周长比原树叶的周长小，故选：．【变式2】（2022秋•天山区校级期末）下列现象中，可以用“两点之间线段最短”来解释的是A．利用圆规可以比较两条线段的大小 B．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上 C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上【分析】利用直线的性质、线段的性质逐项进行判断即可．【解答】解：．利用圆规可以比较两条线段的大小，是利用作一条线段等于已知线段，因此选项不符合题意；．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上，是“两点确定一条直线”，因此选项不符合题意；．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，是利用“两点之间线段最短”，因此选项符合题意；．用两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用“两点确定一条直线”，因此选项不符合题意；故选：．【变式3】在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短解答．【解答】解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．7．两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．题型：线段长度【例】如图，点，在线段上，若，则一定成立的是A． B． C． D．【分析】根据已知和等式的性质逐个判断即可．【解答】解：、根据不能推出，故本选项错误；、根据不能推出，故本选项错误；、根据不能推出，故本选项错误；、，，，故本选项正确．故选：．【变式1】已知线段，在的延长线上取一点，使，则线段与线段之比为A． B． C． D．【分析】根据题意，画出图形，因为，则，故线段与线段之比可求．【解答】解：如图所示．故选：．【变式2】如图，，是线段上两点．若，，且是的中点，则的长等于A． B． C． D．【分析】先根据，求出的长，再根据是的中点求出的长即可．【解答】解：，是线段上两点，，，，是的中点，．故选：．【变式3】（2022秋•汝阳县期末）已知点，在线段上，且，若，则的长为．【分析】根据题意画出图形，借助图形分析解答即可．【解答】解：如图：，，，故答案为：4．8．方法归纳：（1）过一点的直线有无数条；直线是是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小；（2）要注意区别直线公理与线段的性质：直线公理是指两点确定一条直线，线段的性质是指两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想．（3）延伸与延长是不同的，线段不能延伸，但可以延长，直线和射线能延伸，但是不能延长；（4）直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换；（5）直线中“有且只有”中的“有”的含义是存在性，“只有”的含义是唯一性，“有且只有”与“确定”的意义相同；（6）射线：一要确定端点，二要确定延伸方向，二者缺一不可．随堂练习如图所示，以为端点画六条射线，，，，，，再从射线上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，，那么所描的第2017个点在A．射线上 B．射线上 C．射线上 D．射线上【分析】根据1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，得出每6个数为一周期．用2017除以6，根据余数来决定数2017在哪条射线上．【解答】解：在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，每六个一循环，，所描的第2017个点所在射线和1所在射线一样，第2017个点在射线上．故选：．在一平面内有四个点，过其中任意两个点画直线，可以画条直线．【分析】先考虑四点成直线，再考虑四点不成直线，作出草图即可看出．【解答】解：四点成直线，可以画1条直线；四点不成直线，可以画4或6条直线．（2020秋•罗湖区校级期中）（1）如图，线段上有两个点、，请计算图中共有多少条线段？（2）如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？（3）拓展应用：8个班级参加学校组织的篮球比赛，比赛采用单循环制（即每两个班级之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？【分析】（1）从左向右依次固定一个端点，，找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．【解答】解：（1）以点为左端点向右的线段有：线段、、，以点为左端点向右的线段有线段、，以点为左端点的线段有线段，共有条线段；（2）设线段上有个点，该线段上共有线段条，则，倒序排列有，个，，故该线段上共有条线段；（3）把8个班级看作直线上的8个点，每两个班级之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行场比赛．（2022秋•济南期末）如图，在平面内有，，三点．（1）画直线，射线，线段；（2）在线段上任取一点（不同于，，连接，并延长至，使；（3）数一数，此时图中线段共有条．【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线，线段，射线；（2）依据在线段上任取一点（不同于，，连接线段即可；（3）根据图中的线段为，，，，，，，，即可得到图中线段的条数．【解答】解：（1）如图，直线，线段，射线即为所求；（2）如图，线段和线段即为所求；（3）由题可得，图中