线性微分方程组

第五章线性微分方程组本章重点介绍和证明微分方程组的解的存在唯一性定理,并叙述解的某些性质,如解的延拓,解对初值的持续性和可微性等.教学目的1.掌握微分方程组的基本解法；2.掌握齐次型方程的解法。教学重点、难点可化为齐次型方程的解法；教学时数12学时5.1存在唯一性定理5.1.1记号和定义考察形如(5.1)其中已知函数aij(t)(i,j,=1,2,…,n)和fi(t)(i=1,2,…,n)在区间atb上是持续的,方程组有关x1,x2,…,xn及x1,x2,…,xn是线性的.引进记号则原方程(5.1)可写成形式x=A(t)x+f(t).概念一种矩阵(或向量)在区间atb上称为持续的,如果它的每一种元都是区间atb上的持续函数.一种nn矩阵B(t)或一种n维列向量u(t)在区间atb上称为可微的,如果它的每一种元都在区间atb上可微,且性质(1)[A(t)+B(t)]=A(t)+B(t);(2)[u(t)+v(t)]=u(t)+v(t);(3)[A(t)B(t)]=A(t)B(t)+A(t)B(t);(4)[A(t)u(t)]=A(t)u(t)+A(t)u(t).类似地,矩阵B(t)或一种n维列向量u(t)在区间atb上称为可积的,如果它的每一种元都在区间atb上可积,且定义1设A(t)是区间atb上的持续nn矩阵,f(t)是同一区间上的持续n维向量.方程组x=A(t)x+f(t)(5.4)在某区间t([,][a,b])的解就是向量u(t),它的导数u(t)在区间atb上持续且满足u(t)=A(t)u(t)+f(t),t.定义2初值问题x=A(t)x+f(t)x(t0)=(5.5)的解就是方程组(5.4)在包含t0的区间t上的解,使得u(t0)=．例１试列出下图中通过L1及L2电路的电流I1及I2应满足的微分方程．例２验证向量是初值问题在区间-<t<+上的解.下列办法可将n阶线性微分方程的初值问题化为形如(5.5)的线性微分方程组的初值问题.考虑n阶线性微分方程的初值问题其中ai(t),i=1,2,…n,及f(t)都是atb上的已知持续函数,t0[a,b],1,…,n是已知常数.可通过下列变换x1=x,x2=x,x3=x,…,xn=x(n1)将上述n阶线性微分方程的初值问题化为下列线性微分方程组的初值问题:5.1.2存在唯一性定理方程x=A(t)x+f(t)x(t0)=的解的存在唯一性定理.定理1如果A(t)是nn矩阵,f(t)是n维列向量,它们都在区间atb上持续,则对于区间atb上的任何数t0及任一n维常数列向量,方程组x=A(t)x+f(t)存在唯一解(t),定义于区间atb上,且满足初值条件(t0)=.

5.2线性微分方程组的普通理论讨论线性微分方程组x=A(t)x+f(t)(5.14)5.2.1齐次线性微分方程组设矩阵A(t)在区间a≤t≤b上持续设u(t)和v(t)是(5.15)的齐次型方程的任意两个解,,是两个任意常数,根据向量函数的微分法则,有u(t)+v(t)也是其解.定理2(叠加原理)如果u(t)和v(t)是齐次型方程的解,则它们的线性组合u(t)+v(t)也是该方程的解.线性有关称定义在区间a≤t≤b上的向量函数x1(t),x2(t),…,xm(t)是线性有关的,如果存在不全为零的常数c1,c2,…,cm,使得等式c1x1(t)+c2x2(t)+…+cmxm(t)=0成立;否则称为线性无关的.朗斯基行列式由n个向量函数x1(t),x2(t),…,xn(t)构成的行列式称为朗斯基行列式.定理3如果向量函数x1(t),x2(t),…,xn(t)在区间a≤t≤b上线性有关,则它们的朗斯基行列式W(t)=0.(证)定理4如果齐次型方程的解x1(t),x2(t),…,xn(t)线性无关,则它们的朗斯基行列式W(t)0.(证)定理5齐次线性微分方程组一定存在n个线性无关的解x1(t),x2(t),…,xn(t).(证)定理6如果x1(t),x2(t),…,xn(t)是齐次型方程的n个线性无关的解,则该方程的任一解x(t)均可表为这n个线性无关解的线性组合,即:x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t).(证)推论1齐次型方程的线性无关解的最大个数等于n.推论2如果已知齐次型方程的k个线性无关解,则该方程能够减少为含nk个未知函数的线性微分方程组.如果已知n1个线性无关解,则可得到齐次型方程的通解.基本解组n个线性无关的解x1(t),x2(t),…,xn(t).推论3如果x1(t),x2(t),…,xn(t)是n阶微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+an(t)x=0(5.21)的n个线性无关解,其中a1(t),a2(t),…,an(t)是区间a≤t≤b上的持续函数,则(5.21)的任一解x(t)可表为这n个线性无关解的一种线性组合:x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t).基解矩阵解矩阵nn矩阵的每一列都是齐次线性微分方程组x¢=A(t)x的解.基解矩阵解矩阵的列线性无关.定理1*齐次线性微分方程组x¢=A(t)x一定存在一种基解矩阵(t).如果(t)是方程的任意一种解,则有(t)=(t)c.定理2*齐次线性微分方程组x¢=A(t)x的一种解矩阵(t)是基解矩阵的充要条件是|(t)|=0,a≤t≤b;且如果对某一t0有|(t0)|0,则|(t)|=0,a≤t≤b.推论1*如果(t)是齐次线性微分方程组x¢=A(t)x的基解矩阵,C是非奇异nn常数矩阵,则(t)C也是方程的基解矩阵.推论2*如果(t),(t)都是方程组x¢=A(t)x的基解矩阵,则存在非奇异nn常数矩阵C,使得(t)=(t)C.5.2.2非齐次线性微分方程组讨论非齐次线性微分方程组x=A(t)x+f(t)(5.14)的解的构造.矩阵A(t)在区间a≤t≤b上持续,f(t)是区间a≤t≤b上的已知n维持续列向量.性质1如果(t)是(5.14)的解,(t)是(5.14)对应的齐次型的解,则(t)+(t)是(4.14)的解.性质2如果(t)和(t)是(5.14)的两个解,则(t)(t)是对应齐次型方程的解.定理7设(t)是对应齐次型方程的基解矩阵,(t)是(5.14)的某一解,则(5.14)的任一解(t)都可表为(t)=(t)c+(t),其中c是拟定的常数列向量.(证)定理8如果是对应齐次型方程的基解矩阵,则向量函数是(5.14)的解,且满足初值条件(t0)=0.定理8¢满足初始条件j(t0)=h的解(t)为:例2试求下列初值问题的解.推论3如果a1(t),a2(t),…,an(t),f(t)是区间a≤t≤b上的持续函数,x1(t),x2(t),…,xn(t)是区间a≤t≤b上齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+an(t)x=0的基本解组,则非齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+an(t)x=f(t)的满足初值条件(t0)=0,(t0)=0,…,(n1)(t0)=0的解由下列公式给出其中W[x1(s),w2(s),…,wn(s)]是x1(s),w2(s),…,wn(s)的朗斯基行列式,Wk[x1(s),w2(s),…,wn(s)]是在W[x1(s),w2(s),…,wn(s)]中的第k列代以(0,0,…,0,1)T后得到的行列式,且(5.28)的任一解u(t)都含有形式u(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t)+(t),其中c1,c2,…,cn是适宜选用的常数.例3试求方程x+x=tant的一种解.

5.3常系数线性微分方程组讨论常系数线性微分方程组x=Ax(5.33)其中A为nn常数矩阵.5.3.1矩阵指数expA的定义和性质设A是一种nn常数矩阵,定义矩阵的指数expA为下列矩阵级数的和:矩阵指数的性质性质1如果矩阵A,B是可交换的,即AB=BA,则exp(A+B)=expAexpB.(证)性质2对于任何矩阵A,(expA)1存在,且(expA)1=exp(A).(证)性质3如果T是非奇异矩阵,则exp(T1AT)=T1(expA)T.定理9矩阵(t)=expAt是(5.33)的基解矩阵,且(0)=E.(证)例1如果A是下列形式的对角矩阵,试找出x=Ax的基解矩阵.例2试求下列方程的基解矩阵.5.3.2基解矩阵的计算公式类似于第四章的办法,谋求方程x=Ax的形如(t)=etc,c0的解.代入(5.33)可得etc=Aetc.即c=Ac或(EA)c=0上述方程有非零解的充要条件是det(EA)=0.定义设A是一种nn常数矩阵,使得有关u的线性代数方程组(EA)u=0含有非零解的常数称为A的一种特性值.例3试求下列矩阵的特性值和对应的特性向量.例4试求下列矩阵的特性值和对应的特性向量.定理10如果矩阵A含有n个线性无关的特性向量v1,v2,…,vn,它们对应的特性值分别为1,2,…,n,则矩阵是常系数线性微分方程组x=Ax的一种基解矩阵.(证)例5试求方程组x=Ax的一种基解矩阵,其中.例6试求例5的实基解矩阵(或计算expAt).讨论当A是任意的nn矩阵时,基解矩阵的计算办法.有关线性代数的知识.设系数矩阵A有特性值1,2,…,k,重数分别为n1,n2,…,nk,则齐次线性微分方程组的满足初始条件解可表达为依次令=ej,可分别求出n个线性无关解j(t),从而可得基解矩阵:特别情形,如果矩阵A只有一种特性值,则例7设A是例4的矩阵,试解初值问题x=