2022-2023学年江苏省无锡市普通高中高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市普通高中2022-2023学年高二下学期期末数学试题注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上．1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，则故选：A.2.已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴在时的瞬时降雨强度为.故选：D．3.若，，其中，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，所以．故选：C.4.函数的图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，故为偶函数，，当时，，且随着增大而增大，故增长越来越快，故选：B.5.某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集了组对应数据如下表所示：根据表中数据，得出关于的回归直线方程为.据此计算出在样处的残差为，则表中的值为（）（注：称为对应样本点的残差）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由残差为可知，当时，，即，解得，所以回归直线方程为，又，，且样本中心在回归直线上，所以，解得，故选：A.6.一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于，则该批产品中一等品至少有（）A.3件 B.4件 C.5件 D.6件〖答案〗C〖解析〗设该批产品共有件，，从中任取3件产品，均不是一等品的概率为，则至少有1件一等品的概率为，由题意，即，可得，则该批产品中一等品至少有件，故选：C.7.已知函数，在区间上任取两个不相等的实数，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可知在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以，故选：C.8.已知函数，若存在区间，使得在上的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数开口向上且对称轴为在上单调递增．存在区间，使得在上的值域为，则有，即方程在有两不同实数根．，解得，的取值范围为.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，其中为实数，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗令，则原式转化，令，得，故A正确；展开式的通项为，则，，，故B正确；令，得，所以，故C正确；，两边求导得，令，得，故D错误.故选：ABC.10.已知，则下列结论正确的是（）A.的最小值为2 B.的最小值为C.的最大值为1 D.的最小值为〖答案〗BD〖解析〗对于A，由得，则，当且仅当取等号，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，，，，则当，即时，取最小值，故D正确.故选：BD．11.从装有2个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出的是红球”为事件，“第一次摸出的是蓝球”为事件，“第二次摸出的是红球”为事件，“第二次摸出的是蓝球”为事件．则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由题意，事件有两种情况，①第一次摸出红球，第二次摸出红球；②第一次摸出蓝球，第二次摸出红球，则，故A正确；，故B错误；∵，，∴，故C错误；∵，故D正确．故选：AD．12.记函数的图象为，下列选项中正确的结论有（）A.函数的极大值和极小值均有且只有一个B.有且仅有两条直线与恰有两个公共点C.不论实数为何值，方程一定存在实数根D.上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限〖答案〗AC〖解析〗由,则，当时，均为单调递增函数，所以在单调递增，由于,故存在唯一的实数，使得，而当,,又当，故在单调递减，在单调递增，故当时，取极小值，又，所以奇函数，由对称性可知当时，取极大值，故A正确，根据的单调性和奇偶性，作出的大致图象如下：故经过极值点且与轴平行的直线，及在极值点附近与曲线相切，与曲线另一侧相交的直线均与点图象有两个交点，故B错误，由于当趋于时趋于，且为奇函数，直线恒过定点，，所以与的图象恒有交点，故恒有根，故C正确，对于D，任意经过原点且与相交的直线,过弦中点作垂线交于于点,则三角形即为等腰三角形,这样的三角形有无数多个.故D错误，故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把〖答案〗填写在答题卡相应位置上．13.的展开式中常数项是________.〖答案〗15〖解析〗二项式的展开式的通项公式为，令，求得.所以展开式中常数项为.故〖答案〗为：15.14.某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈人的概率记为，则当取最大值时，的值为____．〖答案〗800〖解析〗该新药针对某种疾病的治愈率为，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈人的概率记为，则，由，即，可得，解之得，又，则，则当取最大值时，的值为800.故〖答案〗为：800.15.不等式的解集为________．〖答案〗〖解析〗作出，（其中）的图象，如图，时，单调递减，单调递增，两个函数均过点，时，，，时，，，由图可知，当时，，则不等式的解集为.故〖答案〗为：.16.将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有________种不同排法；若这列数前个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有________种不同排法．（用数字作答）〖答案〗7025〖解析〗4个“0”和4个“1”排成一排，在8个位置中选4个位置排0即可，一共有种，若前个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则第1个数必为0，若第2个数为0，则在后6个位置中选2个位置排0，共有种，若第2个数为1，则第3个数必为0，则在后5个位置中选2个位置排0共有种，共有种，故〖答案〗为：70；25.四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合，，且为非空集合．（1）当时，，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．解：（1）由题意可得：，为非空集合，则，，当时，，因为，所以或，解得，故实数的取值范围.（2）若“”，则，“”是“”的充分条件，则，所以或或，解得或或，即，所以实数的取值范围.18.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求时，的〖解析〗式；（2）求不等式的解集．解：（1）是定义在上的奇函数，则，当时，，则，所以，．（2）当时，．当时，，可得或，解得；当时，，可得，解得．综上所述，不等式的解集为.19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其箱产量如下表所示．养殖法箱产量箱产量箱产量旧养殖法3020新养殖法1535（1）根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；（2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于的箱数，求X的分布列和期望．附：，，．解：（1）零假设：箱产量与养殖方法无关．根据列联表数据可得：．所以依据小概率值的独立性检验，不成立，即认为箱产量与养殖方法有关．（2）．，，，X的分布列为012．20.已知函数．（1）若函数在处有极大值，求实数c的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数c的取值范围．解：（1）．当，即或时，函数可能有极值．由题意，函数在处有极大值，所以．所以，时，，在区间上单调递增；时，，在区间上单调递减；时，，在区间上单调递增；所以，当时，取得极大值，此时，．（2）若，时，，在区间上单调递增，，解得．所以符合题意．若即，由（1）可知，在区间上单调递增所以，解得．所以，不合题意．若即，由（1）可知，在区间上的最大值为，所以只需，即，又，解得．综上所述：．21.某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．（1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；（2）经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？附：若随机变量，则，，．解：（1）设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件A，“甲以4：1或4：2或4：3获胜”分别记为事件，，，“甲前3局比赛均获胜”为事件．则，，，．，．所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率．（2）设该校高二年级学生体能检测的成绩为，则．，所以，所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为人，而，所以该校高二年级学生体能检测成绩合格．22.已知函数，．（1）若直线与函数的图象相切，求实数k的值；（2）若不等式对定义域内任意x都成立，求实数a的取值范围．解：（1）设直线与函数的图象相切与点，则，所以，所以；（2）在定义域上恒成立，即，即在上恒成立，令，则，令，则，则在上单调递增，又，，所以存在唯一实数，使得，即，且当时，，所以，单调递减，当时，，所以，单调递增，所以，由可得，即，因为时，，所以在上单调递增，所以，所以，所以．江苏省无锡市普通高中2022-2023学年高二下学期期末数学试题注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上．1.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，则故选：A.2.已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴在时的瞬时降雨强度为.故选：D．3.若，，其中，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，所以．故选：C.4.函数的图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，故为偶函数，，当时，，且随着增大而增大，故增长越来越快，故选：B.5.某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集了组对应数据如下表所示：根据表中数据，得出关于的回归直线方程为.据此计算出在样处的残差为，则表中的值为（）（注：称为对应样本点的残差）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由残差为可知，当时，，即，解得，所以回归直线方程为，又，，且样本中心在回归直线上，所以，解得，故选：A.6.一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于，则该批产品中一等品至少有（）A.3件 B.4件 C.5件 D.6件〖答案〗C〖解析〗设该批产品共有件，，从中任取3件产品，均不是一等品的概率为，则至少有1件一等品的概率为，由题意，即，可得，则该批产品中一等品至少有件，故选：C.7.已知函数，在区间上任取两个不相等的实数，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可知在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以，故选：C.8.已知函数，若存在区间，使得在上的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数开口向上且对称轴为在上单调递增．存在区间，使得在上的值域为，则有，即方程在有两不同实数根．，解得，的取值范围为.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，其中为实数，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗令，则原式转化，令，得，故A正确；展开式的通项为，则，，，故B正确；令，得，所以，故C正确；，两边求导得，令，得，故D错误.故选：ABC.10.已知，则下列结论正确的是（）A.的最小值为2 B.的最小值为C.的最大值为1 D.的最小值为〖答案〗BD〖解析〗对于A，由得，则，当且仅当取等号，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；对于C，，，故C错误；对于D，，，，则当，即时，取最小值，故D正确.故选：BD．11.从装有2个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出的是红球”为事件，“第一次摸出的是蓝球”为事件，“第二次摸出的是红球”为事件，“第二次摸出的是蓝球”为事件．则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由题意，事件有两种情况，①第一次摸出红球，第二次摸出红球；②第一次摸出蓝球，第二次摸出红球，则，故A正确；，故B错误；∵，，∴，故C错误；∵，故D正确．故选：AD．12.记函数的图象为，下列选项中正确的结论有（）A.函数的极大值和极小值均有且只有一个B.有且仅有两条直线与恰有两个公共点C.不论实数为何值，方程一定存在实数根D.上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限〖答案〗AC〖解析〗由,则，当时，均为单调递增函数，所以在单调递增，由于,故存在唯一的实数，使得，而当,,又当，故在单调递减，在单调递增，故当时，取极小值，又，所以奇函数，由对称性可知当时，取极大值，故A正确，根据的单调性和奇偶性，作出的大致图象如下：故经过极值点且与轴平行的直线，及在极值点附近与曲线相切，与曲线另一侧相交的直线均与点图象有两个交点，故B错误，由于当趋于时趋于，且为奇函数，直线恒过定点，，所以与的图象恒有交点，故恒有根，故C正确，对于D，任意经过原点且与相交的直线,过弦中点作垂线交于于点,则三角形即为等腰三角形,这样的三角形有无数多个.故D错误，故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把〖答案〗填写在答题卡相应位置上．13.的展开式中常数项是________.〖答案〗15〖解析〗二项式的展开式的通项公式为，令，求得.所以展开式中常数项为.故〖答案〗为：15.14.某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈人的概率记为，则当取最大值时，的值为____．〖答案〗800〖解析〗该新药针对某种疾病的治愈率为，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈人的概率记为，则，由，即，可得，解之得，又，则，则当取最大值时，的值为800.故〖答案〗为：800.15.不等式的解集为________．〖答案〗〖解析〗作出，（其中）的图象，如图，时，单调递减，单调递增，两个函数均过点，时，，，时，，，由图可知，当时，，则不等式的解集为.故〖答案〗为：.16.将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有________种不同排法；若这列数前个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有________种不同排法．（用数字作答）〖答案〗7025〖解析〗4个“0”和4个“1”排成一排，在8个位置中选4个位置排0即可，一共有种，若前个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则第1个数必为0，若第2个数为0，则在后6个位置中选2个位置排0，共有种，若第2个数为1，则第3个数必为0，则在后5个位置中选2个位置排0共有种，共有种，故〖答案〗为：70；25.四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合，，且为非空集合．（1）当时，，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．解：（1）由题意可得：，为非空集合，则，，当时，，因为，所以或，解得，故实数的取值范围.（2）若“”，则，“”是“”的充分条件，则，所以或或，解得或或，即，所以实数的取值范围.18.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求时，的〖解析〗式；（2）求不等式的解集．解：（1）是定义在上的奇函数，则，当时，，则，所以，．（2）当时，．当时，，可得或，解得；当时，，可得，解得．综上所述，不等式的解集为.19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其箱产量如下表所示．养殖法箱产量箱产量箱产量旧养殖法3020新养殖法1535（1）根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；（2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于的箱数，求X的分布列和期望．附：，，．解：（1）零假设：箱产量与养殖方法无关．根据列联表数据可得：．所以依据小概率值的独立性检验，不成立，即认为箱产量与养殖方法有关．（2）．，，，X的分布列为012．20.已知函数．（1）若函数在处有极大值，求实数c的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数c的取值范围．解：（1）．当，即或时，函数可能有极值．由题意，函数在处有极大值，所以．所以，时，，在区间上单调递增；时，，在区间上单调递