专题2.21 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题2.21一元二次方程根与系数关系（知识讲解）【学习目标】1.理解换元法的实际意义并能列出换元后的方程；2.掌握用换元法解一元二次方程的步骤，并熟练运用换元法解一元二次方程。【要点梳理】1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.【典型例题】类型一、一元二次方程根与系数关系➽➼求值✭✭化简1．若、是方程的两个实数根．___________，___________；分别求和的值．【答案】(1)，；(2)；【分析】（1）利用两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可；（2）先通分计算，再整理得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值即可计算出的值；利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值即可计算出的值．（1）解：、是一元二次方程的两个实数根，，；故答案为：，；（2）；．【点拨】此题主要考查了根与系数的关系，完全平方公式的应用，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．举一反三：【变式1】已知m，n是方程的实数根．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据根与系数关系直接求解即可（2）将m代入方程可得：，而，再根据根与系数关系直接求解即可（1）∵m，n是方程的实数根，∴，（2）将m代入方程可得：，由（1）知：，，∴【点拨】本题考查了根与系数关系，以及一元二次方程的根，熟练掌握根与系数关系是解决问题的关键【变式2】已知是方程的两个实数根，求下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)9(2)【分析】（1）先求出再把展开，再代入求值即可；（2）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可；（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴．∴；（2）∵∴【点拨】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，属于中考常考题型．类型二、一元二次方程根与系数关系✭✭根的判别式➽➼证明✭✭求值2．关于的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根；若方程的两根分为、，且，求的值．【答案】(1)见解析；(2)k=6或k=-2．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入，即可求出k的值．（1）∵b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，∵，∴，∴，即，解得：k=6或k=-2．【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=-，x1•x2=．举一反三：【变式1】已知关于x的一元二次方程．求证：方程总有两个不相等的实数根；若方程有一个根是1，求方程另一个根．【答案】(1)见解析；(2)-5【分析】(1)只需证明根的判别式△＞0即可．(2)设另一个根为，利用根与系数关系定理，×1=-5，计算即可．解：（1）∵中，a=1，b=a，c=-5，∴△=＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）设另一个根为，∵，∴×1=-5，解得=-5，故方程另一个根为-5．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理，熟练掌握并灵活应用两个定理是解题的关键．【变式2】已知关于的一元二次方程．求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．【答案】(1)见解析；(2)，【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形求值即可．（1）解：∵一元二次方程，，∴无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：依题意得，，，∵，∴，∴，即，（3a+1）（a-1）=0，解得，；【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，．类型三、一元二次方程根与系数关系✭✭根的判别式➽➼求取值范围✭✭求值3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．求实数m的取值范围；若，求m的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，再解不等式即可；（2）先把条件整理为，再利用根与系数的关系消去得到关于m的方程，再解方程并检验即可．(1)解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得．（2）根据根与系数的关系得，，，∵，∴，∴，解得，经检验符合题意【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握“根的判别式与根与系数的含义”是解本题的关键．举一反三：【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．【答案】(1)；(2)7【分析】（1）由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）由根与系数的关系可求得两根之和与两根之积，再结合完全平方公式的变形，代入求解即可．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0，解得：；当k＝1时，方程为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9﹣2＝7．【点拨】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键．【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣2m＝0有实数根．求m的取值范围；若方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22﹣x1x2＝9，求m的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由方程有实根，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）利用根与系数的关系可分别表示出与的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值．（1）解：∵关于x的一元二次方程有实根，∴，即，解得；（2）解：∵方程的两个实数根为x1，x2，∴，∴∴，即，解得或∵一元二次方程有实根时，∴．【点拨】此题考查一元二次方程根的判别式，根于系数的关系，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键．类型四、一元二次方程根与系数关系✭✭根的判别式➽➼几何问题✭✭求值4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m＋1）x＋m2＋5＝0的两实数根．(1)若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】(1)6；(2)17【分析】（1）根据一元二次方程的判别式与根的关系可得△≥0，解不等式即可得出m的取值范围，根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2和x1x2的值，代入可得关于m的方程，解方程求出m的值即可；（2）分7为腰和底边两种情况，分别根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根的判别式求出m的值，可得出三角形的三边长，根据三角形的三边关系即可求出三角形的周长．解：（1）∵关于x的一元二次方程有两实数根，∴=4（m+1）2-4（m2+5）=8m-16≥0，解得：m≥2．∵x1，x2是关于x的一元二次方程的两实数根．∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1-1）（x2-1）=28，即x1x2-（x1+x2）+1=28，∴m2+5-2（m+1）+1=28，整理得：m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4，∵m≥2，∴m的值为6．（2）①当7为腰时，则x1、x2中有一个为7，设x1=7，把x1=7代入方程得：49-14（m+1）+m2+5=0，整理得m2-14m+40=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，解得：x2=15，∵7+7<15，∴不能构成三角形，故舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得：x2=3，∴三角形周长为3+7+7=17；②当7为底边时，则x1=x2，∴=8m-16=0，解得：m=2，∴方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，∵3+3<7，∴不能构成三角形，故舍去，∴这个三角形的周长为17．【点拨】本题考查此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了三角形的三边关系．举一反三：【变式1】已知在中，，a，b，c分别是的对边，且a，b是关于x的方程的两根，求的面积．【答案】6【分析】由于a、b是关于x的方程的两根，由根与系数的关系可知：，；由勾股定理可知：，则，即，由此求出c，即可得出结论．解：∵a、b是关于x的方程的两根，∴由根与系数的关系可知：；由直角三角形的三边关系可知：，则，即，解得或（舍去），∴，∴的面积为．【点拨】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的运用．【变式2】设等腰三角形的三条边长分别为a，b，c，已知a＝2，b、c是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，求m的值．【答案】m的值为9．【分析】已知等腰三角形的一边长为2，但并不知道这条边为腰长还是底边长，因此需要分两种情况进行分析：当2为等腰三角形的腰长时；当2为等腰三角形的底边长时.需要注意的是所求出的m的值要满足两个条件：①要使一元二次方程中的判别式大于等于0；②所求出的三角形三边要满足三角形的三边关系.解：∵b、c是关于x的方程x2﹣6x+m＝0两个根，∴b+c＝6，bc＝m．当a＝2为腰长时，b＝4，c＝2，此时m＝8（或c＝4，b＝2，m＝8），∵4，2，2不能组成等腰三角形，∴m＝8不符合题意；当a＝2为底边长时，∵b+c＝6，b＝c，∴b＝c＝3，∴m＝9，∵3，3，2可组成等腰三角形，∴m＝9符合题意．综上所述，m的值为9．【点拨】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质及三角形的三边关系.根据等腰三角形的性质把问题分为两种情况进行讨论是解答此题的基础，根据一元二次方程根与系数的关系求得方程的两个根和m的值是解答此题的重点.在利用根与系数的关系时一定要使方程中的判别式大于等于0，在求出两根后根据三角形的三边关系进行判断三角形是否存在是解答此题的易忽视点和易错点.类型五、一元二次方程根与系数关系➽➼拓展➽➼求值5.已知，，且，求的值．【答案】3【分析】根据题意，于是和可以视为方程的两个根，转化为根与系数的关系来解决问题解：由，可知，则两边同除以，又，，于是和可以视为方程的两个根，【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，转化问题是解题的关键．举一反三：【变式1】已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式的值．【答案】（1）且；（2）2020【分析】（1）根据判别式Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根进行求解，即可得到k的取值范围；（2）先求出k的最小值，得到，再根据根与系数的关系得到，，进而通过计算即可得解．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即，解不等式得，，又∵是一元二次方程，∴，∴k的取值范围是且；（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，∴k的最小整数值为1，把k=1代入原方程，得，∴，，，将两边同乘，得，∴==，将，代入得==2020．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式以及整式的化简求值等相关内容，熟练掌握各部分的计算方法是解决本题的关键．【变式2】已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣2x+2k＝0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，并求出该最小值．【答案】（1）实数k的取值范围是任意实数；（2）当k＝﹣1时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，该最小值为4．【分析】（1）先把方程整理为一般式，然后计算方程判别式的值，再根据判别式的情况解答即可；先根据一元二次方程根与系数的关系把已知代数式变形为k2+2k+5，再配方为（k+1）2+4，进而可得结果．解：（1）方程整理得：x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0，∵△＝4（k+1）2﹣4（k2+2k）＝4＞0，∴实数k的取值范围是任意实数；（2）根据题意得：x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2k，∴x12+x22﹣x1•x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1x2+1＝4（k+1）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+2k+5＝（k+1）2+4，∴当k＝﹣1时，代数式x12+x22﹣x1•x2+1取得最小值，该最小值为4．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题关键．类型六、一元二次方程根与系数关系➽➼存在性问题6.已知x1，x2是关于x的方程ax2﹣（a+1）x+1＝0的两个实数根．（1）若x1≠x2，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a使得x12＝x22成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）且；（2）存在，a的值为1或-1【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式可求实数a的取值范围；（2）分两种情况①若x1＝x2，②若x1+x2＝0进行讨论即可求解．解：（1）由题意得，解得：a≠0且a≠1．故实数a的取值范围是：a≠0且a≠1；（2）存在；①若x1＝x2，则，解得：a＝1；②若x1+x2＝0，则，解得：a＝﹣1．综上所述，a＝1或﹣1．【点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．举一反三：【变式1】已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式