专题20 解答压轴题型：二次函数综合题（原卷版）

专题20解答压轴题型：二次函数综合题1．（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．（1）求，的值；（2）已知点，在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求与的面积之和；在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．2．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分和矩形构成，矩形的一边为12米，另一边为2米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1米．是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在轴上，与矩形的一边平行且相等．栅栏总长为图中粗线段，，，长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线上．设点的横坐标为，求栅栏总长与之间的函数表达式和的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围在右侧）．3．（2021•安徽）已知抛物线的对称轴为直线．（1）求的值；（2）若点，，，都在此抛物线上，且，．比较与的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点、，与抛物线交于点，，求线段与线段的长度之比．4．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．（1）判断点是否在直线上，并说明理由；（2）求，的值；（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．5．（2019•安徽）一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点．（1）求，，的值；（2）过点，且垂直于轴的直线与二次函数的图象相交于，两点，点为坐标原点，记，求关于的函数解析式，并求的最小值．6．（2023•瑶海区一模）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上，设抛物线与轴的交点坐标为．（1）当，时，求抛物线的表达式；（2）若，求的取值范围；（3）连接，，，当，时，的面积是否有最大值，若有请求出最大值；若没有请说明理由．7．（2023•合肥一模）如图，抛物线与轴的两个交点坐标为、．（1）求抛物线的函数表达式；（2）矩形的顶点，在轴上，不与、重合），另两个顶点，在抛物线上（如图）．①当点在什么位置时，矩形的周长最大？求这个最大值并写出点的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由．8．（2023•庐阳区校级一模）已知抛物线．（1）当时，求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）若该抛物线与直线的一个交点在轴正半轴上．①求此抛物线的解析式；②当时，求的最小值（用含的式子表示）．9．（2023•庐阳区一模）如图1，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点为上一点（不与，重合），过点作的垂线，与抛物线相交于点，点（点在点的左侧），设，，求与的函数解析式．10．（2023•合肥模拟）如图，抛物线经过，，三点，为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，与相交于点．于．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段长度的最大值；（3）连接，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2023•蜀山区二模）在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度与小球抛出后经过的时间满足表达式：，其图象如图1所示．（1）求小球上升的最大高度；（2）若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球上升高度与小球抛出后水平距离满足如图2所示的抛物线，其中，而小球上升高度与时间仍满足．①当时，求小球上升到最高点时的水平距离；②在小球正前方处的挡板上有一空隙，其上沿的高度为，下沿的高度为，若小球下落过程恰好从空隙中穿过（不包括恰好击中点，，挡板厚度不计），请求出此时的取值范围．12．（2023•蜀山区校级一模）已知抛物线；（1）若抛物线的顶点坐标为，求、的值；（2）当，时，抛物线的最小值是，求的值；（3）当，时，恒成立，则的最大值为．13．（2023•瑶海区二模）已知：抛物线与轴交于点、（点在轴正半轴），顶点为，且．（1）求的值；（2）求的面积；（3）若点为抛物线上一点，轴交直线于点，求的最小值．14．（2023•包河区二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）将抛物线向右平移个单位，设平移后的抛物线中随增大而增大的部分记为图象，若图象与直线只有一个交点，求的取值范围．15．（2023•庐阳区二模）某公司调研了历年市场行情和生产情况以后，对今年某种商品的销售价格和成本价格进行预测，提供了两方面的信息，如图所示．图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线．（1）在3月份和6月份出售这种商品，哪个月商品的单件利润更大？（2）从3月份到8月份，哪个月商品的单件利润最大？最大利润是多少？16．（2023•庐阳区校级二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．（1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．17．（2023•庐江县模拟）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知抛物线．（1）若抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标；（2）如图，在（1）的条件下，在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的右侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标．（3）若抛物线有两个相异的不动点、，且，求的取值范围．18．（2023•合肥二模）如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台宽为3，前方有六个台阶（各拐点均为，每个台阶的高为2，宽为2，楼梯平台到轴距离，从轴上的点处向右上方弹射出一个小球（小球视为点），飞行路线为抛物线，当点落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与形状相同的抛物线．（1）通过计算判断小球第一次会落在哪个台阶上；（2）若小球第二次的落点在台阶中点上，求小球第二次飞行路线的解析式；（3）若小球再次从点处弹起后落入轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），接收装置最大截面为矩形，点横坐标为16，，，求出小球第三次飞行路线的顶点到轴距离最小值．19．（2023•庐阳区校级一模）如图，抛物线过点，，且与轴交于点，点是抛物线对称轴与直线的交点（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）若点是第四象限内抛物线上的一动点，设点的横坐标为，以点、、为顶点的的面积为，求关于的函数关系式，并求的最大值．20．（2023•合肥一模）如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标；（3）若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．21．（2023•合肥模拟）已知关于的抛物线，其中为实数．（1）求证：该抛物线与轴没有交点；（2）若与轴平行的直线与这条抛物线相交于，两点（点在点的左侧），已知点到轴的距离为，求点到轴的距离；（3）设这条抛物线的顶点的纵坐标为，当时，求的取值范围．22．（2023•庐阳区校级三模）如图是市体操队体操跳台训练的截面示意图，和线段分别表示跳板和跳马面，取地面为轴，跳板边所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中点，，，．已知体操运动员园园在跳板边上的点起跳，第一次腾空的路线为抛物线，双手撑在跳马面后第二次腾空的路线为抛物线．（1）跳马面的宽为，并求出所在直线的表达式；（2）若运动员园园在距离地面的点处起跳，判断其双手是否能撑在跳马面上；（3）运动员园园第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为，越大，完成动作的效果越好，若运动员园园在第一次腾空后手触跳马面的位置为，当时，直接写出的取值范围．23．（2023•合肥二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，①求抛物线的解析式；②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、，求的取值范围．24．（2023•瑶海区三模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品，从5月1日起的300天内，该商品市场售价与上市时间的关系用图1的折线表示；商品的成本与时间的关系用图2的一部分抛物线表示．（1）每件商品在第50天出售时的利润是元；（2）直接写出图1表示的商品售价（元与时间（天之间的函数关系；（3）若该公司从销售第1天至第200天的某一天内共售出此种商品2000件，请你计算最多可获利多少元？25．（2023•庐江县二模）如图，直线和直线分别与轴交于点，点，顶点为的抛物线与轴的右交点为点．（1）若，求的值和抛物线的对称轴；（2）当点在下方时，求顶点与距离的最大值；（3）在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出时“整点”的个数．26．（2023•蜀山区校级一模）已知：经过点，．（1）求函数的解析式；（2）平移抛物线使得新顶点为点．①当时，若，且在直线的右侧，两函数值都随的增大而增大，求的取值范围；②点在原抛物线上，新抛物线与轴交于点，当时，求点的坐标．27．（2023•芜湖模拟）某大型乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项目之一．如图所示，为过山车“冲上云霄”的一部分轨道为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在轨道距离地面5米处有两个位置和，当过山车运动到处时，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线的大小形状与抛物线完全相同，求的长度；（3）现需要对轨道下坡段进行安全加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架、、、，且要求．如何设计支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？28．（2023•包河区校级一模）如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）点为抛物线上一动点．①如图2，过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，连接，．当时，求点的坐标；②如图3，若点在直线上方的抛物线上，连接与交于点，求的最大值．29．（2023•庐阳区校级一模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．（1）求抛物线的表达式；（2）当时，抛物线有最小值5，求的值；（3）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值．30．（2023•合肥模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过、两点，（1）求抛物线的解析式：（2）如图2，过点作轴于点，连接，将沿翻折使点落在点处，求出点的坐标，并判断点是否在抛物线上；（3）如图3，在（2）的条件下，连接和，其中与交于点，试直接写出的值．31．（2023•庐江县三模）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的对称轴上一点，点在抛物线上，且点的横坐标为．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若，求点到直线的距离的最大值；（3）若、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．32．（2023•蜀山区模拟）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线．（1）求抛物线的解析式．（2）若是抛物线上位于第四象限上的点，求点到直线距离的最大值．（3）已知，，线段以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向上平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围．33．（2023•芜湖模拟）数学兴趣小组在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（无盖长方体箱子放在水平地面上）．现将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子正面示意图）．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为的一部分，且抛物线经过．已知，，．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子；（3）若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．34．（2023•安徽模拟）如图1，抛物线与轴交于，．两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过点，．（1）求直线的解析式；（2）点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）问取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，点为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．35．（2023•瑶海区校级模拟）新开张的水果店计划增加甲、乙两种水果的销售量，根据合肥市相关的市场物价调研，甲种水果的销售利润（元与进货量满足函数关系，乙种水果的销售利润（元与进货量满足二次函数的关系（图象如图所示）．（1）求关于的函数解析式；（2）水果店计划购进甲、乙两种水果共，设乙种水果的进货量为，假设销售量进货量，且不计其他支出费用．①求甲、乙两种水果所获得的销售利润（元与之间的函数关系式；②如何安排甲、乙两种水果的进货量，可使获得的销售利润之和最大？并求出最大利润．36．（2023•黄山一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成．矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点．①求的最大值．②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．37．（2023•花山区一模）已知抛物线的顶点坐标为．（1）求，的值；（2）将抛物线