1981年全国高中数学联赛试题及详细解析

1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分)⑴条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件⑵条件甲：eq\r(1+sinθ)=a．条件乙：sineq\f(θ,2)+coseq\f(θ,2)=a．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件⑸给出长方体ABCD—ABCD，下列12条直线：AB，BA，CD，DC，AD，DA，BC，CB，AC，BD，AC，BD中有多少对异面直线？A．30对B．60对C．24对D．48对⑹在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2-x

这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定，t的取值范围是0≤t≤1

，设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为A．－t2+t+eq\f(1,2)B．－2t2+2tC.1－eq\f(1,2)t2D.eq\f(1,2)(t－2)2⑺对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？A．至多有三个实根B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根D．当p<0和q>0时，有三个实根2．(本题15分)下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正：x0.0210.271.52.835lgx2a+b+c－36a－3b－23a－b+c1－2a+2b－c2a－ba+cx678914lgx1+a－b－c2(a+c)3－3a－3c4a－2b1－a+2b

3．(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PC∙QE+PD∙QF<2．5．(本题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设∠BPQ=θ，求θ的范围．提示：利用入射角等于反射角的原理．

1981年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答1．选择题(本题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分)⑴条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件【答案】B【解析】乙甲，但甲乙，故选B.⑶设α≠eq\f(kπ,2)(k≠0，±1，±2，……)，T=eq\f(sinα+tanα,cosα+cotα)．A．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负【答案】C【解析】T=eq\f(sin2α(cosα+1),cos2α(sinα+1))>0，选C．⑸给出长方体ABCD—ABCD，下列12条直线：AB，BA，CD，DC，AD，DA，BC，CB，AC，BD，AC，BD中有多少对异面直线？A．30对B．60对C．24对D．48对【答案】A【解析】每条面上的对角线都与5条面上的对角线异面．故共有5×12÷2=30对．选A．⑹在坐标平面上有两个区域M和N，M是由y≥0，y≤x和y≤2-x

这三个不等式确定，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1确定，t的取值范围是0≤t≤1

，设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为⑺对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面结论中，哪一个是错误的？A．至多有三个实根B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根D．当p<0和q>0时，有三个实根【答案】C,D【解析】画出y=x|x|及y=－px－q的图象：知A、B正确，C、D错误．选C、D．2．(本题15分)下列表中的对数值有两个是错误的，请予纠正：x0.0210.271.52.835lgx2a+b+c－36a－3b－23a－b+c1－2a+2b－c2a－ba+cx678914lgx1+a－b－c2(a+c)3－3a－3c4a－2b1－a+2b3．(本题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PC∙QE+PD∙QF<2．4．(本题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件．每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A与1个C．用库存的A、B、C三种零件，如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完．