专题05 探索与表达规律（解析版）

2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）专题05探索与表达规律题型导航探探索与表达规律数字类规律探索题型1数字类规律探索图形类规律探索题型2图形类规律探索题型变式【题型1】数字类规律探索1．（2021·浙江金华·七年级期中）观察下列等式：…，那么的末位数字是（

）A．1 B．3 C．7 D．0【答案】D【分析】分析题意，可得7的正整数次幂的结果的个位数字依次为7、9、3、1、7、9、3、1……，得到规律为：每4个数字为一个循环；用2016除以4，判断有几个循环周期，再求出一个循环所得和的末尾数字，即可解答．【详解】∵…，∴个位数字以7、9、3、1每4个为一个循环，∵，∴共有505个循环，∵7+9+3+1=20，∴经过一个循环周期所得和的末尾数字是0，∴经过505个循环周期所得和的末尾数字是0，故选D．【点睛】本题以有理数乘方为背景，考查规律探究类题目的解法，解答本题的关键是从7n的结果中找出末尾数字的规律．【变式1-1】2．（2021·广东·珠海市文园中学七年级阶段练习）观察：……，根据规律﹣是第_____个数．【答案】22【分析】不难看出，以1为分母的数有1个，以2为分母的数有3个，以3为分母的数有5个，则以5为分母的数有9个，且奇数项的数为正，偶数项的数为负，据此求解即可．【详解】解：以5为分母之前的数的个数为：1+3+5+7＝16，则以5为分母的第1个数为：，故以5为分母的数分别为：，，，，，﹣，，﹣，，故﹣是第16+6＝22个数．故答案为：22．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．【题型2】图形类规律探索1．（2022·安徽·合肥市第三十中学八年级期末）我们用全等的正六边形拼成如下图形，按此规律则第10个图形中有小正六边形（

）个．A．270 B．271 C．272 D．273【答案】B【分析】根据图形特点，首先写出前三个图形中小正六边形的个数，从而得到规律并写出第n个图形中小正六边形的个数，然后把n=10代入进行计算即可得解．【详解】解：如图，第1个图形中有小正六边形1个，1=3×12-3×1+1，第2个图形中有小正六边形7个，7=3×22-3×2+1，第3个图形中有小正六边形19个，19=3×32-3×3+1，…，依此类推，第n个图形中有小正六边形（3n2-3n+1）个，所以，第10个图形中有小正六边形3×102-3×10+1=271个．故选：B．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，得到第n个图形中小正六边形的个数变化规律的表达式是解题的关键．【变式2-1】2．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…依此规律，第2022个图案有n个黑棋子，则n＝_____．【答案】10109【分析】根据图形的变化寻找规律即可．【详解】解：观察图形的变化可知：第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，发现规律，第个图案有黑棋子数为：；∴第2022个图案有黑色棋子的数量为（个）；故答案为10109．【点睛】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是得到图形的一般变化规律．专项训练一．选择题1．（2021·湖南永州·八年级期中）已知：，，，…，若（a、b都是正整数），则的最小值是（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【分析】根据前几个式子的特征可得规律：，根据规律求出a，b，再求值即可．【详解】解：，，，…，由已知可得规律：，∵×10＝＋10，∴a=10，b=9，∴a+b=19．故选D．【点睛】本题考查用代数式表示规律，解题关键是观察分析前几个式子的特征得出规律．2．（2021·全国·七年级单元测试）在科幻电影“银河护卫队”中，星球之间的穿梭往往靠宇宙飞船沿固定路径“空间跳跃”完成。如图所示：两个星球之间的路径只有条，三个星球之间的路径有条，四个星球之间的路径有条，…，按此规律，则七个星球之间“空间跳跃”的路径有（

）．A．15条 B．21条 C．28条 D．32条【答案】C【详解】由图形可以知道,两个星球之间，它们的路径只有1条；三个星球之间的路径有2+1=3条；四个星球之间的路径有3+2+1=6条；……,按此规律，七个星球之间”空间跳跃”的路径有7+6+5+4+3+2+1=28条.故选C.【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于根据题意找出规律,利用规律解题即可.3．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列一组数：1，－2，3，－4，5，－6，7，－8，…，则第100个数是（）A．100 B．－100 C．101 D．－101【答案】B【分析】分析题目中所给出的各个数字可知，这组数字可以看成是在一组从小到大逐一排列的正整数的基础上按如下规律进行相应的修改而得到的．【详解】①当某个正整数为奇数时，将这个正整数本身写在这组数的相应位置上；②当某个正整数为偶数时，将这个正整数的相反数写在这组数的相应位置上.在第100个数的位置上，对应的正整数为100.

因为100为偶数，按照上述规律②，将这个正整数相反数写在这组数的相应位置上，即这组数的第100个数为-100.故本题应选B【点睛】本题考查了数字类找规律，找到规律是解题的关键．4．（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．5．（2022·江苏·七年级专题练习）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个位数字是（

)．A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】观察不难发现，2n的个位数字分别为2、4、8、6，每4个数为一个循环，用2021÷4，根据余数的情况确定答案即可．【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，∴个位数字分别为2、4、8、6依次循环，∵2021÷4=505……1，∴22021的个位数字与21个位数字相同，即22021的个位数字是2，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了尾数特征，观察数据发现每4个数为一个循环，个位数字依次循环，是解题的关键．6．（2020·重庆·中考真题）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】C【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律，即可得解．【详解】解：通过观察可得到第①个图形中实心圆点的个数为：5=2×1+1+2，第②个图形中实心圆点的个数为：8=2×2+2+2，第③个图形中实心圆点的个数为：11=2×3+3+2，……∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：2×6+6+2=20，故选：C．【点睛】本题考查探索与表达—图形变化类．关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．二、填空题7．（2022·山东滨州·八年级期末）已知：；；……；按此规律，则______．【答案】【分析】根据已知得到规律并解答．【详解】解：∵；；∴故答案为：．【点睛】此题考查了整式的运算规律，能根据已知的等式发现规律并应用是解题的关键．8．（2022·全国·七年级专题练习）下列图是用“”按一定规律排列而成的图案，第1个图案由4个“”组成，第2个图案由7个“”组成，第3个图案由10个“”组成，则第n（n是正整数）个图案由______“”组成．【答案】3n+1##1+3n【分析】把图案分成两部分，左边的部分不变，每向后一个图案相应增加3个小四边形，根据此规律解答即可．【详解】解：第1个图案中四边形有：4=1+3个；第2个图案中四边形有：7=1+2×3个；第3个图案中四边形有：10=1+3×3个；…故第n个图形中四边形有：1+n×3=3n+1．故答案是3n+1．【点睛】本题主要考查了图形的变化类规律，根据题意找到图形的变化规律是解答本题的关键．9．（2021·河南信阳·七年级期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，按此规律排列下去，则第10个图形中的小圆圈的个数为____________．【答案】33【分析】分别写出第1个图形、第2个图形、第3个图形中小圆圈个数，得到小圆圈个数的变化规律即可得到答案．【详解】解：第1个图形有3×1＋3＝6个小圆圈，第2个图形有3×2＋3＝9个小圆圈，第3个图形有3×3＋3＝12个小圆圈，……则第10个图形中的小圆圈的个数为3×10＋3＝33个小圆圈，故答案为：33【点睛】此题考查图形个数规律题，正确找到变化规律是解题的关键．10．（2021·全国·七年级单元测试）如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的正方形和正八边形组成，其中正方形涂有阴影，依此规律，第个图案中有________________个涂有阴影的正方形．(用含的代数式表示)【答案】【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个涂有阴影的小正方形，然后写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可；【详解】由图可知，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为；故答案是个．【点睛】本题主要考查了规律性图形变化类，准确分析是解题的关键．11．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列算式：①；②；③；把这个规律用含字母的式子表示为______．【答案】【分析】根据：①1×3−22＝−1；②2×4−32＝−1；③3×5−42＝−1；…，可以把这个规律用含字母n（n为正整数）的式子表示出来，本题得以解决．【详解】解：∵①1×3−22＝−1；②2×4−32＝−1；③3×5−42＝−1；…，∴把这个规律用含字母n（n为正整数）的式子表示出来是：n（n＋2）−（n＋1）2＝−1．故答案为：n（n＋2）−（n＋1）2＝−1．【点睛】本题主要考查了数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子中数字的变化规律．12．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是___个．【答案】92【分析】根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可．【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆，第2个图形中一共有个圆，第3个图形中一共有个圆，第4个图形中一共有个圆；可得第个图形中圆的个数是；所以第9个图形中圆的个数，故答案为：92．【点睛】本题考查图形的变换规律，根据图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是是解决本题的关键．三、解答题13．（2020·吉林·乾安县实验中学七年级阶段练习）已知是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是＝-1.（1）求－3的差倒数；（2）－的差倒数是，的差倒数是，4的差倒数是；（3）已知＝－，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则＝.【答案】（1）（2），，（3）【分析】（1）根据称为的差倒数，把a=-3代入即可.（2）根据称为的差倒数,把a=－，，4分别代入求值即可.（3）根据（2）所得规律，三次倒差数为一循环，则考虑2017除以3的余数即可.【详解】（1）根据称为的差倒数可知：－3的差倒数为（2）－的差倒数是，的差倒数是，4的差倒数是（3）由（2）知，倒差数三次一循环，则2017÷3=，则=.【点睛】本题考查了代数式求值以及有理数的找规律，解题关键在于理解题干的含义，本质为代入求值.而第三小问的关键在于，找准循环次数为多少，才能化繁为简.14．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，…，照这个规律剪下去：（1）根据图中的规律补全表．图形标号1234…正方形个数14…（2）第n个图中有多少个正方形？（3）第2021个图中有多少个正方形？【答案】（1）7，10；（2）3n﹣2；（3）6061【分析】（1）由图案直接得出即可；（2）根据图形的变化归纳出第n个图中有（3n﹣2）个正方形即可；（3）由（2）中的规律直接计算即可．【详解】解：（1）由图知，第3图中有7个正方形，第4个图中有10个正方形，故答案为：7，10；（2）由图知，第1中有1＝3﹣2个正方形，第2个图中有4＝3×2﹣2个正方形，第3个图中有7＝3×3﹣2个正方形，第4个图中有10＝3×4﹣2个正方形，…，∴第n个图中有（3n﹣2）个正方形；（3）当n＝2021时，3n﹣2＝3×2021﹣2＝6061，∴第2021个图中有6061个正方形．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图中有（3n−2）个正方形是解题的关键．15．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?（1）1，，3，，5，，7，，，，．．．，．．．（2），，，，，，，，，．．．，．．．【答案】（1），，；（2），，【分析】（1）先确定符号的规律，再确定数字的规律，可得这一列数的第项为；（2）先确定符号的规律，再确定数字的规律，可得这一列数的第项为．【详解】解：（1）1，，3，，5，，7，，……符号规律是奇数项是正数，偶数项是负数，所以符号为（为正整数），数字规律为第项数字是，第项数字是，以此类推第项数字为，∴第项为，所以第项为，第项为，第个数为．故答案为：，，；（2）已知，，，，，，，……符号规律是奇数项是负数，偶数项是正数，所以符号为（为正整数），数字规律为第项数字是，第项数字是，以此类推第项数字为，∴第项为，所以第项为，第项为，第个数为．故答案为：，，．【点睛】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．16．（2022·全国·七年级专题练习）用火柴棒按如图的方式搭图形．(1)按图示规律完成下表：图形标号①②③④⑤……火柴棒根数59……(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？(3)搭第2022个图形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)(3)8089【分析】（1）根据后面的图形比前面的图形多4根火柴棒的规律填表即可；（2）根据（1）的规律列式即可；（3）将代入（2）中的代数式即可．（1）解：根据图示得，后面的图形比前一个的图形多4根火柴棒，故填表为：图形标号①②③④⑤……火柴棒根数59131721……故答案为：13，17，21；（2）解：分析表格中数据可知，搭第1个图形，需要火柴棒根数为：；搭第2个图形，需要火柴棒根数为：；搭第3个图形，需要火柴棒根数为：；搭第4个图形，需要火柴棒根数为：；搭第5个图形，需要火柴棒根数为：；……因此搭第n个图形需要火柴棒根数为：．（3）解：当时，，因此搭第2022个图形需要8089根火柴棒．【点睛】本题考查图形类规律探索，涉及到列代数式、代数式求值等，根据所给图形找出变化规律是解题的关键．17．（2022·全国·七年级专题练习）观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3各数，你能说出第18个数、第101个数、第2020个数是什么吗？（1）-1，-2,+3，-4，-5，+6，-7，-8，，，，……（2）1，，3，，5，，7，，，，，……【答案】（1）+9，-10，-l1，这列数中的第18个数为1