第十二章 全等三角形 素养基础测试卷 【解析版】

第十二章全等三角形素养基础测试卷参考答案一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形【解答】解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．故选：B．2．如图所示，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠C＝95°，∠EAD的度数是（）A．44° B．55° C．66° D．77°【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠C＝93°，∴∠D＝∠B＝30°，∠E＝95°，∴∠EAD＝180°﹣30°﹣95°＝55°．故选：B．3．工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OC＝OD，适当摆放角尺（图中的∠CED），使其两边分别经过点C、D，且点C、D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【解答】解：∵点C、D处的刻度相同，∴EC＝ED，∵OE＝OE，OC＝OD，∴由SSS判定△ODE≌△OCE．故选：B．4．如图，一个三角形玻璃被摔成三小块，现要到玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最省事的方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去【解答】解：③这一块中保留了一条边还有两个角，可以根据ASA定理得到一块完全一样的玻璃，故选：C．5．如图，已知∠BAC＝∠DCA．若添加一个条件后，可得△ABC≌△CDA，则在下列条件中，不能添加的是（）A．BC＝DA B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．BC∥AD【解答】解：选项A、添加BC＝DA不能判定△ABC≌△CDA，故本选项符合题意；选项B、添加AB＝CD可用SAS进行判定，故本选项不符合题意；选项C、添加∠B＝∠D可用SAS进行判定，故本选项不符合题意；选项D、添加BC∥AD，可得∠ACB＝∠CAD，可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．故选：A．6．如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOP＝30°，∵PD⊥OA，OP＝6cm，∴，过点P作PE'⊥OB于点E'，∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，∴PE'＝PD＝3cm，∴PE的最小值为3cm．故选：B．7．如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA【解答】解：在△ABC和△MBC中，∴△MBC≌△ABC（ASA），故选：D．8．如图所示，小语同学为了测量一幢楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得PC与地面夹角∠DPC＝38°，测得PA与地面夹角∠APB＝52°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度都是9m，量得旗杆与楼之间的距离DB＝36m，则楼高AB＝（）A．36m B．27m C．25m D．18m【解答】解：∵∠CPD＝38°，∠APB＝52°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝52°，在△CPD和△PAB中，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝36m，PB＝9m，∴AB＝36﹣9＝27（m），答：楼高AB是27m．故选：B．9．现有一块如图所示的四边形草地ABCD，经测量，∠B＝∠C，AB＝10m，BC＝8m，CD＝12m，点E是AB边的中点．小狗汪汪从点B出发以2m/s的速度沿BC向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿CD向点D跑，若能够在某一时刻使△BEP与△CPQ全等，则妞妞的运动速度为（）A． B． C．2m/s或 D．2m/s或【解答】解：∵AB＝10m，E是AB边的中点，∴BE＝5m，∵∠B＝∠C，且△BEP与△CPQ全等，∴BP＝CQ，BE＝CP或CP＝BP，BE＝CQ，当BP＝CQ，BE＝CP时，∵BE＝5m，BC＝8m，设运动时间为t，8﹣2t＝5，解得，∴，此时妞妞的运动速度为：m/s，当CP＝BP，BE＝CQ时，，t＝2，此时CQ＝5，妞妞的运动速度为：，故选：D．10．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为从N．现有四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．其中结论正确的是（）（填写结论的编号）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【解答】解：①作PD⊥AC于D，∵BP平分∠ABC，AP平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），∴CP平分∠ACF，故①正确；②∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACF，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBC+∠BPC，∴∠BAC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠BAC，故②正确；③∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，∵PM＝PN＝PD，∴∠APD＝∠MPD，∠CPD＝∠NPD，∴∠APC＝∠MPN＝90°﹣∠ABC，故③正确；④∵AP＝AP，PM＝PD．CP＝CP，PD＝PN，∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），Rt△CPN≌Rt△CPD（HL），∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正确．综上所述，①②③正确．故选：A．二．填空题（共5小题）11．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为3．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝8，∴EF＝8，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．故答案为：3．12．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，线段PQ＝AB，点P、Q分别在AC和与AC垂直的射线AM上移动，当AP＝5cm或10cm时，△ABC和△QPA全等．【解答】解：∵PQ＝AB，∴根据三角形全等的判定方法HL可知，①当P运动到AP＝BC时，△ABC≌△QPA，即AP＝BC＝5cm；②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA，即AP＝AC＝10cm．故答案为：5cm或10cm．13．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，连接BE，CD．请你补充一个条件∠B＝∠C（答案不唯一），使△ABE≌△ACD．【解答】解：∠B＝∠C，理由是：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），故答案为：∠B＝∠C（答案不唯一）．14．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝135°．【解答】解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．故答案为：135．15．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是①②④．【解答】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，故①正确；又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC，故②正确；在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴AB+BE＝AC﹣FC，∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，即AC﹣AB＝2BE，故④正确；由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，综上所述，正确的是①②④．故答案为：①②④．三．解答题（共8小题）16．如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：BC＝EF．【解答】证明：∵AC∥DF，BC∥EF，∴∠A＝∠FDE，∠CBA＝∠E，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴BC＝EF．17．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．点M在BC的延长线上，∠ABC的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．（1）依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；（2）求∠BEC的度数．【解答】解：（1）如图，CE即为所求；（2）∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝20°，∵∠ACM＝180°﹣40°＝140°，CE是∠MCA的平分线，∴∠MCE＝∠DCE＝70°，∴∠BEC＝∠MCE﹣∠CBD＝70°﹣20°＝50°．18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AC，延长AD到点E，使得AE＝AB，连结BE，CE．（1）求证：△ABD≌△AEC；（2）若∠BAC＝60°，求∠BCE的度数．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，在△ABD与△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（SAS）；（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠EAC＝∠BAC＝30°，∵∠BAD+∠ABD＝∠ADC，∠BCE+∠AEC＝∠ADC，∴∠BAD+∠ABD＝∠BCE+∠AEC，∵△ABD≌△AEC，∴∠ABD＝∠AEC，∴∠BCE＝∠BAD＝30°．19．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，（1）证明：△ABD≌△ACE；（2）证明：∠3＝∠1+∠2．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠1，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2，∴∠3＝∠BAD+∠ABD＝∠1+∠2．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，∠B＝45°，∠C＝75°．（1）求∠ADC的度数；（2）若BE＝2，求AC的长．【解答】（1）解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝30°+45°＝75°；（2）解：∵∠ADC＝75°，∠C＝75°，∴AD＝AC，∵DE⊥AB，∠B＝45°，BE＝2，∴DE＝BE＝2，∵∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝4＝AC．21．如图，已知点P（2m﹣1，6m﹣5）在第一象限的角平分线OC上，一直角顶点与点P重合，角的两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则：（1）点P的坐标为多少？（2）OA+OB的值为多少？【解答】解：（1）作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，如图所示：根据题意得：PE＝PF，∴2m﹣1＝6m﹣5，∴m＝1，∴P（1，1），∴点P的坐标为（1，1）；（2）由（1）得：∠EPF＝90°，∵∠BPA＝90°，PE＝PF＝1，∴∠EPB＝∠FPA，在△BEP和△AFP中，，∴△BEP≌△AFP（ASA），∴BE＝AF，∴OA+OB＝OF+AF+OE﹣BE＝OF+OE，∵P（1，1），∴OE＝OF＝1，∴OA+OB＝2．∴OA+OB的值为2．22．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．23．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1），△ABD不动．（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图