2021年海南省天一大联考高考数学三模试卷（解析版）

2021年海南省天一大联考高考数学三模试卷

一、单项选择题(共8小题).

1.已知z=(l+2i)z,则|z|=()

A.百B.75C.3D.5

2.己知集合4={在2|-2＜》＜2},B={0,1},则下列判断正确的是()

A.B&AB.AAB=0C.AQBD.BQA

3.已知二方是不共线的非零向量，若(2之-端)//(2+2百，则实数&=()

A.-4B.1C.-1D.2

4.“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多.假设每个“臭皮匠”单独解

决某个问题的概率均为0.6,现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人

解决该问题的概率为()

A.0.6B.0.784C.0.8D.0.936

5.设数列{斯}的前〃项和为s„,若3斯+S"-2=“I(〃23),且C攵=1，〃3=3,则〃2021=()

A.4041B.4039C.2021D.2019

已知a£(-22L)sin2则sina：

6.,6人=()

A.四4+加「2s

B.D.

101055

(X)=乙则哨-=(

7.已知函数/(X)为奇函数,,g(x)为偶函数，且F(x)-g)

g⑴

Ae?+le2_]cbe?

B.D.

2

ee1+e1-e2

8.直四棱柱ABCQ-ASGOi的所有棱长均相等，/A£»C=120°,M是8丛上一动点，当

AiM+MC取得最小值时，直线4M与SC所成角的余弦值为(

A.2®B.金C.—

555。・唔

二、多项选择题(共4小题).

9.已知函数/(x)=|sinm:|,下列说法正确的是()

A./(%)为偶函数

B.f(x)的最小正周期为2

C.所有的整数都是f(x)的零点

D.f(x)在［0,1］上单调递增

10.已知正四面体A3C。的棱长为m则（）

A.ABLCD

B.四面体A8CD的表面积为/质之

C.四面体ABC。的体积为恒z'

12_

D.四面体ABCD的外接球半径为近

4

11.从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中（）

A.奇数有60个

B.包含数字6的数有30个

C.个位和百位数字之和为6的数有24个

D.能被3整除的数有48个

12.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心尸为圆心

的圆形轨道I上绕月飞行，然后在P点处变轨进入以尸为一个焦点的椭圆轨道n上绕月

飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道in绕月飞行，设圆形轨道I的半径

为R,圆形轨道in的半径为广，则（）

A.椭圆轨道II上任意两点距离最大为2R

B.椭圆轨道H的焦距为R-r

C.若r不变，则R越大，椭圆轨道H的短轴越短

D.若R不变，则r越小椭圆轨道II的离心率越大

三、填空题（共4小题）.

13.任何疫苗在上市前都要经过反复试验和检测，以确保其安全有效，某种预防新冠肺炎的

疫苗在5个国家进行临床试验，统计得到的疫苗有效率分别为95%,94%,69%,91%,

86%,则这组数据的平均数为.

22

14.双曲线（b>0）的离心率为匹，则b=_____,过双曲线的右焦点尸作

4b22

直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为A,设O为坐标原点，则|OA|=.

19

15.已知m>0,n>0,ni+n=1,则一+—二的最小值为_____.

mn+1

16.已知点P(m6)为曲线y=/〃(2x+l)上的一个动点，则北需趴的最小值为.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在①6+c=ll,(2)cosJ?=-y»③sinC=3sin8这三个条件中任选一个，补充在下面问题

中，若问题中的三角形存在，求〃和c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△A3C,它的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且。=7,/?cosA=4,

?

18.已知等差数列｛斯｝满足。2+。3=11，。5-。3=6.

(I)求｛斯｝的通项公式；

(II)设等比数列｛小｝满足历=%加=〃6,则｛为｝前7项之和与数列｛斯｝的第几项相等？

参考数据：46=4096,47=16384.

19.某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环

节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得2分，答错得0分，后两题

为学科专业知识，每道题答对得4分，答错得0分.

(I)若一共有1000人应聘，他们的工作经历评分X服从正态分布N(63,132),76

分及以上达标，求进入面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；

(II)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为旦，后两题答对的概率均为刍，每道题

正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩丫的分布列及数学期望.

附：若随机变量X〜N(H，82),则尸(尸8<X<n+8)=0.6827,P(|i-28<X<

H+28)=0.9545,P(p-38<X<p+38)=0.9973.

20.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖腌”，如图所示，四面体

PABC中，PA_L平面ABC,AC=BC,。是棱AB的中点.

(I)证明：CDLPB.并判断四面体PACO是否为鳖嚅.若是，写出其每个面的直角(只

需写出结论)；若不是，说明理由；

(II)若四面体尸A8C是鳖腌，且AP=AB=2,求二面角A-PB-C的余弦值.

21.已知直线y=2r与抛物线C：)?=2px(p>0)在第一象限内交于点P,点尸到C的准

线的距离为2.

(I)求抛物线C的方程；

(II)过点P且斜率为负的直线交C于点A,点A与AP垂直的直线交C于点B,且A,

B,尸不重合，求点B的纵坐标的最小值.

22.已知函数f(x)=1+alnx的一个极值点为％=i.

X

(I)求。的值，并说明工=1是f(X)的极大值点还是极小值点；

(II)函数g(x)=4e,n2-nif(x)(加为常数且m>0),讨论g(x)的零点个数.

参考答案

一、单项选择题（共8小题）.

1.己知z=（1+2/）z,则|z|=（）

A.MB.75c.3D.5

解：z=（1+2/）i=-2+z,

所以|z|=、/U

故选:B.

2.已知集合4=比62|-2或》＜2},8={0,1},则下列判断正确的是（）

A.B&AB.AClB=0C.AaBD.BQA

解：：A={-2,-1,0,1},B集合的元素都在集合A中，，BUA.

故选：D.

3.已知之，1是不共线的非零向量，若（2之-瓦）//（a+2b））则实数左=（）

A.-4B.1C.-1D.2

解：之，芯是不共线的非零向量，且//（之+23），

所以2X2-（-k）Xl=0,

解得k--4.

故选：A.

4.“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多.假设每个“臭皮匠”单独解

决某个问题的概率均为0.6,现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人

解决该问题的概率为（）

A.0.6B.0.784C.0.8D.0.936

解：根据题意，三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，都没有解决问题的概率外=（1

-0.6）（1-0.6）（1-0.6）=0.064,

则至少有一人解决该问题的概率尸=1-P.=0.936,

故选：D.

5.设数列{&}的前n项和为Sn,若3a.+S"-2=S”+i（心3）,且az—\,a3—3,则“2021=（）

A.4041B.4039C.2021D.2019

解：3an+Sn-2=S„+i(〃23),

,•-Sn+\~Sfi-2—。〃+1-1，

♦♦。”+1+〃〃-1(〃23)，

:。2=1，的=3,J。4=5,。4-。3=。3-〃2=2,

・・・数列｛斯｝从第二项开始，是以。2=1，公差为2的等差数歹U,

・・・。2021=。2+2019〃=1+4038=4039,

故选：B.

..尸/兀兀、.z.ajT、1•/、

6.已知a£(一万~，3-'S1n丁则rMsina=()

A.±3V3b.±373c."D.2

101055

解：因为sin2

所以l-cos(a守)=”,整理可得©os(af)=等

TTjr(0,皆),

因为a£(--r—,—7—),可得a

36

所以sin(a-+-^-)=J1-CQs2(a■^■卢春

兀I.zn

则sina=sin[(a----]=sin(acos----cos

33言X9

_3x'R4TM

5210

故选：A.

3=()

7.已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且/(x)-g(x)=ex则

fg(l)

2212l+e?

Ae+l1C~

B.D.

22

eel+e1-e

解：根据题意,/(X)-g(九)=△则/(I)-g(1)=e，①,

/(-1)-g(-1)=-/(I)-g⑴=e'1=-,变形可得y(i)+g(1)=——,(2)

ee

13

联立①②可得：/(I)ee,g⑴—_

~2~

1

eq

则有1112~2~1-e?

"Tl+e2>

e.

e

2

故选：c.

8.直四棱柱ABC。-481G0的所有棱长均相等，N4£>C=120°,M是上一动点，当

AiM+MC取得最小值时，直线4M与5c所成角的余弦值为()

A.B.返C.—D.

55510

设直四棱柱ABCD-48CQ1的棱长为2,

当AM+MC取得最小值时，M为BBi的中点，

连接40,则则ND41M为直线AM与8C所成角，

此时，A[D=2五,A[M=心，

,：ZADC=120°,.•.△A3。为等边三角形，得BD=2,

则△AMO为等腰三角形，可得cosNDA淖亲

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分有选错的得0分

9.已知函数/(x)=|siniL<|,下列说法正确的是()

A./(x)为偶函数

B./(x)的最小正周期为2

C.所有的整数都是/(x)的零点

D./(%)在[0,1]上单调递增

解：f(x)的定义域为R,且f(-x)=|sin(-TU')|=|sinnx|=f(x),

：.f(x)为偶函数，的最小正周期为1,

'：于Qk)=|sin%Ti|=O,kWZ,

...所有的整数都是f(x)的零点，

/（x）在（0,5）上单调递增，在或，1］上单调递减，."（X）在［0,1］上没有单调性.

故选：AC.

10.已知正四面体ABC。的棱长为小则（）

A.ABYCD

B.四面体A3CD的表面积为，加2

C.四面体A8C。的体积为区3

12_

D.四面体ABCZ）的外接球半径为近

4

解：A,如图，取CZ）中点M,连接8M,AM,可得C£>_LBM,CDLAM,即可得CO_L

面ABM,即有C£）J_AB,故正确；

8、；正四面体ABC。的各棱长为m.•.正四面体ABC。的表面积=4x2^2=«a2.故

正确；

C、如图，设A在底面BCF的投影为“，则8”=近■8，

3

22=

^^A/AB-BH—a>四面体ABCD的体积为工,返a2•近巴=返之，故错；

D、将正四面体ABC。，补成正方体，则正四面体48C。的棱为正方体的面上对角线，

•..正四面体A8C。的棱长为小正方体的棱长为亚a,正四面体的外接球，就是以

2

正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，所以

正方体的对角线为2凡2R=叵•xJQ，，R=1.故正确.

24

故选：ABD.

11.从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中（）

A.奇数有60个

B.包含数字6的数有30个

C.个位和百位数字之和为6的数有24个

D.能被3整除的数有48个

解：对于4先确定个位，有3种选择方法，再确定百位和十位，故有&'&2=60个，

故A正确；

对于B：从1,2,3,4,5中任选2个和6全排，故有C52A38=60个，故8错误；

对于C：个位和百位数字之和为6有(1,5),(2,4),2A22Ali=16个，故C错误；

对于。：能把3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有(1,2,3),(1,2,6),

(1,3,5),(1,5,6),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6)

八种选择，

故能被3整除的数有8A3^=48个，故。正确.

故选：AC.

12.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心厂为圆心

的圆形轨道I上绕月飞行，然后在P点处变轨进入以尸为一个焦点的椭圆轨道II上绕月

飞行，最后在。点处变轨进入以尸为圆心的圆形轨道ni绕月飞行，设圆形轨道I的半径

为R,圆形轨道HI的半径为r,则()

A.椭圆轨道H上任意两点距离最大为2K

B.椭圆轨道H的焦距为R-r

C.若r不变，则R越大，椭圆轨道H的短轴越短

D.若R不变，则r越小椭圆轨道II的离心率越大

解：由题可知椭圆轨道I的半径为R,

22

H为椭圆，设为与七=1,所以a+c=R①，

in为圆形轨道，半径为r,所以a-c=r@,

对于A：由题可知椭圆II上任意两点最大距离为2a=R+r#2R,故A不正确:

对于8：椭圆II的焦距为2c,

①-②得，2c=R-r,故8正确;

对于C：由①②得。="三，。=与二,

所以2b=2力2_©2=2，-促；）2_在；）2=2后,

若r不变，R越大，28越大，故C不正确;

2

2r_

对于D：1-R1,

R+r—+1

r

2

R不变，r越小，显越大,R―越小，则e越大，故。正确.

r—+1

r

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.任何疫苗在上市前都要经过反复试验和检测，以确保其安全有效，某种预防新冠肺炎的

疫苗在5个国家进行临床试验，统计得到的疫苗有效率分别为95%,94%,69%,91%,

86%,则这组数据的平均数为87%.

解：根据题意可得，这组数据的平均数为695+0•胆+°;69+0.91+0.；北*100%=87%.

故答案为：87%.

22

14.双曲线（匕>0）的离心率为匹，则6=1,过双曲线的右焦点F作直

4b22一

线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为A,设。为坐标原点，则1。川=2

22r=

解：双曲线二-4=1（6>o）的离心率为Y9,

4b22

可得血+/=返.则〃=i,

22

2-

双曲线-^_-y2=l的右焦点尸（代，0）,

一条渐近线方程为：X-2y=0,

所以|AQ=71+221,

所以，QAk2一]2=2

故答案为：1;2.

15.已知帆>0,n>0,m+n=1,则—口』；-的最小值为一—江7^--

mn+12v

解：\*;7t>0,n>0,tn+n=1,

・1一（m+n+1）=1

2________

A—-^-=—（--t^-）•（w+n+1）（n+1+2m）》当•工X2\怛支

mn+12mn+122mn+122vmn+1

=%加，当且仅当止！=马■时取等号，

2mn+1

—Tr的最小值是擀"反

故答案为:

16.已知点P（m。）为曲线y=/〃（2x+l）上的一个动点，则®^电L的最小值为

解：忸号葭5I的几何意义为动点p（小b）到直线2x-y+5=0的距离，

设与直线2x-y+5=0平行的直线切曲线y=/〃（2x+l）于点M（如州），

...尸伉（2x+i）,高，则y'屋x。巧亲丁

2

由;5—77=2,得沏=0,则切点坐标为（0,0）,

zxo1

；」2aj£+5|的最小值即为切点00）到直线2x-y+5=0的距离，等于界■5.

故答案为：述.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在①Z?+c=ll,（2）COSB=Y»③sinC=3sinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题

中，若问题中的三角形存在，求6和c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△48C,它的内角4,B,C的对边分别为“，b,c,且a=7,6cos4=4,

?

222

解：若选①，VZ?+c=ll,cosA=b+c-&,,

2bc

AA.2_2

又•.•〃cosA=4,/.cosA=—,—=———,

bb2bc

.,.b2+c2-49=8c,而b=11-c,

...（11-c）2+c2-49=8c,解得:c=12（舍）或c=3,

故c=3,b=8；

若选②，cosB=?2上,2a,2=/I,即49+.c2-,b2=工i,

2ac714c7

A49+c2-/=2您,

,2^22,2^22

又Z?cosA=4,b・———2——--=———-———=4,

2bc2c

.•・//+/-49=8c②，联立①②，解得：b=8,c=5；

若选③，sinC=3sinB,由正弦定理得：c=3b,

VZ?cosA=4,.*./?2+c2-49=8c,又c=3b,

：.b2+(3b)2-49=246,解得：

10

V/?>0,:・b=.—/c=------，63支;

1010

故答案为：若选①，c=3,6=8；若选②，匕=8,c=5；

若选③,b=12^634,-36+3师

1010

18.已知等差数列｛小｝满足。2+a3=11，。5-。3=6.

(I)求｛斯｝的通项公式；

(II)设等比数列｛b｝满足匕2=。2,%=四，则｛瓦｝前7项之和与数列｛。“｝的第几项相等？

参考数据：46=4096,4’=16384.

解：（I）设等差数列｛斯｝的首项为⑶，公差为”,

2a1+3d=11a,=1

得11

由02+03=11,«5-(13=6,，解得《

l2d=6ld=3

=

.,.ana\+(〃-1)d—1+3(H*1)—3n-2；

boip,

(II),.,岳=。2=4,加=。6=16,...等比数列｛瓦,｝的公比q=----=——=4>

b24

则b[4号=1'

•••出”｝前7项之和T?=*4=41号_=5461，

由3〃-2=5461,得"=涔女=1821.

二｛儿｝前7项之和与数列｛斯｝的第1821项相等.

19.某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环

节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识，答对得2分，答错得0分，后两题

为学科专业知识，每道题答对得4分，答错得0分.

(I)若一共有1000人应聘，他们的工作经历评分X服从正态分布N(63,132),76

分及以上达标，求进入面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；

(II)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为羊，后两题答对的概率均为金，每道题

正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩y的分布列及数学期望.

附：若随机变量X〜N(u，82),则尸(-5<X<H+8)=0.6827,P(p-25<X<

H+28)=0.9545,P(p-36<X<^+38)=0.9973.

解：(1)由题意可知76分及以上达标的概率为2•[1-p([1-CJ<X<|1+O)[=0』5865,

进入面试环节的人数约为1000X0.15865^159人；

（2）（的可能取值为0,2,4,6,8,10,

:.p（r=o）=（i-—）x&三）2=^^；

4"5"100

p（y=2）=—x（1-—）2=-^-；

4'5"100

P（y=4）=（1-34）XC；1X4-|x（l-^4）=^2

P（y=6）=|xcjx|x（1-4）=^

445525

P（y=8）=（1多X曲2=条

344一12

p（r=io）=—x—x

45~5~~25：

所以y的分布列为：

Y0246810

P1326412

10010025252525

=0X^—x32+6X-^+8义4

:.E<y）■10025+10X—=7.9

100…'2525

20.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖膈”，如图所示，四面体

PABC中，P4_L平面A8C,AC^BC,。是棱4B的中点.

(I)证明：CDLPB.并判断四面体PACQ是否为鳖嚅.若是，写出其每个面的直角(只

需写出结论)；若不是，说明理由；

(II)若四面体PA8C是鳖腌，且AP=AB=2,求二面角A-PB-C的余弦值.

【解答】（I）证明：平面ABC,C£>u平面ABC,

：.PA1CD,

•：AC=BC,。是棱AB的中点，J.CDLAB,

又PAnA8=A,PA,ABu平面PAB,

...CD_L平面PAB,

；PBu平面PAB,

：.CD±PB.

四面体PAC。是鳖席，直角分别为/PAC,ZPAB,/AOC和/PDC.

(II)解：过点D作DELPB于E,连接CE,

由(I)知，C。，平面PAB,

：.ACED为二面角A-PB-C的平面角，

；四面体PABC是鳖席，且AC=BC,AB=2,

.♦.△ABC为等腰直角三角形，CD=1,

22=2

在Rtz^PAB中，PB=VPA+ABV2-

S»BD=—PA•BD=—DE-PB,

22

.nF_PA>BD_2Xl_V2

PB——2&F，

在RtZXCDE中，tanNCED=%=方=加，

_DE-

1JQ

...cosNCE£>=娱=",

V33_

故二面角A-PB-C的余弦值为返.

3

21.已知直线y=2r与抛物线C：J=2px(p>0)在第一象限内交于点P,点P到C的准

线的距离为2.

(I)求抛物线C的方程；

(II)过点P且斜率为负的直线交C于点4,点A与AP垂直的直线交C于点B,且A,

B,P不重合，求点B的纵坐标的最小值.

，y=2x

解：(I)联立49