第04讲 拓展一：直线与椭圆的位置关系（解析版）2023-2024学年高二数学上学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第一册）

第第页第04讲拓展一：直线与椭圆的位置关系目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查直线与椭圆位置关系 2题型二：重点考查直线与椭圆交点坐标 3题型三：重点考查椭圆的切线 5题型四：重点考查根据直线与椭圆位置关系求参数 9题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 13题型六：重点考查求椭圆中弦长 16题型七：重点考查根据椭圆中弦长求参数 21题型八：重点考查椭圆中四边形面积 26题型九：重点考查椭圆中的中点弦问题 31题型十：重点考查椭圆中参数范围及最值问题 36题型十一：重点考查椭圆中定点问题 42题型十二：重点考查椭圆中定值问题 45题型十三：重点考查椭圆中定直线问题 50题型十四：重点考查椭圆中向量问题 55题型一：重点考查直线与椭圆位置关系典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）直线与椭圆的公共点的个数是（

）A．0 B．1C．2 D．无数个【答案】C【详解】由消去y并整理得，显然，所以直线与椭圆相交，有2个公共点.故选：C例题2．（2023秋·高二课时练习）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数.【答案】答案见解析【详解】由，消去并整理得③，此方程的实数解的个数由它的判别式决定，，当时，，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点，即它们相交.当或时，，方程③有两个相等的实数根，代入方程①得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点，它们在这一点相切.当或时，，方程③没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点，即它们相离.综上，可得：当时，直线与椭圆有两个公共点；当或时，直线与椭圆有一个公共点；当或时，直线与椭圆没有公共点.精练核心考点1．（2023秋·全国·高二期中）椭圆与直线的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】B【详解】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B.2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【详解】对于直线，整理得，令，解得，故直线过定点.∵，则点在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.题型二：重点考查直线与椭圆交点坐标典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意知，，消去y，得，则，，所以A、B两点中点的横坐标为：，所以中点的纵坐标为：，即线段AB的中点的坐标为.故选：B例题2．（2023秋·北京东城·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，一个顶点为.(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆的另一个交点为，且，求点的坐标.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可知；，又因为，解得所以椭圆的方程为（2）设，因为，所以有，则点为椭圆与圆的交点，联立，解得或（舍去，因为）所以有或，故点的坐标为精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）求直线和椭圆的公共点的坐标．【答案】，【详解】直线和椭圆的公共点的坐标就是方程组的解，消去得，即，解得、，所以解这个方程组得或，因此，所求公共点的坐标为，．2．（2023·江苏·高二假期作业）已知椭圆，直线，判断直线l与椭圆公共点个数，并求出公共点的坐标．【答案】公共点有1个，公共点坐标为【详解】由得，即，解得，所以直线l与椭圆有一个公共点，且公共点坐标为.

题型三：重点考查椭圆的切线典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设直线与椭圆相切，由得，∴，，切线方程为和，与距离较规远的是，∴所求最大距离为．故选：A.例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为．【答案】/【详解】解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0，设切线的方程为：，，由于过点可得：，①联立直线与椭圆的方程，整理可得：，则，可得②，由①②可得：，，所以切线方程为：；可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得，即切点，所以直线的方程为：，切点的坐标．故答案为：例题3．（2022秋·江苏泰州·高二校联考期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆经过点．（1）求椭圆方程；（2）若点为椭圆上一动点，则点到直线的最小距离．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）椭圆的焦点为，①又点在上，②，而③联立①②③得，椭圆方程为（2）设与椭圆相切联立方程组：，显然易知当时，与距离最近，.精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）已知椭圆C：的焦距为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：的距离最短，并求出最短距离.【答案】(1)(2)，【详解】（1）由题意可知，∴，，将点A的坐标代入，解得，则，故椭圆方程为.（2）方法一：设与直线l：平行的直线与椭圆相切，联立直线与椭圆方程得消去y并整理，得，由其根的判别式，解得.当时，直线l与直线的距离；当时，直线l与直线的距离.由可知，符合题意.将代入可解得，将代入可得，则点P的坐标为，此时距离的最小值为.方法二：设点，，则点P到直线l：的距离，当，即时，d取最小值，最小值为，此时点P的坐标为.2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，到直线的距离最小?最小距离是多少?【答案】存在，【详解】在椭圆上存在一点，使得它到直线的距离最小；设直线平行于直线，则直线可写成：，由方程组，消去，整理得，由，得，解得，时直线与椭圆的交点到直线的距离最近，所以.题型四：重点考查根据直线与椭圆位置关系求参数典型例题例题1．（2023秋·高二课时练习）若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围．【答案】【详解】由题意，直线恒过定点，要使得直线与椭圆恒有公共点，则满足点在椭圆上或在椭圆的内部，即，解得，又由椭圆的方程，满足，所以实数的取值范围为.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？【答案】(1)(2)，(3)，或【详解】（1）由方程组消去y，得，．由，得．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．（2）由，得，．此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（3）由，得，或．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．例题3．（2023秋·高二课时练习）已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)相交；(2)相切；(3)相离？【答案】(1)(2)(3)或.【详解】（1）联立，得，，当直线与椭圆相交，即，则，解得：；（2）当直线与椭圆相切，即，则，解得：；（3）当直线与椭圆相离，即，则，解得：或.精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线与椭圆，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围．【答案】答案见解析【详解】联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组消去y，整理得，

①因为①的判别式为，所以：当即时，方程①有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线l与椭圆C有两个公共点；当即时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程组的实数解集中只有一个元素，直线l与椭圆C有且只有一个公共点；当即或时，方程①无实数解，此时原方程组的实数解集为空集，直线l与椭圆C没有公共点．2．（2023秋·高二课时练习）求椭圆上的点到直线的最短距离，并求出此时椭圆上的点的坐标.【答案】最短距离为，对应的点的坐标为.【详解】设直线与椭圆相切，则只有一组解，即，所以，解得，依题意，需求最短距离，所以取，则最短距离为两平行线与的距离，即，此时点的横坐标为，代入可得，所以对应的点的坐标为.3．（2023秋·高二课时练习）设直线与椭圆的方程分别为与，问为何值时，(1)直线与椭圆有一个公共点；(2)直线与椭圆有两个公共点；(3)直线与椭圆没有公共点．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）由直线方程得，代入椭圆方程后整理得．上述方程的判别式．由此可知：当时，，直线与椭圆只有一个公共点．（2）当时，，直线与椭圆有两个公共点．（3）当或时，，直线与椭圆无公共点．

题型五：重点考查根据根与系数关系求参数典型例题例题1．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考开学考试）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，则．【答案】/【详解】由椭圆方程得：右焦点，则直线方程为：，由得：，则，，，.故答案为：.例题2．（2023秋·高二课时练习）直线被椭圆所截得的弦长为，求实数的值．【答案】或.【详解】解：联立方程组，整理得，设直线与椭圆的交点为，可得，解得，且，由弦长公式可得，因为直线截椭圆所得的弦长为，所以，解得，即实数的值为或.例题3．（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知为椭圆内一定点，经过P引一条弦AB，使弦AB被P点平分，求弦AB所在的直线方程及弦长．【答案】；弦长为.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点，由于点为弦的中点，则，得，由题意得，两式相减得，所以，直线的斜率为，所以，弦所在的直线方程为，即；由，可得，所以，所以.精练核心考点1．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，若，且，则.【答案】/0.5【详解】由题意得：，因为，所以为的中点，因为，所以点在线段的垂直平分线上，即上，即点横坐标为，设，与联立得：，设，则，故，解得：，因为，所以.故答案为：2．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，曲线C上的点P到两定点的距离之和等于定值4，直线与C交于A、B两点，若以为直径的圆过原点O，求k的值．【答案】【详解】由题设，故曲线C为椭圆且，焦点在y轴上，所以，联立，整理得：恒成立，由题意，，则，而以为直径的圆过原点O，所以，故，可得.3．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，求的值．【答案】【详解】由，得，恒成立，则，，则，整理得，即，所以或（舍），即.题型六：重点考查求椭圆中弦长典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求线段的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意设椭圆的方䄇为，因为椭圆经过点且短轴长为2，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由已知得直线的方程为，设，将直线代入，得，易得，所以，，所以.

例题2．（2023·全国·高二专题练习）椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为，因为椭圆经过点且长轴长为，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）由已知设直线l的方程为，设，.将直线代入，得，所以，，.例题3．（2023秋·陕西商洛·高二校考期末）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.(1)求椭圆的方程；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得,解得,，，∴椭圆的方程为.（2）因为，所以设直线的方程为，，.联立得得，又直线与椭圆有两个不同的交点，所以，∴∴，∴故当，即直线过原点时，最大，最大值为.精练核心考点1．（2023·江苏·高二假期作业）如图，已知斜率为－2的直线经过椭圆C：的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求：

(1)线段的中点M的坐标；(2)的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知椭圆的左焦点的坐标为,直线的方程为,联立,消去,得,设,,得,,设线段的中点M的坐标为，,点M的坐标为.（2）.2．（2023春·内蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中学校考期中）已知椭圆中，，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于、两点，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题知，，即，又，解得，所以椭圆方程为.（2）设，，联立直线与椭圆方程得，整理得，则，，.所民认.3．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆E：的离心率为，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为.将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为.（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，联立，可得，，，，所以.题型七：重点考查根据椭圆中弦长求参数典型例题例题1．（多选）（2023秋·高二课时练习）已知椭圆与直线交于两点，且，则实数＝（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】由消去并整理，得设，则.由题意得，即，解得．故选：AD.例题2．（2023春·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，直线与椭圆交于、两点，记的面积为.(1)若线段的中点为，求此时直线的方程；(2)当，时，求直线的方程.【答案】(1)(2)或或或【详解】（1）解：设点、，若直线与坐标轴垂直，则线段的中点在坐标轴上，不合乎题意，所以，，，由，两个等式作差可得，即，所以，，故直线的方程为，即.（2）解：设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，所以，，①原点到直线的距离为，由，②联立①②可得，因此，直线的方程为或或或.例题3．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）点到定点的距离和它到定直线的距离之比为.(1)求点的轨迹方程.(2)记点的轨迹为曲线,若过点的动直线与的另一个交点为,并且满足:原点到的距离为,弦长,求直线的方程.【答案】(1).(2).【详解】（1）设,点到定直线的距离为.由题意可得:,即,整理化简得:.即点的轨迹方程为.（2）设.当直线的斜率不存在时,由原点到的距离为,由对称性不妨设直线:.所以满足,解得:,所以（舍去）.当直线的斜率存在时,可设.

因为原点到的距离为,所以,即,则满足,消去可得:,,因为,所以恒成立.则.所以.因为,所以.化简得:,解得:,所以,直线的方程为:.综上所述:直线的方程为:.精练核心考点1．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）椭圆C的方程；（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）由题意可得，解得：，，椭圆C的方程为；（2）设，联立，得，，，，解得.2．（2023·全国·高二专题练习）椭圆E的方程为，短轴长为2，若斜率为的直线与椭圆E交于两点，且线段的中点为.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：与圆相切，且与椭圆E交于M，N两点，且，求直线l的方程.【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）由题意得：，所以，设，因过点且斜率为-1的直线与相交于两点，且恰好是的中点，则，所以.又A，B两点在椭圆上，则.两式相减得：，所以，所以，又，得，所以，故椭圆方程为；（2）直线l：与圆相切，故，即，联立与得：，设，则，，则，将代入上式得：，解得：，因为，所以，故，则，所以直线l的方程为或.3．（2023春·上海·高二专题练习）已知焦点在y轴上的椭圆C，过点，离心率直线l:被椭圆C所截得的弦长为，(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为，由离心率得：，解得，所以椭圆C的标准方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，设直线l被椭圆C所截弦的端点，于是，，解得，满足条件，所以.题型八：重点考查椭圆中四边形面积典型例题例题1．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆与双曲线的交点分别为，则四边形的面积为．【答案】【详解】由椭圆和双曲线的对称性可得四边形为矩形，联立，解得，所以，故答案为：例题2．（2023·高二课时练习）已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)求四边形面积的最大值；【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题意，得，解得，所以椭圆方程为，，，，则离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，代入椭圆的方程，得，，又因为，，所以四边形的面积,当直线的斜率存在时，设的方程为，设，联立方程，消去，得，由题意，可知恒成立，则，，四边形的面积令，则四边形的面积，，所以，综上所述，四边形面积的最大值.例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，动圆与圆相外切，与圆相内切.(1)求动圆的圆心的轨迹方程；(2)过点的两直线，分别交动圆圆心的轨迹于、和、，.求四边形的面积.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设动圆的半径为，，∴，，∴，∴是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，可设方程为，则，，∴的轨迹方程是；（2）

设，（为0时不符合题意），，，联立与椭圆的方程得：，，∴，同理设，不为0，可得，∴，∴，不妨取，，此时，∴而，同理，∴.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）垂直于y轴的直线与椭圆C：交于左右A、B两点，垂直于x轴的直线与椭圆C：交于上下C、D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（

）A．15 B．60 C．30 D．不是一个定值【答案】C【详解】，故.故选：C2．（2023·高二课时练习）已知椭圆上有点，关于轴对称点为，关于轴对称点为，关于原点对称点为，求四边形面积最大值．【答案】【详解】解：设椭圆上一点，则，由题可得均在椭圆上，且四边形为矩形，所以矩形的面积为又，即，所以，当且仅当，即时等号成立，所以矩形的面积最大值为.3．（2023春·四川自贡·高二校考期中）在平面直角坐标系中，过椭圆M：的右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求椭圆M的方程;(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线，求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）设，，，则有，又，，两式相减可得因为，，，所以，又由题意知，椭圆M的右焦点为，故因此，，所以椭圆M的方程为.

（2）由，解得或，因此由，可设直线的方程为，设，，由，得于是，即，，.因为直线CD的斜率为1，所以，由已知，四边形的面积当时，取得最大值，最大值为.所以四边形面积的最大值为.题型九：重点考查椭圆中的中点弦问题典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，代入椭圆的方程可得，．两式相减可得：．由，，代入上式可得：＝0，化为．又，，联立解得．∴椭圆的方程为：．故选：C．例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知过点的直线，与椭圆相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是.【答案】【详解】设，，根据中点坐标公式，，，且，，两式相减，化简可得，所以，即直线的斜率为，根据点斜式，得到直线的方程为，即.故答案为：例题3．（2023春·湖北恩施·高二校考期末）已知椭圆：的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．(1)求的方程；(2)已知直线：与椭圆相交于两点，，求线段的长度；(3)经过点作直线，交椭圆于、两点如果恰好是线段的中点，求直线的方程．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题意可得，可得，，所以椭圆的的方程为：；（2）设，，联立，整理可得，可得，，所以；

（3）设，，由题意可得，，将，的坐标代入可得：，作差整理可得：，即直线的斜率为，所以直线的方程为，即

精练核心考点1．（2023秋·高二课时练习）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设点、，则，所以，，两式作差可得，即，即，可得直线的斜率为，所以，直线的方程为，即.故选：B.2．（2023秋·高二课时练习）求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹．【答案】点的轨迹是直线在椭圆内的部分达定理得到，消去参数，即可得到轨迹方程.【详解】

如图，设直线被椭圆所截得的线段的两个端点、的横坐标为、，线段中点为．联立直线方程和椭圆方程得方程组，消去，并整理得．当判别式，即时，上述方程有两个不同的实数解，即直线与椭圆的相交线段存在．因为，，从而，这就是中点的轨迹的参数方程（其中）．消去得，，由，及，可得，点的轨迹方程为，，即点的轨迹是直线在椭圆内的部分．3．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆的离心率为，是上一点．(1)求的方程；(2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可知，解得，，，故的方程为．（2）设，，则则，即．因为线段的中点坐标为，所以，，则．故直线的方程为，即．

题型十：重点考查椭圆中参数范围及最值问题典型例题例题1．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】由题意得，则，，所以椭圆方程为，因为，所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，因为，所以点为线段的中点，设，则，，所以，所以，所以，即，所以，所以直线为，即，因为M为直线上任意一点，所以的最小值为点到直线的距离，故选：B例题2．（2023秋·河南驻马店·高二统考期末）已知椭圆的左右顶点分别为A，，椭圆的离心率为，动点在曲线上，且的面积的取值范围是，过点的直线与椭圆交于，两点．

(1)求椭圆的方程；(2)若点在第一象限，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由条件，即，，也即，解得，，从而椭圆的方程（2）当直线的斜率不存在时，，，，当直线的斜率存在时，不妨设，，，联立方程得则，．从而也即恒有．因为点在第一象限，从而从而在内的取值范围是，综上，的取值范围为．

例题3．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为．【答案】【详解】如图，

由椭圆方程可知，，当直线斜率不为0时，设直线，，联立，得：，，弦长，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为；当直线斜率为0时，.综上，的最小值为.故答案为：精练核心考点1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，则在椭圆C上存在点P使得成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设椭圆上一点，设，且，由椭圆的定义知，在中，由余弦定理得又由，当且仅当时，即点为椭圆的短轴的端点时，取得最小值，此时取得最大值，如图所示，要使得椭圆上存在点使得，根据椭圆的对称性，可得，在直角中，可得，即，解得又因为，所以，结合选项，可得使得成立的一个充分不必要条件是.故选：A.

2．（2023·全国·高三专题练习）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围为.【答案】【详解】点为椭圆上的任意一点，设，依题意得左焦点，，，，，，，．则．故答案为：．3．（2023春·广西·高二校联考期中）已知椭圆C:，过右焦点的直线交椭圆于A，B，若原点O在以AB为直径的圆上，则a的取值范围为．【答案】【详解】已知椭圆，则其右焦点坐标为，则，且，过右焦点的直线交椭圆于A，B，满足原点O在以AB为直径的圆上，所以，则设直线AB方程为，则，所以，显然恒成立，所以，则整理得，所以，又，在单调递增，所以，所以，解得．故答案为：题型十一：重点考查椭圆中定点问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题知，，，，由的面积为，得，又，代入可得，，∴椭圆的方程为.（2）联立得，设，，可得，，由题知，即，即，解得，∴直线的方程为，故直线恒过定点.例题2．（2023·高二课时练习）已知椭圆的左､右焦点分别为､，M是椭圆的上顶点，且是面积为1的等腰直角三角形.(1)求椭圆E的方程；(2)已知直线与椭圆E交于A，B两点，判断椭圆E上是否存在点P，使得四边形OAPB恰好为平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，点P的坐标为【详解】（1）由已知得，设.是面积为1的等腰直角三角形，∴椭圆E的方程为（2）由题意可设，.联立整理得，则.根据韦达定理得假设存在点满足四边形恰好为平行四边形，所以.所以，，点P代入椭圆C方程，所以，所以点P在椭圆C上.所以点P的坐标为.精练核心考点1．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)；(2)证明见解析；定点.【详解】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．（2）设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦距为，连接其四个顶点构成的四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设，是上关于原点对称的两点，且，不在轴上，则在轴上是否存在一点，使得直线与直线的斜率积为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，，.【详解】（1）根据题意可得，，而∴，，∴椭圆的方程为；（2）设，，，则根据题意可得，，∴，又，∴，∴当时，，此时点的坐标为.题型十二：重点考查椭圆中定值问题典型例题例题1．（2023秋·高二单元测试）已知椭圆，离心率，过点．(1)求的方程；(2)直线过点，交椭圆与两点，记，证明．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题得，解得，于是；（2）由题意知直线斜率存在，设直线，联立方程即，消可得，由，设，韦达定理可得；综上所述：.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由，可得，解得，又因为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，，，所以椭圆的标准方程为．（2）证明：当与轴重合时，，所以当不与轴重合时，设，直线的方程为，由整理得，则，故圆心到直线的距离为，则，所以，即为定值．精练核心考点1．（2023春·贵州贵阳·高二统考期末）已知椭圆的离心率为为的右焦点，过点作与轴不重合的直线，交于两点，当与轴平行时，.(1)求的方程；(2)为的左顶点，直线分别交直线于两点，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）设，当与轴平行时，直线的方程为，则在椭圆上，代入椭圆方程得，又因为离心率，解得.所以的方程为.（2）设，由椭圆的方程得，

当直线斜率不存在时，，直线的方程为，令得，同理.若直线斜率存在时，设直线，联立得，即，，直线的方程为，令得，同理，则.综上，得的值为2．（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意得：且，得，所以椭圆的方程为.（2）证明：由椭圆方程可知，，，设，则且；则，，则，所以为定值.题型十三：重点考查椭圆中定直线问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)直线AD与直线BE的交点在定直线上【详解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，，，解得，∴，∴，，，∴椭圆的方程为．（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为．联立椭圆方程，消去得．设，，则，．∴，又，，∴直线AD的方程为，直线BE的方程为．联立得，∴．又∵，∴．∴直线AD与直线BE的交点在定直线上．例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点，．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，或．【详解】（1）由离心率，可得，所以椭圆的方程为：，将点，代入椭圆的方程可得：，解得，所以椭圆的方程为；（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，，联立，整理可得：，，即，且，，，因为四边形为平行四边，与互相平分，所以，因为在椭圆上，则，整理可得：，①又因为直线，，的斜率依次成等比数列，即，即，而，可得，②由①②可得：，，符合△，可得，，所以直线的方程为：或．精练核心考点1．（2023秋·北京·高三东直门中学校考开学考试）已知椭圆的离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)当椭圆的焦点在x轴上时，直线与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足轴，轴，求证：点N在直线上．【答案】(1)或(2)证明见解析【详解】（1）当椭圆的焦点在轴上时，，解得，，所以此时椭圆方程为；当椭圆的焦点在轴上时，，所以，解得，所以此时椭圆方程为.（2）

由题意得，椭圆方程为，联立得，设点，则，所以，故，，所以经过点且斜率为的直线方程为，联立得，所以，，,又，所以点在直线上.2．（2023·四川成都·校联考二模）已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．【答案】(1)(2)证明见解析，定直线为【详解】（1）设，，所以，即，由题意知，所以，所以，则椭圆的标准方程为．（2）证明：设直线的方程为：，联立椭圆的方程，得，所以，则，由根与系数的关系，得，，设，由P，S，三点共线，得，由P，N，三点共线，得，则．所以直线OP的斜率为，则直线OP的方程为，联立直线OP与直线的方程，可得，解得，