赫尔期权及其他衍生产品主讲陈根第27与测度

国内外经典教材名师讲堂《期权、期货及其他衍生产品》第27章 鞅与测度主讲老师：朱

莉解释当无风险利率为随机时风险中性定价的理论基础了解等价鞅测度，并利用它来推广布莱克模型。27．1 风险市场价格考虑只依赖于一个变量θ的衍生产品性质。假设θ所服从的过程是（27-1）式中dz——维纳过程

m——θ增长率的期望

s——θ增长率的波动率假定这些参数只依赖于θ和t，变量θ可以代表与金融市场不大相关的东西。f1、f2——两个依赖于θ和t的衍生产品价格可以是期权，也可以是在以后某个时间以θ和t函数形式提供收益的产品价格。在所考虑的时间区间中，f1与f2不提供任何收入。假设f1与f2所服从的过程为与式中，μ1，μ2，σ1和σ2都是θ和t的函数,其中的“dz”项必须与式（27-1）中的dz一致，因为它们代表f1与f1中不确定性的惟一来源。联系价格f1与f2把f1与f1的过程离散化（27-2）和（27-3）利用σ2f2个单位的第一个衍生产品和-σ1f1单位的第二个衍生产品建立一个瞬时无风险的组合，将△z去掉。如果用Π来表示这个组合的价值，那么（27-4）和将式（27-2）和式（27-3）代入（27-5）由于这个组合是瞬时无风险的，它必须挣取无风险利率。因此，将式（27-4）和式（27-5）代入上式可以得到或 （27-6）注意式（27-6）的左边只依赖于f1过程中的参数，而右端只依赖于f2过程中的参数。定义λ为式（27-6）两边的值，那么（27-7）如果一个衍生产品价格只依赖于θ和t的，并且服从那么（27-8）参数λ被称为θ的风险市场价格。它可能依赖于θ和t，但却不依赖于衍生产品f的特征。如果没有套利机会，那么在任何时间上如果衍生产品，只依赖于θ和t，（μ-r）/σ的值都必须是一样的。变量θ的风险市场价格对于依赖于θ的证券在其风险与收益之间的平衡关系起着一个度量的作用。式（27-8）可以写成（27-9）注意：变量σ可以不严格地理解成在f中的θ风险。右边，θ风险的数量乘上σ风险的市场价格;左边,衍生产品在所得收益里高于无风险利率的部分，即风险的补偿。【例27-1】考虑这样一个衍生产品，它的价格和原油价格之间有正的相关性，而且不依赖别的随机变量。假设它提供12％的年预期收益率与

20％的年波动率，如果无风险利率为每年8％原油的风险市场价格是注意：原油是消费资产而不是投资资产，因而不能在式（27-8）中让μ等于在原油上投资的收益率期望，σ要等于原油价格的波动率。【例27-2】考虑两个证券，它们都与90天的利率有正的相关性。假如第一个证券的收益率期望是每年3％，而波动率是每年20％。第二个证券的波动率是每年30％。假设瞬时无风险利率是每年6％。利用第一个证券的收益率期望与波动率可以计算风险市场价格为第二个证券的收益率期望为其他世界衍生产品价格f服从式中μ依赖于投资者对风险的选择。在一个风险市场价格为0的世界里，λ等于0。从式（27-9）可以得到μ=r，于是f服从即为传统风险中性世界（traditional

risk．neutral

world）。由式（27-9）可以得出于是（27-10）一个变量的风险市场价格决定了所有依赖于这个变量的证券的增长率。当从一个风险市场价格换成另外一个时，证券价格增长率的期望值会改变，但它的波动率却不会改变。27．2 多个状态变量假设有n个变量θ1，θ2，…，θn，i=1，2，…，n，它们服从以下形式的随机过程：（27-11）其中dzi是维纳过程，参数mi和si分别表示增长率的期望与波动率,它们可以依赖于θi和时间。由多变量伊藤引理，一个只依赖于θi的证券价格具有n个随机部分，并且可以表示成（27-12）μ——证券的收益率期望σidzi——在这个收益中可以归咎于θi的部分μ和σi都可能依赖于θ和时间。证明了（27-13）式中λi是θi的风险市场价格。这个方程将投资者对一个证券的额外收益率要求与λi和σi联系了起来。式（27-9）是这个方程在n=1时的特例。λiσi衡量投资者对一个证券由于受θi影响而要求额外收益率补偿的程度。如果λiσi=0，那么没有影响。如果λiσi>0，那么投资者要求有更高的收益率来补偿由θi所引进的风险。如果λiσi<0时，对θi的依赖性使得投资者

对其所要求的收益率比不依赖θi时低。当一个证券会降低而不是增加一个典型投资者的投资组合风险时，情况λiσi<0才会成立。【例27-3】一只股票依赖于三个标的变量：原油价格、黄金价格和一个股票指数。假如这三个变量的风险市场价格分别是0.2、-0.1和0.4，假定三个变量的σi分别是0.05、0.1和0.15，这只股票中比无风险利率高出的额外收益率为0.2×0.05-0.1×0.1+0.4×0.15=0.06即每年6.0％。如果有其他变量也影响这只股票的价格，那么只要这些变量的风险市场价格为零，结论仍然成立。式（27-3）与Stephen

Ross在1976年发展的套利定价理论有着密切的关系。连续时间下的资本资产定价模型（CAPM）可以被看成是这个方程的特殊情况,CAPM认为投资者会要求额外收益来补偿由于和市场收益风险的相关性而带来的风险，而对其他的风险并不要求补偿。如果CAPM是正确的话，那么λi对θi变化与市场收益之间的相

关系数成比例。当θi与市场收益不相关时，λi是零。27．3

鞅鞅是一个没有漂移的随机过程。如果一个变量θ的过程具有以下形式：dθ=σdz，那么该变量就是一个鞅，dz是个维纳过程。变量σ本身也可以是随机的，它可以依赖于θ和其他的随机变量。鞅的性质：它在将来任何时间的期望值都等于今天的取值。即E（θT）=θ0，θ0和θT分别表示θ在时间0和T的取值。在一个很小的时间区间上0的变化服从均值为0的正态分布，因而0在一个很小的时间区间上变化的期望值是零，θ在时间0～T之间的变化是由它在许多很小时间区间上变化的和组成的，因此θ在时间0～T之间变化的期望值必须是零。等价鞅测度结果假设f、g——两个只依赖于一个不确定因素的可交易衍生产品的价格，且在考虑的时间区间内不提供任何收入。——f关于g的相对价格。即把f的价格基于g（而不是美元）来做单位，证券价格的g称做计价单位（numermre）。等价鞅测度结果说明：1．在没有套利机会时，对于某个风险市场价格的选择，φ是个鞅。2．对一个给定的计价单位证券g，在同一个风险市场价格的选择下，所有的证券价格f都会使φ成为鞅，而且所选择的风险市场价格正好是g的波动率。证明该结果

σf——f的波动率σg——g的波动率σg——一个世界里的风险市场价格从式（27-10）可以得到利用伊藤引理，可以得到于是即利用伊藤引理，可以从ln（f/g）得出f/g（27-14）即f/g是个鞅，并证明等价鞅测度结果，概念：以g的波动率σg作为风险市场价格的世界称做基于g作为计价单位的远期风险中性世界。由于在一个关于g是远期风险中性世界里f/g是个鞅，所以即（27-15）Eg——在一个关于g为远期中性世界里的期望。27．4 多个独立因子的情况把27．3节的结果推广到多个独立因子的情形。假如有n个独立因子，而f和g在传统风险中性世界里服从的过程是和利用27．2节里的结果，其他内部一致的风险中性世界可由下式定义和其中λi（1≤i≤n）是n个风险市场价格，真实的世界可以看成是这些世界中的一个特例。27．5改进布莱克模型放宽常数利率的假设，说明当利率为随机变量时，仍可以采用布莱克模型利用远期或期货价格对欧式期权定价。考虑一个标的资产执行价格为K、期限为T的欧式看涨期权。由式（27-20）得出，这个看涨期权的价格为（27-26）ET——一个关于P（t，T）为远期风险中性世界里的期望值F0——在T时刻到期的远期合约在0时刻的价格FT——在T时刻到期的远期合约在T时刻的价格因为ST=FT，假设FT是对数正态，而且ln（FT）的标准方差等于σF——远期价格所服从随机过程的波动率所以（27-27）其中由式（27-21），ET（FT）=ET（ST）=F0，因此（27-28）式中类似地，（27-29）即改进的布莱克模型。当利率为随机变量时，这一模型对投资资产以及消费资产均适用。27．6 资产交换期权下面考虑将一个价值为U的投资资产转换成一 个价值为V的投资资产的期权。首先假定这两个资产不提供收入。将计价单位g选成U，而且在式（27-15）中令f=V，有（27-30）EU——在一个关于U为风险中性世界里的期望值。然后在式（27-15）中令f为所考虑期权的价值，即资产交换期权的价值。于是fT

=max（VT-UT，0）即（27-31）V/U的波动率满足又式（27-31）可以写成其中和由式（27-30）得到（27-32）即在资产不提供收入的情况下将一个资产换成另一个资产的期权价格。当f和g以qf和qg的速度提供票息时，式（27-15）变为因此，式（27-30）和式（27-31）变为因此，式（27-30）和式（27-31）变为和式（27-32）变为而d1和d2则被重新定义成这正是式（25-5）所给出关于资产交换期权的结果。本章小结1．一个变量的风险市场价格定义了依赖于这个变量的可交易证券的风险和收益之间的平衡关系。当只有一个变量时，一个衍生产品高于无风险利率的额外收益率等于风险市场价格乘以它的波动率。当有许多变量时，额外收益率等于每个变量的风险市场价格与相应波动率的乘积之和。2．风险中性定价原理说明，对衍生产品定价时，如果假定世界是风险中性的，那么我们所得出的衍生产品的价格不但在风险中性世界里正确，而且在其他世界里也一样正确。在传统风险中性世界里，