北京市首都重点大学附属中学2023-2024学年高二上学期12月适应性练习数学试题(无答案)

首都重点大学附中2023-2024学年第一学期12月适应性练习高二数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）1．若直线l的倾斜角满足，且，则其斜率k满足（）A． B． C．或 D．或2．圆的圆心到直线的距离为（）A．2 B． C．1 D．3．已知两条直线：和：，下列不正确的是（）A．“”是“”的充要条件B．当时，两条直线间的距离为C．当斜率存在时，两条直线不可能垂直D．直线横截距为14．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A． B． C． D．5．椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．① B．② C．①② D．①②③7．已知圆与x轴的交点分别为A，B，点P是直线l：上的任意一点，椭圆C以A，B为焦点且过点P，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A． B． C． D．8．法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆C：外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的蒙日圆为E：，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（）A．椭圆C的离心率为B．M到C的右焦点的距离的最大值为C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则D．面积的最大值为二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知双曲线C：的焦距为，则双曲线C的渐近线方程为______．10．1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为439km，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为2384km，且地心、近地点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为6371km，则卫星运行轨道上任意两点间的距离的最大值为______km．11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，AB是过点的一条弦（A，B均在双曲线的左支上），若的周长为30，则______．12．直线l过点且与椭圆相交于A，B两点，若点M为弦AB的中点，则直线l的斜率为______．13．点在运动过程中，满足关系式，记满足此条件的点M的轨迹为C，直线与C交于D，E，已知，则周长的最大值为______．14．设定点，抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线上的动点．若的最小值为5，则实数a的值为______．三、解答题（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。）15．（本小题12．0分）已知直线l的方程为．（Ⅰ）求直线l过的定点P的坐标；（Ⅱ）直线l与x轴正半轴和轴正半轴分别交于点A，B，当面积最小时，求直线l的方程．16．（本小题12.0分）已知圆C：和直线l相切于点．（Ⅰ）求圆C的标准方程及直线l的一般式方程；（Ⅱ）已知直线m经过点P，并且被圆C截得的弦长为，求直线m的方程．17．（本小题12分）平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离比它到直线l：的距离大．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T的直线l与动点P的轨迹C交于A，B两点，求证：为定值．18．（本小题14分）如图，已知椭圆E：的一个