天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试卷

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数的大致图像为（）A. B.C. D.4.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.5.设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（）A. B. C.16 D.176.已知且，则a的值为（）A. B. C. D.7.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，，，，，等腰梯形和等腰梯形的高分别为和，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A. B. C. D.8.记表示区间上的偶数的个数．在等比数列中，，，则（）A.39 B.40 C.41 D.429.将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.为奇函数 B.C.最小正周期为 D.的单调递增区间为，二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.设是虚数单位，（），则_____．11.在的展开式中，的系数是______．12.已知直线与圆相切，且被圆截得的弦长为，则______；______．13.锐角，满足，，则和中的较小角等于______．14.为的边一点，满足．记，，用，表示______；若，且的面积为，则的最小值为______．15.若二次函数在区间上存在零点，则的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，对应的边为.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和的值.17.如图，在直三棱柱中，，，为棱中点．为线段的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．18.椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，，成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，求直线的斜率．19.已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，满足，，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若数列满足，，记．是否存在整数，使得对任意都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20.已知函数，且．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，且存在三个零点，，．（i）求实数的取值范围；（ii）设，求证：．

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】①.②.【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】①②.【15题答案】【答案】三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【18题答案】【答