（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案1.3《不等式的性质及一元二次不等式》 (原卷版)

页第三节不等式的性质及一元二次不等式核心素养立意下的命题导向1.与命题的真假判断相结合，考查不等式的性质，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.2.结合二次函数的图象，考查一元二次不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养.3.结合“三个二次”间的关系，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养.4.与实际问题相结合，考查应用不等式性质、一元二次不等式解决问题的能力，凸显数学建模的核心素养.[理清主干知识]1.两个实数比较大小的依据(1)a>b⇔a﹣b>0；(2)a＝b⇔a﹣b＝0；(3)a<b⇔a﹣b<0.2.不等式的性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a；a<b⇔b>a可逆传递性a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c同向可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bcc的符号同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N*⇒an>bn同正可开方性a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)同正3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2﹣4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝﹣eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))eq\a\vs4\al(R)ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}eq\a\vs4\al(∅)eq\a\vs4\al(∅)[澄清盲点误点]一、关键点练明1.若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C.|a|>|b|D.a2>b22.设A＝(x﹣3)2，B＝(x﹣2)(x﹣4)，则A与B的大小关系为()A.A≥BB.A>BC.A≤BD.A<B3.函数f(x)＝log2(﹣x2﹣3x＋4)的定义域为________.4.若集合A＝{x|x2﹣ax＋1>0}＝R，则实数a的取值范围是________.5.若1<α<3，﹣4<β<2，则α﹣|β|的取值范围是________.二、易错点练清1.已知实数a∈(﹣3,1)，b∈(eq\f(1,8),eq\f(1,4))，则eq\f(a,b)的取值范围是()A.(﹣12,8)B.(﹣24,8)C.(﹣24,4)D.(﹣12,4)2.不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集为________.3.不等式(x﹣2)(3﹣2x)≥0的解集为________.4.若不等式mx2＋2mx﹣4<2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是________.考点一不等式的性质及应用[典例](1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6﹣4a＋3a2，c﹣b＝4﹣4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，给出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)；②|a|＋b>0；③a﹣eq\f(1,a)>b﹣eq\f(1,b)；④lna2>lnb2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④[方法技巧]1.比较两个数(式)大小的2种方法2.谨记2个注意点(1)与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.[针对训练]1.(多选)已知实数a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列不等式一定成立的是()A.ab>acB.c(b﹣a)>0C.ac(a﹣c)<0D.cb2<ab22.(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A.a2＋b2≥eq\f(1,2)B.2a﹣b>eq\f(1,2)C.log2a＋log2b≥﹣2D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)考点二一元二次不等式的解法[例1]不等式2x＋3﹣x2>0的解集是()A.{x|﹣1<x<3}B.{x|x>3或x<﹣1}C.{x|﹣3<x<1}D.{x|x>1或x<﹣3}[例2]已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2﹣ax>a2.[方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.[针对训练]1.(多选)下列四个不等式中，解集为∅的是()A.﹣x2＋x＋1≤0B.2x2﹣3x＋4＜0C.x2＋3x＋10≤0D.﹣x2＋4x﹣(a+SKIPIF1<0)＞0(a＞0)2.已知实数a满足不等式﹣3<a<3，求关于x的不等式(x﹣a)(x＋1)>0的解集.考点三一元二次不等式的综合应用考法(一)“三个二次”之间的关系及应用[例1]若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|﹣1<x<2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x﹣1)＋c>2ax的解集为()A.{x|﹣2<x<1}B.{x|x<﹣2或x>1}C.{x|0<x<3}D.{x|x<0或x>3}[方法技巧]“三个二次”之间的关系若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，则x1，x2是不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)解集的端点，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标.考法(二)一元二次不等式的恒(能)成立问题题点1一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题[例2]若不等式2kx2＋kx﹣eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________.[方法技巧]一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0题点2一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题[例3]设函数f(x)＝mx2﹣mx﹣1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)<﹣m＋5恒成立，则m的取值范围是________________.[方法技巧]在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题，即：已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.题点3不等式能成立或有解问题[例4]设a∈R，若关于x的不等式x2﹣ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则()A.a≤2B.a≥2C.a≥eq\f(5,2)D.a≤eq\f(5,2)[方法技巧]解决不等式能成立问题的策略一般也是转化为函数最值，即：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.[针对训练]1.已知关于x的不等式x2﹣(k﹣1)x﹣k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是()A.(﹣∞，﹣3]∪[1，＋∞)B.(﹣∞，1]∪[3，＋∞)C.[﹣1,3]D.[﹣3,1]2.设m为实数，若函数f(x)＝x2﹣mx＋2在区间(﹣∞，2)上是减函数，对任意的x1，x2∈[1,eq\f(m,2)＋1]，总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4，则m的取值范围为()A.[4,6]B.(4,6)C.(4,6]D.[4,6)eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1.已知a∈R，p＝a2﹣4a＋5，q＝(a﹣2)2，则p与q的大小关系为()A.p≤qB.p≥qC.p<qD.p>q2.若﹣1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A.﹣2<α﹣β<0B.﹣2<α﹣β<﹣1C.﹣1<α﹣β<0D.﹣1<α﹣β<13.不等式2x2﹣x﹣3>0的解集是()A.(﹣eq\f(3,2)，1)B.(﹣∞，﹣1)∪(eq\f(3,2)，＋∞)C.(﹣1,eq\f(3,2))D.(﹣∞,﹣eq\f(3,2))∪(1，＋∞)4.若实数m，n满足m>n>0，则()A.﹣eq\f(1,m)<﹣eq\f(1,n)B.eq\r(m)＋eq\r(n)>eq\r(m＋n)C.(eq\f(1,2))m>(eq\f(1,2))nD.m2<mn5.若∀x∈R,2x2﹣mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________.二、综合练——练思维敏锐度1.(多选)设a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式恒成立的是()A.a2>abB.a2<b2C.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D.a3<b32.已知a为实数，“a>1”是“a2<a3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若关于x的不等式ax﹣b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x﹣3)>0的解集是()A.(﹣∞，﹣1)∪(3，＋∞)B.(1,3)C.(﹣1,3)D.(﹣∞，1)∪(3，＋∞)4.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,2，x<0，))若不等式xf(x﹣1)≥a的解集为[3，＋∞)，则a的值为()A.﹣3B.3C.﹣1D.15.若存在x0∈[﹣2,3]，使不等式2x0﹣xeq\o\al(2,0)≥a成立，则实数a的取值范围是()A.(﹣∞，1]B.(﹣∞，﹣8]C.[1，＋∞)D.[﹣8，＋∞)6.若a>1，则关于x的不等式eq\f(ax,x＋1)≥1的解集是()A.[-1,eq\f(1,a－1)]B.(-1,eq\f(1,a－1)]C.(﹣∞，1)∪(1，＋∞)D.(﹣∞，﹣1)∪[eq\f(1,a－1),+∞)7.(多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|﹣eq\f(1,2)<x<2}，则下列结论正确的是()A.a>0B.b>0C.c>0D.a＋b＋c>08.在关于x的不等式x2﹣(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是()A.(﹣3,5)B.(﹣2,4)C.[﹣3,5]D.[﹣2,4]9.若0<a<1，则不等式(a﹣x)(x﹣eq\f(1,a))>0的解集是________________.10.已知a＋b＞0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________.11.a，b∈R，a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同时成立的条件是________.12.若不等式x2＋ax﹣2>0在区间[1,5