课下梯度训练（十九）导数的实际应用问题

课时跟踪检测（十九）导数的实际应用问题层级(一)“四基”落实练1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件解析：选Cy′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.所以当x＝9时，y取得最大值．2．某工厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A．32m,16m B．30m,15mC．40m,20m D．36m,18m解析：选A要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示．设场地宽为xm，则长为eq\f(512,x)m，因此新墙总长度L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，则L′＝2－eq\f(512,x2)，令L′＝0，得x＝±16.∵x>0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64，∴堆料场的长为eq\f(512,16)＝32(m)．3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元．已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，80000x>400，))则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100 B．150C．200 D．300解析：选D由题意，总成本为：C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，60000－100x，x>400，))P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，－100，x>400，))令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．4．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D.eq\f(1,2)πr2解析：选A设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则圆柱侧面积S＝2πr1t＝2πr12eq\r(r2－r\o\al(2,1))＝4πr1eq\r(r2－r\o\al(2,1))＝4πeq\r(r2r\o\al(2,1)－r\o\al(4,1)).令(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1))′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2)r.此时S＝4π·eq\r(\f(1,2)r4－\f(1,4)r4)＝4π·eq\f(1,2)r2＝2πr2.5.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为()A.eq\f(d,3) B.eq\f(d,2)C.eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(2),2)d解析：选C设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0<x<d.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝eq\f(\r(3),3)d(舍去负值)．当0<x<eq\f(\r(3),3)d时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当eq\f(\r(3),3)d<x<d时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝eq\f(\r(3),3)d.所以x＝eq\f(\r(3),3)d时，f(x)有最大值，故选C.6.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________m时，帐篷的体积最大．解析：设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得正六棱锥底面边长为eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．帐篷的体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(x－1)＋eq\f(3\r(3),2)·(8＋2x－x2)＝eq\f(\r(3),2)(8＋2x－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1＋3))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，V′＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.所以当x＝2时，V最大．答案：27．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为________元．解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：230008．建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，则总造价的最小值为________元．解析：设总造价为y元，池底的一边长为x米，池底的面积为4平方米，则池底的另一边长为eq\f(4,x)米，池壁的面积为4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))平方米，故有y＝4×300＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×100＝400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))＋1200(x>0)，y′＝400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x2)))，令y′＝0得x＝2，由y′>0得x>2，由y′<0得0<x<2，即y在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以当x＝2时，y取得最小值，且ymin＝2800.答案：28009．要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？解：由V＝πr2h，得h＝eq\f(V,πr2)，设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价为S(r)＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2＝5aπr2＋eq\f(4aV,r).由S′(r)＝10aπr－eq\f(4aV,r2)＝0，解得r＝eq\r(3,\f(2V,5π))，于是h＝eq\f(V,πr2)＝eq\r(3,\f(25V,4π)).由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最小值点．∴当eq\f(r,h)＝eq\f(\r(3,\f(2V,5π)),\r(3,\f(25V,4π)))＝eq\f(2,5)时，储油罐的造价最省．10.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场．按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为xm，则宽为eq\f(2400,x)m，绿化区域的总面积为S(x)m2.则S(x)＝(x－6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2400,x)－4))＝2424－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋6×\f(2400,x)))＝2424－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))，x∈(6,600)．∴S′(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3600,x2)))＝eq\f(－4x＋60x－60,x2).令S′(x)<0，得60<x<600；令S′(x)>0，得6<x<60.∴S(x)在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数，∴当x＝60时，S(x)取得极大值，也是最大值，∴S(x)max＝S(60)＝1944.∴当休闲广场的长为60m，宽为40m时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1944m2.层级(二)能力提升练1．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使它的容积最大，它的高h与底面半径R的比应为()A．1∶2 B．2∶1C．3∶1 D．2∶3解析：选B因为S＝2πRh＋2πR2，所以h＝eq\f(S－2πR2,2πR)，所以V(R)＝eq\f(S－2πR2,2πR)πR2＝eq\f(1,2)(S－2πR2)R＝eq\f(1,2)SR－πR3.由V′(R)＝eq\f(1,2)S－3πR2＝0，得S＝6πR2，结合函数的单调性知，当S＝6πR2时，容积最大，此时6πR2＝2πRh＋2πR2.即h∶R＝2∶1.2.小明做化学实验要用滤纸做一个圆锥形漏斗，如果漏斗的母线长为20，要使漏斗的体积最大，则漏斗的高是多少？解：设漏斗的高为x，则底面半径为eq\r(202－x2)，所以漏斗的体积V＝eq\f(1,3)π(202－x2)·x,0<x<20，所以V′＝eq\f(π,3)(400－3x2)，令V′＝0，则x＝eq\f(20\r(3),3)或x＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20\r(3),3)))时，V′>0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20\r(3),3)，20))时，V′<0.因为x＝eq\f(20\r(3),3)是函数在(0,20)内唯一的极大值点，所以x＝eq\f(20\r(3),3)时V取得最大值．即漏斗的高为eq\f(20\r(3),3)时，漏斗的体积最大．3．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数y＝f(x)．(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.则有f(x)＝(30－x－9)(4