期中真题必刷常考60题（19个考点专练）（解析版）

期中真题必刷常考60题（19个考点专练）一．全等图形（共2小题）1．（2022秋•铜山区期中）下列各组中是全等形的是（）A．两个周长相等的等腰三角形 B．两个面积相等的长方形 C．两个面积相等的直角三角形 D．两个周长相等的圆【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．【解答】解：A、不一定是全等形，故此选项错误；B、不一定是全等形，故此选项错误；C、不一定是全等形，故此选项错误；D、是全等形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．2．（2022秋•泗洪县期中）全等图形是指两个图形（）A．面积相等 B．形状一样 C．能完全重合 D．周长相同【分析】利用全等图形的定义可得答案．【解答】解：全等图形是指两个图形能完全重合，故选：C．【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．二．全等三角形的性质（共6小题）3．（2022秋•溧阳市期中）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（）A． B．4 C．3 D．不能确定【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形的周长相等可得出等式方程求出答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，解得：x＝3，故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理．4．（2022秋•海州区校级期中）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30 B．27 C．35 D．40【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．5．（2022秋•涟水县期中）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝3，则BD的长是（）A．1.5 B．2 C．4 D．6【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝3，∴BC＝CE＝1，∴BD＝BC+CD＝3+1＝4，故选：C．【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．6．（2022秋•锡山区期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠E＝30°，则∠F的度数为（）A．80° B．70° C．30° D．100°【分析】根据全等三角形的性质求出∠D，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝70°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝80°，故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．7．（2022秋•南京期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠AED＝100°，∠B＝25°，则∠A的度数为（）A．25° B．45° C．50° D．55°【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠AED＝∠ACB，再根据三角形的内角和定理列式求出∠A．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝100°，∴∠AED＝∠ACB＝100°，∵∠B＝25°，∴∠A＝180°﹣100°﹣25°＝55°，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．8．（2022秋•滨海县期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】根据全等三角形的性质得出∠A＝∠DEB＝∠DEC，∠ADB＝∠BDE＝∠EDC，根据邻补角定义求出∠DEC、∠EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A＝∠DEB＝∠DEC，∠ADB＝∠BDE＝∠EDC，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠ADB+∠BDE+EDC＝180°，∴∠DEC＝90°，∠EDC＝60°，∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．故选：A．【点评】本题主要考查对全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义等知识，判断△DEC的直角三角形是解此题的关键．三．全等三角形的判定（共9小题）9．（2022秋•江都区校级期中）根据下列条件能画出唯一△ABC的是（）A．AB＝2，BC＝6，AC＝9 B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30° C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．【解答】解：A、2+6＝8＜9，不满足三边关系，本选项不符合题意；B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意，C、没有边的条件，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意；D、边角边，能确定唯一三角形．本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（2022秋•江都区校级期中）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可判定△OMP≌△ONP，依据是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．HL【分析】由垂线的定义可知△OMP和△ONP都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据HL判定△OMP≌△ONP．【解答】解：由题意可知，△OMP和△ONP都是直角三角形，在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是能够依据HL判定两个直角三角形全等．11．（2022秋•沭阳县期中）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，补充条件后，仍不一定能保证△ABC≌△A'B'C'，这个补充条件是（）A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A' C．∠C＝∠C' D．AC＝A'C'【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∴当BC＝B′C′时，根据“SAS”可判断△ABC≌△A'B'C'，所以A选项不符合题意；当∠A＝∠A′时，根据“ASA”可判断△ABC≌△A'B'C'，所以B选项不符合题意；当∠C＝∠C′时，根据“AAS”可判断△ABC≌△A'B'C'，所以C选项不符合题意；当AC＝A′C′时，不一定能保证△ABC≌△A'B'C'．所以D选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．12．（2022秋•鼓楼区校级期中）如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD，则△ABC≌△CDA，理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根据已知条件得出BC＝AD，CD＝AB，根据全等三角形的判定定理SSS推出即可．【解答】解：∵以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，∴BC＝AD，CD＝AB，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．13．（2022秋•江都区校级期中）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】利用全等三角形的判定方法，即可解答．【解答】解：如图，已知△ABC，上面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是乙，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．14．（2022秋•惠山区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（）A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．15．（2022秋•江都区期中）根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8【分析】根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可．【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意；B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．16．（2022秋•广陵区校级期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据全等三角形的定义画出图形，即可判断．【解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．（2022秋•天宁区校级期中）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD【分析】根据三角形全等的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．B、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意．C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．D、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．四．全等三角形的判定与性质（共11小题）18．（2022秋•梁溪区期中）下列说法正确的是（）A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．全等三角形的面积相等 D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等【分析】根据三角形全等条件可以得出全等从形状和大小两个方面同时满足就可以从备选答案中得出结论．【解答】解：A、说明两三角形的形状相同，不能确定大小，故错误；B、强调了两三角形的大小，没有确定形状，故错误；C、由全等三角形的性质可以得出结论；D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误．∴正确答案为为C．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答本题时弄清全等三角形的了两个必备条件是关键．19．（2022•中山市一模）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝40°，则∠DEF的度数是（）A．75° B．70° C．65° D．60°【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝70°，再证明△BDE≌△CEF，得出∠BDE＝∠CEF，运用三角形的外角性质得出∠CEF+∠DEF＝∠B+∠BDE，即可得出∠DEF＝∠B＝70°．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，在△BDE和△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴∠BDE＝∠CEF，∵∠CED＝∠B+∠BDE，即∠CEF+∠DEF＝∠B+∠BDE，∴∠DEF＝∠B＝70°；故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．20．（2022秋•灌云县期中）已知：如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF⊥CD．求证：点F是CD的中点．【分析】连接AC、AD，利用“边角边”证明△ABC和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AD，根据AF⊥CD，最后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．【解答】证明：如图，连接AC、AD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∵AF⊥CD，∴CF＝FD（等腰三角形三线合一）．∴点F是CD的中点．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．21．（2022秋•淮阴区期中）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（2022秋•天宁区校级期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．【分析】利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．23．（2022秋•海安市期中）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．【分析】由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解答】证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．24．（2022秋•溧阳市期中）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）找出图中与∠1、∠2相等的角（直接写出结论，不需证明）．【分析】（1）根据等式的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后利用SAS判定△ABC≌△ADE；（2）利用三角形内角和定理可得∠1＝∠MFD，再由对顶角相等可得∠1＝∠NFC．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∵∠AMB＝∠DMF，∴∠1＝∠MFD，∵∠MFD＝∠NFC，∴∠1＝∠NFC，∴与∠1、∠2相等的角有∠NFC，∠MFD．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．25．（2022秋•高新区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，AE＝AF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE＝30°，求∠ADC的度数．【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEB＝∠AFC，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF+∠AEB＝∠AFE+∠AFC＝180°，∴∠AEB＝∠AFC，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，∴∠BAE＝∠CAF＝30°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC＝＝75°．答：∠ADC的度数为75°．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．26．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠A＝40°，∠BCD＝60°，求∠CDE的度数．【分析】（1）根据AD∥BE，可得∠A＝∠B，即可得证△ADC≌△BCE（SAS）；（2）根据全等三角形的性质，可得CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，根据三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠A+∠ADC，根据等腰三角形的性质即可求出∠CDE的度数【解答】（1）证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠B，在△ADC和△BCE中，，∴△ADC≌△BCE（SAS），∴CD＝CE；（2）解：∵△ADC≌△BCE，∴CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，∵∠BCD＝∠A+∠ADC＝60°，∴∠ADC＝20°＝∠BCE，∴∠ECD＝60°+20°＝80°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣80°）÷2＝50°，∴∠CDE＝50°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．（2022秋•通州区期中）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此题的关键．28．（2022秋•昆山市校级期中）问题情境：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？请你给出证明；变式拓展：如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：①PE与PF还相等吗？为什么？②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．【分析】问题情境：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论；变式拓展：①过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论；②结论：OE﹣OF＝OP．证明△POM≌△PON（AAS），推出OM＝ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM＝EN，可得结论．【解答】问题情境：证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；变式拓展：①解：结论：PE＝PF．理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；②解：结论：OE﹣OF＝OP．理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP．【点评】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．五．角平分线的性质（共2小题）29．（2022秋•兴化市期中）如图所示，已知△ABC的周长是15，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是30．【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，利用角平分线的性质得到OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，利用三角形面积公式得到S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝2（AB+BC+AC），然后利用△ABC的周长是15得到△ABC的面积．【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×4×AB+×4×BC+×4×AC＝2（AB+BC+AC）＝2×15＝30．故答案为30．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．30．（2022秋•江阴市期中）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BE的长为3．【分析】根据角平分线的性质得出CD＝DE＝4，则BD＝BC﹣CD＝5，根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴CD＝DE＝4，∵BC＝9，∴BD＝BC﹣CD＝5，∴BE＝＝＝3，故答案为：3．【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．六．线段垂直平分线的性质（共3小题）31．（2022秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D，若AC长为8cm，BE长为6cm，则EC的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【分析】根据线段垂直平分线的性质解决此题．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝6（cm）．∴EC＝AC﹣AE＝8﹣6＝2（cm）．故选：C．【点评】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）是解决本题的关键．32．（2022秋•靖江市校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．33．（2022秋•扬州期中）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．【解答】解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．七．等腰三角形的性质（共4小题）34．（2022秋•东台市期中）等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10，综上所述，三角形的周长为10．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．35．（2022秋•宿城区校级期中）已知等腰三角形两条边长分别是3和6，则此三角形的周长是15．【分析】分两种情考虑：腰长为3，底边为6；腰长为6，底边为3，根据这两种情况即可求得三角形的周长．【解答】解：当腰长为3，底边为6时，因3+3＝6，则不符合构成三角形的条件，此种情况不存在；当腰长为6，底边为3时，则三角形的周长为：6+6+3＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的定义以及构成三角形的条件，解题的关键是注意分类讨论．36．（2022秋•江都区期中）若等腰三角形的一个角等于120°，则它的底角的度数为30°．【分析】因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，∴120°只能是等腰三角形的顶角，∴底角为：（180°﹣120°）÷2＝30°．故答案为：30°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理．此题比较简单，解题的关键是熟记定理，掌握定理的应用，注意分类讨论思想的应用．37．（2022秋•邗江区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积为6．【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得BD＝CD，再根据三角形的面积公式即可得．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴，S△CEF＝S△BEF，∵S△ABC＝12，∴，即图中阴影部分的面积为6，故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．八．等腰三角形的判定（共1小题）38．（2022秋•淮安区期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（16﹣t）cm（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发11秒或12秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．九．等腰三角形的判定与性质（共1小题）39．（2022秋•淮安期中）如图，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝7．（1）求∠BOC的度数；（2）求∠AMN的周长．【分析】（1）根据三角形的内角和为180°及角平分线的定义即可得出答案；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，从而可得MB＝MO，NO＝NC，进而可得C△AMN＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；（2）∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠CBO，∴∠ABO＝∠MOB，∴MO＝BM，同理可得，NO＝NC，∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，∵AB＝5，AC＝7，∴AB+AC＝12，∴△AMN的周长＝AB+AC＝12．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．一十．等边三角形的性质（共1小题）40．（2022秋•工业园区校级期中）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，证出∠CDE＝∠CED＝30°，则可得出结论．【解答】证明：∵等边△ABC中，BD是边AC上的高，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠DBC＝∠CED，∴BD＝DE．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．一十一．等边三角形的判定与性质（共1小题）41．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．一十二．直角三角形斜边上的中线（共1小题）42．（2022秋•阜宁县期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC＝12，则△BMD的面积为18．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DM＝AC，根据等边对等角可得∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BMD＝2∠BAD，即可得△BDM是等腰直角三角形，即可求解．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝DM＝AC＝AM＝6，∴∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，由三角形的外角性质得，∠BMC＝∠ABM+∠CAB＝2∠BAC，∠CMD＝∠ADM+∠DAC＝2∠DAC，∴∠BMD＝∠BMC+∠CMD＝2（∠BAC+∠DAC）＝2∠BAD，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，∴∠BAD＝45°，∴∠BMD＝2∠BAD＝90°，∴S△BMD＝BM•DM＝×6×6＝18．故答案为：18．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．一十三．勾股定理（共6小题）43．（2022秋•昆山市校级期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（）A．10 B．28 C．100 D．不能确定【分析】由勾股定理即可求出答案．【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．44．（2022秋•新北区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（）A． B．3 C． D．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．45．（2022秋•泗阳县期中）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，则阴影部分的面积为．【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根据S2+S1﹣S3＝18即可得出S1的值，即为图中阴影部分的面积．【解答】解：由勾股定理得，BC2﹣AC2＝AB2，即S2﹣S3＝S1，∵S2+S1﹣S3＝18，∴S1＝9，由图形可知，阴影部分的面积＝S1，∴阴影部分的面积＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，是解题的关键．46．（2022秋•阜宁县期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是2.5．【分析】过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理可得BC，根据角平分线性质可得DE＝DC，根据三角形面积公式求出CD，即可求出BD．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DC，∵AC•BC＝AC•CD+AB•DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，解得CD＝1.5，∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．故答案为：2.5．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．47．（2022秋•天宁区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．48．（2022秋•广陵区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF．（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝26，EF＝5，求AC的长．【分析】（1）连接AE，CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝BD，CE＝BD，那么AE＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明EF⊥AC．（2）求出CE的长，根据勾股定理求出CF的长，则可得出答案．【解答】（1）解：EF⊥AC．理由：连接AE，CE．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，∴AE＝BD，CE＝BD，∴AE＝CE，又∵F是AC的中点，∴EF⊥AC．（2）∵BD＝26，∴CE＝BD＝13，∴CF＝＝＝12，∴AC＝2CF＝24．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键．一十四．勾股定理的逆定理（共2小题）49．（2022秋•常州期中）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；B、根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．50．（2022秋•江都区期中）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．【分析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．【解答】解：连接BD，∵∠A＝90°，∴BD2＝AD2+AB2＝25，∵BD2+CD2＝132＝BC2，∴∠CDB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△CBD＝+＝36（平方米），答：这块土地的面积为36平方米．【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．一十五．勾股数（共1小题）51．（2022秋•盱眙县期中）在下列各组数中，是勾股数的是（）A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．一十六．勾股定理的应用（共6小题）52．（2022秋•宿城区期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．53．（2022秋•泗阳县期中）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10米．【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB＝10米，小树高为CD＝4米，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6米，在Rt△AEC中，AC＝＝10米，故答案为：10．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．54．（2022秋•昆山市校级期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了9米．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．55．（2022秋•江阴市期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？【分析】设绳索AD的长度为xm，则AC＝（x﹣2）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为xm，则AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：绳索AD的长度是10m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．56．（2022秋•工业园区校级期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作