第三节　函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且

，那么函数f(x)就叫做偶函数关于

对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且

，那么函数f(x)就叫做奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.函数的周期性周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期f(x＋T)＝f(x)最小最小正数(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)奇函数的特殊性质①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.2．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________.3．(苏教版必修第一册P126·T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b

的值是________．4．(北师大版必修第二册P4·习题A组T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2021)＝________.解析：由题意知f(2021)＝f(3×674－1)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2021)＝1.答案：1层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点判断函数的奇偶性

[题点全训]1．以下函数图象中为奇函数的是

(

)解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以只有选项A符合，故选A.答案：A

解析：对于A，定义域为R，f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，f(x)是奇函数；对于B，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，f(x)是偶函数；对于D，定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数．答案：C

[一“点”就过]函数奇偶性的判定方法(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2021)＋f(2023)的值为________．(2)设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1.(3)由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.∴f(2021)＋f(2023)＝f(2022－1)＋f(2022＋1)＝0.[方法技巧]函数奇偶性的应用类型及解题策略求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式求函数值利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解求参数值利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解解不等式利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f(x)＝f(|x|)，将问题转化到区间[0，＋∞)上求解[针对训练]1．已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝(

)A．4 B．3C．2 D．1解析：由题意f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，由函数的奇偶性得f(－x)－g(x)＝x2－x－2，联立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2.答案：C

(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝________.[解析]

(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2022(2)＝f3×674(2)＝f3(2)＝2，故选C.(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2，∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2022)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2021)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝1011.[答案]

(1)C

(2)1011函数周期性的判定与应用的解题策略(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.

2．设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为

(

)A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1解析：当x∈[－2,0)时，－x∈(0,2]，∴－x＋4∈(4,6]，又∵当x∈(4,6]时，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝

2－x＋4＋1.∴当x∈[－2,0)时，f(x)＝－2－x＋4－1.答案：B

不能将对称性向周期性有效转化解决双对称问题时的痛点：一是不能熟练地将对称性向周期性转化，二是将2(b－a)与4(b－a)(b＞a)混淆．——————————————————————————————————[典例]函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x) (

)A．是偶函数，也是周期函数

B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数

D．是奇函数，但不是周期函数[解析]因为f(4＋x)为偶函数，所以f(4＋x)＝f(4－x)．又f(2－x)＝f(2＋x)，故直线x＝2和x＝4是f(x)的两条对称轴．所以f(x)是周期T＝2|4－2|＝4的函数．所以f(x)＝f(x＋4)，而f(4＋x)为偶函数，于是f(x)是偶函数，故选A.[答案]

A双对称函数具有周期性；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称(b>a)，则2(b－a)是函数y＝f(x)的周期；若函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)和(b,0)对称(b>a)，则2(b－a)是函数y＝f(x)的周期；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称(b>a)，则4(b－a)是函数y＝f(x)的周期．[针对训练]函数y＝f(x)满足对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2020)＋f(2021)＋f(2022)的值为________．解析：∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x＋2)＝f(－x)，则f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数，又f(1)＝4，f(2)＝f(0)＝0，∴f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝4.答案：4层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(不会构造奇、偶函数)已知函数f(x)＝ex－e－x＋x3＋3，若f(a)＝5，则f(－a)＝

(

)A．2 B．1C．－2 D．－5解析：设g(x)＝f(x)－3＝ex－e－x＋x3，则g(－x)＝e－x－ex－x3＝－(ex－e－x＋x3)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为g(a)＝f(a)－3＝2，所以g(－a)＝f(－a)－3＝－2，则f(－a)＝1.答案：B

2．(忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b是定义在区间[－2b,3b－1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为________．解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a＝0.又f(x)的定义域为[－2b,3b－1]，∴－2b＋3b－1＝0，解得b＝1.∴f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，∴函数f(x)的值域为[1,5]．答案：[1,5]3．(忽略自变量0的函数值)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为______________．二、融会贯通应用创新题4．(弘扬传统文化)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……癸亥，60年为一个纪年周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，2020年是庚子年，则中华人民共和国成立100周年(公元2049年)是

(

)A．己未年