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文档简介
初一年级数学学科
《全等三角形》单元
大单元整体学习
A
Me
班级:
小组:
姓名:
学科主任:年级主任:
图形与几何:全等三角形
单元概述
【单元内容】
全等三角形是三角形一章的延续,从对一个三角形的探究扩展到两个三角形关系
的探究.全等三角形是最简单、最基本的全等形,在现实生活中有着广泛的应用.全等
形及全等三角形为探究角相等、线段相等提供了一种新的方法,全等三角形的概念、
性质与判定是本单元的核心内容,是研究轴对称、等腰三角形、平行四边形和圆等几
何图形的基础.
【课标要求】
L理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角.
2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;两角及其夹边分别相等
的两个三角形全等;三边分别相等的两个三角形全等.
3.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
4.尺规作图:(1)能用尺规完成基本作图:作一个角等于已知角;
(2)会利用基本作图作三角形:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形.
【单元目标】
1.研读文本,结合生活实例说出对全等形与全等三角形的理解,探究全等三角形的性
质进行边与角的转化.
2.通过画图、叠合、实验、观察等活动,分析三角形全等所需元素,探索三角形全等
的四种判定方法并初步运用,说出判定两个三角形全等的思路;
3.设计复原风筝方案,用尺规作三角形,并说出理论依据,探究全等三角形的应用价
值;
4.围绕全等三角形的概念、性质、判定进行重构过关,灵活应用全等三角形模型、转
化思想解决综合问题.
【评价预设】
学习阶段评价标准自我评价
整体感知能说出全等形的概念、特征及全等三角形元素之间的对应
关系,能运用全等三角形的性质解决边角问题.
探究建构探究全等三角形的判定,并能选择合适的判定方法解决三
角形边角问题,解决生活中的简单问题.
应用迁移借助尺规作图,设计符合条件的三角形风筝骨架,并说出
理论依据;设计距离测量方案,总结全等三角形在生活中
的应用.
重构拓展结合图形及问题,梳理全等三角形核心内容及内在联系,
灵活应用全等三角形模型、转化思想解决综合问题.
【学习导航】
通过整体感知观察分析实例认识全等形,猜测全等三角形元素之间的关系,根据
叠合得出对应关系及全等三角形的性质,为后续学习奠定基础;探究建构阶段将重点
探究本单元的核心问题一一三角形全等的判定方法,并能应用三角形全等的性质与判
定解决边角问题;应用迁移阶段,运用全等三角形的性质与判定分析并解决实际问题;
通过重构拓展阶段复盘学习过程,梳理全等三角形核心内容及内在联系,灵活应用全
等三角形模型解决综合问题.
【学时建议】
学习过程学习任务学时
整体感知揭秘全等三角形的对应关系1
探究建构探索三角形全等的判定方法3
应用迁移设计符合条件的三角形风筝骨架2
重构拓展利用三角形全等解决综合问题1
【本单元学习目标追求】
请结合对本单元的单元概述与单元内容的学习,制定自己学习本单元的目标追求.
一、我的学习目标
二、我的目标达成情况
整体感知
全等三角形
【学习目标】
1.结合实例抽象出全等形,说出全等形与全等三角形的概念与特征,能辨别两个图形
是否为全等形;
2.借助三角形纸片识别全等三角形中的对应边与对应角,探究全等三角形的性质进行
边和角的转化;
3.通过图形变换分析全等三角形模型中的对应关系,运用全等三角形的性质解决边角
问题.
【学习任务】
揭秘全等三角形的对应关系
学习活动1)——认识全等形
亲爱的同学们,观察校服上的校徽,每个教室张贴的国旗,剪纸课上剪的窗花、
做的风筝等等,它们有什么特点?结合图片思考,完成下面的问题.
【问题探究】
1.分别观察四组图片,看看它们有什么特点?如果将每组中的两张图片用适当的方式
叠合在一起它们能够完全重合吗?
2.请列举生活中其它能够完全重合的两个平面图形的例子.
3.每组图中两个图形的形状和大小分别有怎样的关系?
4.根据全等形的概念,尝试做出一对全等的三角形并说出全等三角形的概念.
-1-
【归纳生成】
用自己的话描述全等形的概念及特征.
【学习评测】
下面这组图形中哪些图形是全等形?
于习活动2〉一探究全等三角形的性质
我们在研究图形时主要研究图形的边和角,如果
两个三南形全等,它们的边和角有怎样的关系呢?结
合下面的问题进行思考.
【问题探究】
1.将手中的两个三角形进行叠合,说出两个三角形中的对应点、对应边、对应角.
2.由全等三角形的定义,全等三角形的对应边与对应角之间有怎样的特殊关系,并将
上述性质用符号语言表示.
3.将手中两个全等的三角形摆放成如图的两种形式,分别找出对应边和对应角.
①
-2-
【归纳生成】
1.在书写两个三角形全等时应当注意什么?
2.总结识别全等三角形中的对应边和对应角的方法.
【学习评测】
1.如图,△ABC咨Z\DEF,AB=DE,则/A的对应角是,BC的对应边是
2.如图,已知AABC丝ACDA,ZBAC=85°,ZABC=30°,那么NDCA=,
NCDA=____________,NBCA=_____________,NDAO_
ADA_________________________
/、/
c
BECF
第题图
第i题图2
3.下图是数学兴趣小组的同学拼接的一个图案,其中aABC丝aDEF,写出这两个三
保瓶中相笺的3力和柏笙的像
E
D
[变形思考]上图图案中有哪些相等的线段和相等的角?说明理由.
-3-
学习活动3〉
——分析全等三角形模型中的对应关系
让两个全等三角形重合,再试着通过平移、旋转、
翻折等,拼得一个新的图形.试分析模型中两个全等三
角形的对应关系.
【实践探究】
1.尝试把拼得的图形画下来,组内展示交流,梳理全等三角形的模型.
2.分析组内其他同学所画图形是如何变换得到的,并指出对应边与对•应角.
【思维拓展】
如图,已知△ABC之Z\DEB,点E在AB上,AC与BD交于点F,AB=6,BC=3,NC=55°,
ND=25°.
(1)求AE的长;
(2)求NAED的度数.
-4-
【形成性评价1】
评价要点水平标准星级评价自我评价
要点1:全能结合实例说出全等形的概念☆
等形的概念能够准确识别全等形☆☆
与特征能够总结全等形的特征☆☆☆
要点2:应结合纸片得出全等三角形的的对应关系☆
用全等三角能够根据性质进行边与角的转化☆☆
形的性质进能在具体图形中识别全等三角形的对应边与对
7^
行边角转化应角,解决边角问题
评价问题:
1.下列说法中,正确的是()
A.全等图形的面积相等B.形状相同的两个图形是全等形
C.面积相等的两个图形是全等形D.周长相等的两个图
形是全等形
2.如图,AABC和△£>£1尸全等,且NA=N£),AC对应3E.
若AC=6,BC=5,AB=4,则。尸的长为()
A.4B.5C.6D.无法确定
3.如图,A4BE四△OCE,点E在线段AD上,点/在CO延长线上,ZF=ZA,求
证:AD//BF.
-5-
探究建构
全等三角形
【学习目标】
1.通过画图、叠合、实验、观察等数学活动,猜想判断三角形全等所需的条件;
2.通过操作验证,探索三角形全等的判定方法,说出它们的联系及判定两个三角形全
等的思路;
3.选择合适的判定方法解决三角形边角问题,说出如何用三角形全等求角相等、线段
相等.
【学习任务】
探索三角形全等的判定方法
______/一—猜想判定二角形全等所需的条件
用硬纸板任意剪一个三角形,用它做模板,在下面画出两个不重合的三角形,使
它们分别满足(1)有一条公共边;(2)有一个公共顶点;(3)有一个公共角.它们
都全等吗?
1.通过探究,两个三角形有一对元素(一对边或一对角)相等,能保证它们全等吗?
如果能,请说明理由;如果不能,请举出反例.
2.只根据两个三角形有两对元素(①两对边②两对角③一对边加一对角)分别相等,
能保证它们全等吗?如果能,请说明理由;如果不能,请举出反例.
[猜想]最少儿对•元素相等,就可以判断两个三角形全等?
学习活动5〉
——探索三角形全等的判定方法
AB=A2,BC=B'C;CA=CA!
ZA=NA,/B=/B',ZC=ZCf
BCB'1
-6-
根据我们对全等三角形定义的理解,满足这六对元素就可以保证
AABC=>对两个三角形来说六个元素(三条边'三个角)中,至少需要有三
个元素分别相等,这两个三角形才全等.
利用拼接条动手实验,或用刻度尺和量角器画三角形(在三角形上标注和字母和数
据),分析自己画的图形,或把你的三角形与其他同学画的三角形进行比较,将你画
的三角形剪下,放到其他同学画的三角形上,看看是否完全重合,并记录你的发现.
实验一:已知三条边
如果从边的角度,满足三条边分别相等就能说明这两个三角形全等呢?用拼接条拼接
说明.
实验二:已知三个角
如果从角的角度,满足三个角分别相等就能说明这两个三角形全等呢?画图说明.
实验三:已知边和角
如果从边和角的角度,要使得两个三角形全等,需要满足哪几个条件呢?
1.在两个三角形的一边一角分别相等的基础上,若再添加一个条件:另一边也分别相
等(举例AB=A'B'=12cm,BC^B'C'=8cm,等角为70°),可以画出几种情况?
怎样画才能确保这两个三角形全等呢?通过实验分别进行研究,并分别画图说明.
-7-
2.在两个三角形的一边一角分别相等的基础上,若再添加一个条件:另一角也分别
相等(举例,NA=NA=50°,N5=N6'=80°,相等的边为10cm),可以画出几种
情况?怎样画才能确保这两个三角形全等呢?通过实验分别进行研究,并分别画图说
明.
【归纳生成】
1.实验操作结论梳理:三角形全等的判定方法
研究的角度角边两边一角两角一边
对应相等的角角角边边边两边及其两边及其中两角及两角及其中
元素夹角一边的对角其夹边一角的对边
三角形是否
全等
若全等,写
出判定方法
的简写,若
不全等,画
图说明
2.仿照下面的书写格式,结合图形,分别用符号语言表示出其它判定方法:
在aABC和AA'B'C'中,
{AB=A'B'
<AC=
BC=
仝2(SSS)
-8-
[拓展思考]通过以上问题的研究,小亮认为可以把AAS与ASA概括成“满足两角及一
边分别相等的两个三角形全等”.你同意他的意见吗?如果不同意,请举例说明.
学习活动6〉
——选择合适的判定方法解决边角问题
1.如图所示为参加《趣味数学》校本课程的同学做的风筝骨架,已知AB=AC,AD=AE,
△ABEgAACD全等吗?说明你的理由.
2.已知多边形ADBC是校本教室柜子上的装饰图案,它是由两个全等的三角形组合而
成的.小茗同学不小心将4ABC损坏了,同学们奋力修补之后如图所示,经测量发现
/1=/2,N3=/4,同学们的修补的图案符合要求吗?为什么?
3.如图是一个简易版风筝骨架,已知AD=AE,ZB=ZC.请判断风筝骨架是否合格(若
BE和CD相等,则此风筝质量合格),并说明理由.
-9-
4.如图在这个风筝制作过程中,已知AB=CB,AD=CD,若NA=NC则风筝合格.请判断
是否合格,并说明理由.
5.如图,AC.与BD交于点0,AD=CB,E、F是BD上两点,且ND=NB,DF=BE.
请证明下列结论:⑴AE=CF;⑵AE〃CF.
【归纳生成】
尝试总结如何用三角形全等的求角相等、线段相等.
【学习评测】
1.如图,AB=DB,Zl=Z2,欲证△ABEgZ\DBC,则需补充的条件是什么?请说明理
由.
-10-
【形成性评价2】
评价要点水平标准星级评价自我评价
能够利用拼接条及作图猜想判定三角形全等
要点1:探究☆
所需的条件
三角形全等的
能够通过实验得到三角形全等的判定方法☆☆
判定条件
会用符号语言描述四种判定,总结它们的联系☆☆☆
要点2:应用分析所给条件,找出全等三角形模型☆
三角形全等的能选择合适的判定方法判定两个三角形全等☆☆
性质与判定解能灵活运用三角形全等的性质与判定解决边
☆☆☆
决边角问题角问题
评价问题:
1.如图,在AABC与ADEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使
AABC^ADEF,不能添加的一组条件是()/D
A.NB=NE,BC=EFB.BC=EF,AC=DF/\
C.ZA=ND,NB=NED.ZA=ND,BC=EF/\/\
BCEf
2.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,NAQB是一个任意角,在边
OA,08上分别取OAf=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N
重合.过角尺顶点P的射线OP即为NAOB的平分线.为什么?
-11-
应用迁移
全等三角形
【学习目标】
1.研读文本,用尺规作符合条件的角,说出作图与全等三角形的关系;
2.借助尺规作图,设计符合条件的三角形风筝骨架,说出理论依据;
3.设计距离测量方案,结合全等三角形在生活中的应用,总结其应用价值.
【学习任务】
设计符合条件的三角形风筝骨架
学习活动7、--用尺规完成基本作图
尺规作图是起源于古希腊的数学课题,是指用没有刻度的直尺和圆规作图.
最基本、最常用的尺规作图通常称“基本作图”,一些复杂的尺规作图都是由基
本作图组成的.利用尺规作图可以解决许多几何作图问题,动手试一试吧!
问题1:用尺规作一条线段等于已知线段.
请用尺规作出线段AB=a.对比用刻度尺画出的线段,你认为哪一种方式绘制的图形是
精确的?
a
问题2:用尺规作一个角等于已知角.
(1)如图,已知:ZAOB
求作:ZAOB,使
(保留作图痕迹,并写出作法)
(2)上述作图的依据是什么?
-12-
【实践生成】
总结尺规作图中直尺和圆规的特点及作用.尺规作图过程中需要注意什么?
【学习评测】
1.下列关于尺规作图的说法正确的是()
A.作已知线段的等线段只需要尺子就可以B.尺规作图时,直尺不能量取
C.作己知角的等角可以用量角器量角D.作已知角的等角需要用直尺量取
角的边长
2.如图,已知Na,Z/?,求做一个角NAQB,使它等
于Na+N£.(保留作图痕迹)
/——用尺规作三角形,复原风筝骨架
三南形中有六个元素,我们通过探究得到了全等三角形的判定方法,思考需
要知道其中的哪几个元素就可作出三角形呢?根据下列条件作三角形完成下面的
作图.
问题1:已知两边及其夹角作三角形.
若要使风筝骨架AABC满足BC=a,AC=b,ZC=Za,
请用尺规作出符合条件的图形,帮助小丽同学完成任a
务.(保留作图痕迹,并写出作法)------------------
b
-13-
问题2:如图A48C为三角形风筝骨架,请参考问题1用尺
规作出与它一样的三角形,结合三角形的四种判定方法至少
设计出两种方案,保留作图痕迹,并与同伴交流.
方案一:方案二:
已知:已知:
作图:作图:
【实践生成】
通过尺规作出的三角形形状、大小是确定的吗?说出尺规作三角形与全等三角形判定
之间的关系.
【学习评测】已知两角及其中一角的对边作三角形.
小明同学的三角形风筝骨架不小心损坏了,只保留了如下数据,其中两角分别为
Na,N万,且Na的对边长为a,请帮助小明用尺规设计风筝骨架.
-14-
学习活动弓〉——探究全等三角形在生活中的应用
问题1:如图,有一座假山,现在需要测量山脚下有A、B两点的宽度,由于条件限
制无法直接测量,请你用所学过的数学知识按照以下要求设计一测量方案.
(1)设计测量方案,并画出图形,标注字母;
AB
(2)证明方案的正确性.
问题2:如图是用两根拉线固定电线杆的示意图,其中,两根拉线的长AB=AC,BD和
DC的长相等吗?为什么?
【归纳生成】
举例说明全等三角形、三角形的稳定性在生活中的应用.
-15-
【形成性评价3】
评价要点评价标准评价层级自我评价
要点1:借助会作符合条件的线段和角☆
尺规作图作三根据条件能够准确作出三角形☆☆
角形会作三角形并解释作图依据☆☆☆
要点2:全等三会用全等三角形的性质和判定解决问题☆
角形在生活中设计出复原风筝的方案并解释原理☆☆
的应用结合实例总结全等三角形的应用价值☆☆☆
评价问题:
1.如图,用直尺和圆规作一个角等于已知角,作图依据是()
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
2.如图,海岛上有A,B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观测点A的正
北方,海岛D在观测点B的正北方,从观测点A看海岛C、D的视角ZCAD与从观测点
B看海岛C、D的视角NCBD相等,那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等
吗?为什么?
3.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何
图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(D请找出图2中的全等三角形,并给予证明;
(2)证明:DC±BE.
-16-
重构拓展
全等三角形
【学习目标】
1.研读文本,以全等三角形的概念、性质和判定为主线,梳理内在联系,说出全等三
角形中蕴含的思想方法;
2.人人参与过关,自主纠错、反思错因,总结用三角形全等解决边角问题的思路;
3.围绕全等三角形性质、判定进行二次过关,灵活应用全等三角形模型、转化思想解
决综合问题.
【学习任务】
应用全等三角形解决综合问题
【单元重构】
本单元我们研究了全等三角形概念、性质和判定,结合所学内容,完成下面的任务(二
选一即可):
任务1:再次阅读《全等三角形》的课本内容及271BAY相关资源,梳理本单元的核
心知识和它们逻辑体系,用你喜欢的方式呈现出思维导图.A
任务2:分析下面的图形,完成思考问题
①如果aABC^4DEF,请写出你能得出的所有结论;Z―X,
BC
②请你设计尽可能多的方案来证明右图中的两个三角形是全等的
说明需要添加的条件及用到的方法;
③反思本单元的学习过程,总结在知识、能力、思想、方法等方面的收获.
17
【单元拓展】
1.如图,在正方形网格中,Zl+Z2+Z3=
2.如图,AB=8cm,AC±AB,BD1AB,AC=BD=6cm,点P在线段AB上以2cm/s
的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动它们运动的
时间为ts.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=l时,判断线段PC与PQ满足的
关系,并说明理由;
(2)如图,将AC±AB,BD±AB改为NCAB=NDBA=a°,其他条件不变.设点Q的
运动速度为xcm/s,是否存在x,使得4ACP与ABPQ全等?若存在,求出相应的X、
t的值;若不存在,请说明理由.
-18-
【单元过关】
基础过关)
1.下列图形中,是一对全等图形的是()
A.两个正方形B.两个等腰三角形
C.两个等边三角形D.两个边长为1的等边三角形
2.如图,点B、E、A、D在同一条直线上,/XABC丝4DEF,AB=7,AE=2,则AD的
长是()
A.4B.5C.6D.7
3.如图,若AB=AC,则添加下列一个条件后,仍无法判定aABE丝4ACD的是()
A.ZB=ZCB.AE=ADC.BE=CDD.ZAEB=ADC
4.如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQOgZ\NMO,
则只需测出其长度的线段是.
5.如图,在aABC中,AB=CB,ZABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,
且BE=BD,连接AB,DE,DC.
(1)求证:AABE^ACBD;
(2)若NCAE=30°,求NBDC的度数.
-19-
6.在AABC中,ZACB=90°AC=BC,直线MN经过点C,且ADJ_MN于D,BE_LMN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证:①△ADC丝aCEB.②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证:DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,请写出DE,AD,BE之间的等量关系.
【形成性评价4】
水平划分水平标准自我评价
-20-
水平一从全等三角形概念、性质和判定等方面梳理核心内容
及内在联系
水平二归纳总结利用三角形全等解决边角问题的一般思路
水平三灵活选择三角形全等的性质和判定解决综合问题与
实际问题
-21-
单元过关:全等三角形
(时间:90分钟,满分:100分)
一、单选题(每题3分,共24分)
1.下列说法正确的是()
A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等
2.如图,△AOC岭△BOD,点A与点8是对应点,那么下列结论中错误的是()
A.ZA=ZBB.AO=BOC.AB^CDD.AC=BD
3.如图,已知AB=4C,BD=CD,则可推出()
A.AABD冬ABCDB.△ABO丝△AC。
第2题图第3题图第6题图第8题图
4.在△ABC和△A5C',AB=A'B',NA=/4,若证△ABC丝△A®C还要从下列
条件中补选一个,错误的选法是()
A.NB=NB'B.ZC=ZC
C.BC=B'CD.AC=A'C
5.使两个直角三角形全等的条件是()
A.斜边相等B.两直角边对应相等
C.一锐角对应相等D.两锐角对应相等
6.如图,点4、D、C、E在同一条直线上,AB//EF,AB=EF,NB=NF,AE=12,
AC=8,则CD的长为()
A.5.5B.4C.4.5D.3
7.用两个全等的直角三角形,拼下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④正
方形;⑤等腰三角形;⑥等边三角形,其中不一定能拼成的图形是()
A.①@③B.②③C.③④@D.③④⑥
8.如图,平行四边形48⑦中,46;龙相交于点0,
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