2023年各地高考数学真题分类汇总（共9个）

2023年高考真题分类汇编

1集合与常用逻辑用语.........................................................1

2函数的基本概念与基本初等函数1..............................................2

3导数及其应用...............................................................6

4立体几何...................................................................9

5平面解析几何..............................................................17

6三角函数及解三角形........................................................24

7数列......................................................................29

8计数原理、概率及统计......................................................33

9平面向量、不等式及复数....................................................39

1集合与常用逻辑用语

1.(2023•上海)已知P={1,2},。={2,3},若“={乂|》€2，xgQ},则M=()

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3)

【解析】P={1，2},Q={2,3},M^{x\xeP,xe。},

故选：A.

2.(2023•新高考H)设集合A={0,-a},B={\,a-2,2a-2),若贝Ua=()

2

A.2B.1C.-D.-1

3

【解析】依题意，。-2=0或为-2=0,

当。-2=0时，，解得。=2,

此时A={0,-2},3={1,0,2},不符合题意；

当2«-2=0时，解得a=l,

此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意.

故选：B.

3.(2023•新高考I)已知集合"={-2,-1,0,1,2},N={x|Y-X-6..0},则=(

)

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【解析】x2-X-6..0,/.(x-3)(x+2)..O,.■.*.3或%,-2,

N=(TO,-2][J[3,+oo),则N={-2}.

故选：C.

2函数的基本概念与基本初等函数I

1.(2023•上海)已知函数，(x)=[了则函数/⑶的值域为______.

[2,x>0

【解析】当用,0时，/(x)=1.

当x>0时,/(x)=2x>l,

所以函数/(X)的值域为口，+00).

故答案为：口，+O0).

2.(2023•新高考I)设函数/(x)=2*<在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是(

A.(-co,-2]B.[-2,0)C.(0,2JD.[2,+oo)

【解析】设，=x(x-a)=f-以，对称轴为》=色，抛物线开口向上，

2

)，=2'是》的增函数，

.••要使/(x)在区间(0,1)单调递减，

则f=f-5在区间(0,1)单调递减，

即2.1,即a.2,

2

故实数。的取值范围是[2,+oo).

故选：D.

3.(2023•新高考H)若f(x)=(x+a)/〃|^为偶函数，则4=()

A.-1B.0C.-D.1

2

【解析】由竺匚>0,得X—或x<」，

2x+l22

由/(x)是偶函数，

/(-x)=/(x),

得(-x+a)ln~2x~1=(x+a)ln^^-

—2x+12x+1

日n/\i2x+1.2x—1].2x—1.2x—1

即(-x+a)ln---=(-x+a)ln(---)=(x-a)ln----=(x+a)ln----

2x—\2x+l2x+12x+l

x—a=x+a,得—a=〃，

得。=0.

故选：B.

4.(2023•上海)已知a,cwR,函数f(x)=以乌土曳上.

x+a

(1)若4=0,求函数的定义域，并判断是否存在C使得f(x)是奇函数，说明理由；

(2)若函数过点(1,3),且函数/(幻与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和。的取值

范围.

【解析】(I)若4=0,则f(x)=Y+x+c=x+£+l,

XX

要使函数有意义，则XW0,即/(尤)的定义域为“|xw0},

y=x+9是奇函数，y=l是偶函数,

X

函数/(x)=x+£+l为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数C,使得f(x)是奇函

X

数.

(2)若函数过点(1,3),则/(1)J+3"+1+C=3"+2+C=3,得3a+2+0=3+%，得

\+a1+a

c=3—2=l,

此时y(x)=x2+(3"+l)x+l,若数f(x)与x轴负半轴有两个不同交点，

x+a

即/")=『+加+1)也1=0,得/+(34+1口+1=0,当x<0时，有两个不同的交点,

x+a

设g(x)=f+(3a+l)x+1,

£=(3a+l)2-4>0

xx=1>0或a<-1

{23a+1〉2或3〃+1<—2,白3,即a>L

则x+x=-(3a+1)<0»得八，得〈

}23a+l>013

3。+1八a>——

------<03

2

若x+a=0即x=-a是方程X?+(3〃+l)x+l=0的根,

则。2-(3a+l)〃+l=0,g|J2a2+a-\=0,得a='或a=-l,

2

则实数a的取值范围是R.a^-1,

32

即d，-)u(-,+oo).

322

5.【多选】(2023•新高考I)已知函数f(x)的定义域为A,/(孙)=y2/(x)+x»(y)，则(

)

A./(0)=0B.f(1)=0

C./(x)是偶函数D.x=0为/(x)的极小值点

【解析】由f(xy)=y-f{x)+x2f(y),

取x=y=O,可得/(0)=0,故A1E确；

取*=>=1,可得/(1)=2f(1),即/(1)=0,故B正确;

取x=y=_l,得/(1)=2/(-1),BP/(-1)=1/(1)=0，

取y=-l,得f(_x)=/(x),可得f(x)是偶函数，故C正确；

由上可知，/(-I)=/(0)=f(1)=0，而函数解析式不确定，

不妨取f(x)=0,满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

常数函数〃x)=0无极值，故。错误.

故选：ABC.

6.【多选】(2023•新高考I)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定

义声压级4=20x/g旦，其中常数为(外>0)是听觉下限阈值，"是实际声压.下表为不同声

源的声压级:

声源与声源的距离声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10机处测得实际声压分别为化，p2,p3,则

()

A.B.p2>10p3C.p3=100p0D.pp,100p2

9

【解析】由题意得，6喷切/g旦90,1000〃我归1律〃0，

%

5

5喷如心旦60，105Po效h1000/20,

Po

20松庄=40,p3=lOOpo,

Po

可得P[..P2,A正确；

〃2，,10〃3=1频〃。，6错误；

P3=lOO/?o，C正确；

95

〃港1105Po=100x1()3“0i00p2,ppJOOpz，D正确.

故选：ACD.

7.（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数"S=4,其中K为建

筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），匕为建筑物的体积（单位：立方米）.

（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R,高度为H,暴露在空气中的部分为上底面和侧面，

试求该建筑体的“体形系数”5：（结果用含R、4的代数式表示）

2

（2）定义建筑物的“形状因子”为/=土T，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长,

A

又定义7为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）.设〃为

某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S、叵+’.当

VT3〃

/=18,7=10000时，试求当该宿舍楼的层数”为多少时，“体形系数”S最小.

【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：

2

4=27TRH+兀R?­匕=JTRH,

所以5=娱=兀RQH+R)2H+R

TVR2HHR

J18”13后1

(2)由题意可得S=4------=------------F----

V100003n1003/z

3

所以S，=*---L=9及2。。

200xM3/600/J2

200002»

令6=0,解得"=引-----«6.27,

81

所以S在口，6.27］单调递减，在［6.27,+8）单调递增,

所以S的最小值在〃=6或7取得,

、匕,c3,2x61

1/2=6nH'4j,S=---------4-----x0.31>

1003x6

当〃=7时，s=3^^+J_-o16,

1003x7

所以在〃=6时，该建筑体S最小.

3导数及其应用

1.(2023•新高考U)已知函数/(x)=ae'-/nx在区间(1,2)上单调递增，贝伊的最小值为()

A.e1B.eC.e'1D.二

【解析】对函数f(x)求导可得，f\x)=aex

X

依题意，四'-L.0在(1,2)上恒成立，

X

即a.在(1,2)上恒成立，

xex

设g(x)$”a，2)，则&叱芝善ex(x+l)

(xe'Y

易知当xe(l,2)时，g'(x)<0,

则函数g(x)在(1,2)上单调递减,

则a..g(x),3=g(l)=1=eT.

e

故选：C.

2.(2023•新高考I)已知函数f(x)=a(e'+a)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(x)>2lna+—.

［解析1(1)/(x)=a(e'+。)一x,

则/'(%)=ciex-1,

①当4,0时，/''(x)<0恒成立，/(X)在R匕单调递减，

②当a>0时，令7")=0得，x=ln~.

a

当xe(-oo,/"3时，f"(x)<0,/(x)单调递减；当+oo)时，尸(幻>0,/(x)单调递

aa

增，

综上所述，当4,0时，f(x)在R上单调递减：当a>0时，f(x)在(-00,//)匕单调递减，在(//,

aa

+8)上单调递增.

证明：(2)由(1)可知，当a>0时，=f(ln-)=a(—4-tz)-Zn—=14-tz24-Ina,

aaa

要证/(工)>2/〃〃+万，只需证l+片+lna>2/lna+^,

只需iiE/—/〃〃—_!>(),

2

设g(a)=/一/力。>0,

则g'(a)=2a--=——-,

aa

令短(a)=0得，a=,

当〃£(0，¥)时，gr(a)vO,g(a)单调递减，当~HX>)时，g'(a)>0,g(a)

单调递增，

所以g(a)..g(^-)=--ln^---=-ln^->0,

22222

即g(a)>0,

所以/-/〃a->0得证，

2

即/(%)>2/7247+/得证.

3.【多选】(2023•新高考H)若函数f(x)=4阮1+且+。3/0)既有极大值也有极小值，贝lj(

Xx~

)

A.hc>0B.ah>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【解析】函数定义域为(0,+oo),

且加)=子2cax2-bx-2c

由题意，方程=0即av?一加；-2c=0有两个正根，设为内，x2,

则有Xj+%2=—>0，—>0△=Z?24-Sac>0,

a

/.ab>0facv0,

abac=a2bc<0,EP<0.

故选：BCD.

4.(2023•新高考II)(1)证明：当Ovxvl时，x-x2<sinx<x；

(2)已知函数/(x)=cosax-/〃(1-％2),若％=0为/(x)的极大值点，求。的取值范围.

【解析】(1)证明：设8(尤)二%一工2一sinx,XG(0,1),

则g'(x)=1-2x-cosx,/.g〃(x)=-2+sinXv0,

...g<x)在(0,1)上单调递减,

.-.gV)<g,(o)=o,

，g(x)在(0,1)上单调递减，

.,.g(x)<g(0)=0,

BPx-x2-sinx<0,xe(0,1).

x-x2<sinx.xe(0,1),

设〃(x)=x-sinx,xe(0,l),

则〃(x)=l-cosx>0,

/i(x)在(0,1)上单调递增，

h(x)>h(O)=0,xe(0,l),

即x-sinx>0，(0,1)»

/.sinx<x,xe(0,1),

综合可得：当0cx<1时，x-x2<sinx<x；

2+2x2

解：2

(2)f'{x}=-asinar+~~yf"(x)--acosar+(T77

且/'(0)=0，r(0)=-a2+2,

①若"(x)=2-a2>0,即_0<a<0时，

易知存在4>0,使得xe(0，G时，f'\x)>0,

：.f\x)在(0，G上单调递增,>尸(0)=0,

.•・/(x)在(0，G上单调递增，这显然与x=0为函数的极大值点相矛盾，故舍去；

②若/“)=2-片<0,即或时，

存在弓>0，使得xe(-f2，幻时，f'M<0,

.•/(X)在(-大幻上单调递减，又/'(。)=0,

.•.当一々<*<0时，r(x)>0,f(x)单调递增；

当Ovxvf2时，f'M<0,/(x)单调递减，满足x=0为f(x)的极大值点，符合题意;

③若广(x)=2—a?：。，即q=±&时，f(x)为偶函数，

只考虑。=夜的情况，

止匕时广(x)=-x/2sin(夜x)+2”,,xe(0,1)时，(

1-x2

2x1

r(x)>-2x+-~=2x(-~--l)>0,

l-x7l-x

.•./(X)在(0,1)上单调递增，与显然与x=0为函数的极大值点相矛盾，故舍去.

综合可得：。的取值范围为(-8,-近)L)电,+00).

4立体几何

1.【多选】（2023•新高考I）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：加）的正方体容

器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99〃?的球体

B.所有棱长均为14〃的四面体

C.底面直径为0.01〃?，高为1.8%的圆柱体

D.底面直径为1.2加，高为0.01”?的圆柱体

【解析】对于A,棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99,选项A正确；

对于8，如图，

正方体内部最大的正四面体ABG的棱长为=夜＞L4,选项B正确：

对于C，棱长为1的正方体的体对角线为1.8,选项C错误；

对于£＞，如图，六边形EFGHU为正六边形,E,F,G.H,I.J为棱的中点,

六边形EFGHIJ棱长为立米，NGFH=NGHF=30°,

2

所以FH=6FG=6G〃=亚米，故六边形EFGHIJ内切圆半径为四米，

22

而（*）2=3＞（1.2尸=1.44,选项。正确.

故选：ABD.

2.【多选】（2022•新高考II）如图，四边形AfiCD为正方形，EDJ•平面ABCD,FB//ED,

AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,尸一ACE的体积分别为匕，匕，匕，则（

）

A.匕=2匕B.匕=匕C.匕=匕+匕D.2K=3匕

【解析】设AB=ED=2FB=2,

14

^=-XSMCDX|£D|=--

12

匕8cxi阳="

如图所示，

连接3。交AC于点用，连接EM、FM.

则FM=百，EM=底,EF=3,

故■S宓MF=?员卡=理,

匕=；SAEMFxAC=gx^^x2a=2,

故C、。正确，A、3错误.

故选：CD.

3.（2023•新高考H）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边

长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为一.

【解析】如图所示，根据题意易知asq^SA1so4,

...阻=空=£」，又sq=3,

SOOA2x/221

;.SO=6，.•.oq=3,又上下底面正方形边长分别为2,4,

所得棱台的体积为1x（4+16+757记）x3=28.

3

4.（2023•新高考I）在正四棱台ABCO-AqCQ中，AB=2,AtBt=1,AAt=y[2,则该棱

台的体积为—.

【解析】如图，设正四棱台ABCZ）-A4Ciq的上下底面中心分别为M，N,

过A作A”，AC,垂足点为“，由题意易知AM="N=L,又4V=血，

:.AH=AN-HN=^,又A4,=夜，:.%H=MN=当,

该四棱台的体积为』x（l+4+g）x逅=△色.

326

故答案为：啰.

6

5.（2023•上海）如图所示，在正方体A8CD-A4GA中，点P为边AG上的动点，则下列

直线中，始终与直线成异面的是（）

C.AD,D.BC

【解析】对于A,当尸是AG的中点时，8尸与是相交直线；

对于3,根据异面直线的定义知，与AC是异面直线；

对于C,当点P与G重合时，BP与AD,是平行直线；

对于£>，当点P与重合时，8P与与C是相交直线.

故选：B.

6.【多选】（2023•新高考H）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,43为底面直径,

ZAPB=120°,R4=2,点C在底面圆周上，且二面角P—AC-O为45。，贝心）

A.该圆锥的体积为乃B.该圆锥的侧面积为4G万

C.AC=2-j2D.AE4c的面积为⑺

【解析】取AC中点O,则。£>_LAC,PDA.AC,

由二面角的定义可知，二面角2一47-0的平面角即为/加0=45。,

对于A,中，由于A4=P8=2,ZAPB=120°.

则PO=1,AO=6

则8=1,V=1.3^1=^,选项A正确.

3

对于8,S^=兀x#x2=2p",选项B错误.

对TC,AC=2>/^=272,选项C正确.

对于£>,PD=yf2,S^AC=^x42x2y[2=2,选项。错误.

故选：AC.

7.（2023•上海）已知直四棱柱,AB±AD,AB!/CD,AB=2,AD=3,

CD=4.

(1)证明：直线AB//平面。CGQ；

(2)若该四棱柱的体积为36,求二面角A-80-A的大小.

【解析】(1)证明：根据题意可知/W〃力C，A4,//DD,,且AB1|AA=A,

可得平面AABB、”平面DCCR，又直线AQu平面A.ABB,,

直线48//平面DCC.D,：

(2)设44,=人则根据题意可得该四棱柱的体积为gx(2+4)x3x/z=36,

.'./i=4,AAJ■底面ABCD，在底面ABC。内过A作他_1_30,垂足点为E,

则AE在底面ABCD内的射影为AE,

根据三垂线定理可得BgAE,

故"E4即为所求，

在RtAABD中，AB=2,AD=3,=74+9=713,

eABxAD2x36

AE=-----=—.—=~,又AA=/z=4,

BD岳岳

•*/E_AA_4_2后

..tanEA.==———=----

AE63

713

.,・二面角A-BD-A的大小为arctana(3.

AB

8.(2023•新高考H)如图，三棱锥A-3co中，DA=DB=DC,BDA.CD,

ZADB=ZADC=60P,E为BC中点.

(1)证明3C_LZM;

(2)点/满足EF=ZM,求二面角。的正弦值.

【解析】证明：(1)连接他，DE，

DB=DC,E为3c中点.

:.DEYBC,

又♦.DA=DB=DC.ZADfi=ZAZ)C=60°.

・•・AACD与A4BD均为等边三角形，

AC=AB,

.\AE.LBC,AE(}DE=E,

.•.3C_L平面4)£,

■AOu平面4DE,

:.BCA.DA.

(2)解：设Q4=，>8=DC=2,

BC=242,

DE=AE=-^2>AD—2,

:.AE2+DE2=4=Alf,

:.AE±DE,

又•.AE_L3C,DE\BC=E,

：.AEL^\BCD.

以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

。(夜,0,0),4(0,0,72),B(0,&,0),E(0,0,0),

EF=DA,

：.F(-V2,0,5/2),

...DA=(-应,0,0),4B=(0,&,-&),/IF=(-72,0,0),

设平面DAB与平面AB/的一个法向量分别为4=(再,M，z。，n2=(x2,y2,z2),

则广卢+步=0—,解得y=「l,

J2y-J2Z]=0

[*-优=0,令%=],解得七=0,z2=\,

[~y/2x2=0

故〃i=(l,191),n2=(0,1f1),

设:面角。一AB—尸的平面角为e,

则|cos昨旧"」=/=如，

I勺11%IV3xV23

故sin6=—,

3

所以二面角。-AB-尸的正弦值为更.

3

9.(2023•新高考I)如图，在正四棱柱ABCO-ASCQ中，A5=2,A4,=4.点4,B2,

C2,2分别在棱相，BB,,CC,,。。上，伙=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2//A,D2；

(2)点P在棱BBi上,当二面角P-4c2-2为150。时，求约P.

【解析】(1)证明：根据题意建系如图，则有：

B2(0,2,2),C2(0,0,3),4(2,2,1),D2(2,0,2),

/.82c2=(0,-2,1),=(°，—2,1)，

B2C2=A2D2,又与，C2,4，4四点不共线，

/.82c2/42:

(2)在(1)的坐标系下，可设尸(0,2,r),re[0,4],

又由(1)知G(。，0,3),4(2,2,1),2(2,0,2),

,G4=Q,2,-2),GP=(°，2J-3),4D2=(0,-2,1),

设平面PA2c2的法向量为m=(x,y,z),

.m-CA=2x+2v-2z=0』

则《292J,取机二。一1,3-匕2),

mC2P=2y+Q-3)z=0

设平面A2cD的法向量为n=(a,b,c),

则《n，取〃=(1』,2),

n•A,。,=—2b+c=0

.•・根据题意可得Icos150°Hcos<m,n>|="""|,

1mli“I

x/36

—=/=——，

22+(3_02+4乂几

2

.­.Z-4/+3=0,又Zw[0,4J,

/.解得，=1或£=3,

.•.p为用巴的中点或为8的中点，

:,B2P=1.

5平面解析几何

1.（2023•上海）已知圆f+V-4工一加=0的面积为乃，则加=.

【解析】圆V+y2—4x—"?=0化为标准方程为：（x—2）2+V=4+〃?,

圆的面积为万，，圆的半径为1,

.•.4+"i=1,

m=—3.

故答案为：-3.

2.（2023•新高考H）已知直线x—my+l=0与.C:Q—l）2+y2=4交于A,B两点,写出满

足“AABC面积为g”的根的一个值

5

【解析】由圆C:（x-1）2+y2=4,可得圆心坐标为C（l,0）,半径为尸=2,

Q1Q

因为AABC的面积为2,可得鼠^二―x2x2xsinNAC8=2,

5448c25

414

解得sinNACB=—,设—ZAC3=8所以.•.2sin6cose=—,

525

z2sin^cos^42tan。4八1।八c

可r得0一；.....-=-,「.一；----=一，.,.tang=—或tan〃=2,

sin~。+cos~。5tan^0+\52

21

cos6=_FT或cos，=—,

加N/5

42

圆心眼到直线x-冲+1=0的距离d飞或

24T22

，二—.—ny,—.=,

Jl+/y[5+m26

解得加=±1或m=±2.

2

故答案为：2（或—2或;或-g）.

3.（2023•新高考I）过点（0,-2）与圆/+V-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则

sincr=（）

A.1B.妪C.®D.四

444

【解析】圆丁十/一4%一1=0可化为（%—2）2+y2=5,则圆心c（2,o）,半径为r=行；

e2=Gq，则。=()

A.—B.V2C.V3D.y/6

3

【解析】由椭圆。2：5~+y2=1可得。2=2，b2=1fc2=V4-1=A/3,

椭圆G的离心率为02=当，

e2=\[3et,et=—>,

2q2

「.Q；=4c；=4(Q；-b；)=4(。；—1),

竿或"一竿（舍去"

故选：A.

5.（2023•新高考II）已知椭圆C:]+y2=i的左焦点和右焦点分别为耳和巴，直线丁=%+〃?

与C交于点A,B两点、,若面积是△乙AB面积的两倍，则徵=（)

A.2B也_2

------D.

333~3

【解析】记直线y=x+m与冗轴交于M（­/n,0）,

椭圆C:]+V=i的左，右焦点分别为耳（-及，0）,外（垃，0）,

由△F}AB面积是△F2AB的2倍，可得1KMi=21玛”|,

5

.•.|一&一与|=2|应一/1，解得%="或/=3痣,

：.-m=或-m=30,m=一或机=-3近,

33

X2

2~1

联立“3可得»4X2+6mx+37n2-3=0»

y=x+m

直线y=X+/TI与C相交，所以△>(),fWWm2<4,

/.m=-3>/2不符合题意,

痂夜

故"Z=------.

3

故选：C，

22

6.（2023•新高考I）已知双曲线。:鼻-方=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，尸z.点A

7

在C上，点3在y轴上，FtALFtB,F2A=--F2B,则C的离心率为

【解析】（法一）如图,设耳（一。,0）,69,0）,3（0,〃）,

设A(x,y),则F2A=(x-c,y),F2B=(-c,n)，

2

x-c=­c

3

又死4=一263，则，2，可得A（」C,-2〃），

y=——n

V3

Q2

又6A_LEB,且耳A=（§c,_§〃）,£3=（c,m，

22

则FtA-FtB=^c-^n=O,化简得/=4cL

又点A在C上，

25c2和

则上二-匚=1,整理可得竺-竺=1,

a2b29a29b2

/i»->.->25c16c八口"cu）16e~„

代/r=4c~,—可I*Z得R---------=9,即25夕一--一一=9,

a2b2/一1

解得/=2或』（舍去），

55

故0=%.

5

（法二）由E4=_2FB,得必1=2,

3\F2B\3

设|乙A|=2f,|gB|=3f,由对称性可得|f]Z|=3f,

贝力A片|=2t+2a,\AB\=5t,

设N耳Ag=9,则sin6q=|,

所以cos8=3=2'+2a,解得f=a,

55r

所以|A耳|=2t+2a=4a,\AF^|=2a,

在耳6中，由余弦定理可得cos6=16"+4"-4'=3

1216a25

即5c2=9a2>则e=.

5

故答案为：走.

5

y

7.(2023•新高考H)已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(-2后，0),离心率为行.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A，A2,过点(T,0)的直线与C的左支交于N两点,M

在第二象限，直线K4,与N4交于P,证明P在定直线上.

【解析】(1)双曲线C中心为原点，左焦点为(-2遥，0),离心率为行，

■2=a2+b2

a=2

则'=2>/5,解得

/?=4

■2=a2+b2

->2

故双曲线C的方程为三-二=1；

416

(2)证明：过点(T,0)的直线与C的左支交于M,N两点，

则可设直线的方程为x=my-4,,必)，N0,y2),

记C的左，右顶点分别为A，4,

则A(-2,0),4(2,0),

联立「二,化简整理可得，(4疝一1»2一32,町，+48=0,

[4%--/=16

故^=(-32附2-4x48x(4m2-1)=264/n2+192>0且4/n2-1^0,

32m48

y+%=，X%=

W-l4nr-1

直线MA的方程为y=一匚(x+2),直线N&方程y=—港一(x-2),

x,+2x,-2

收x+2=%(「+2)=y式"士-2)

x-2y,(x2-2)y{(.my2-6)

_町％-2()+%)+2y

my,y2-6yt

-2.，+2,

4nr-14，/-1-

48A

m-

-16/n,、

而二I2，1

48"?/3

嘉匚if

故土吆=一！，解得％=T,

x-23

所以工尸=一1,

故点。在定直线x=-l上运动.

8.【多选】(2023•新高考H)设O为坐标原点，直线y=-G(x-l)过抛物线C：V=2px(p>0)

的焦点，且与C交于A7,N两点，/为C的准线，贝"()

Q

A.p=2B.|MN=；

C.以MV为直径的圆与/相切D.△OMN为等腰三角形

【解析】直线尸-G(x-l)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，可得勺1,所以p=2,

所以A正确；

抛物线方程为：/=以，与。交于M,N两点，

直线方程代入抛物线方程可得：3/一10%+3=0,

10

XM+XN=~^9

所以|MN卜知+4+〃=与，所以3不正确；

M,N的中点的横坐标：中点到抛物线的准线的距离为：1+*=§,

333

所以以MV为直径的圆与/相切，所以CiE确；

3x2-10x+3=0,

不妨可得x“=3,XN=；,%=-26,xN=,

|OM|=V9+12=V21,|0凶=/+£=半,\MN\=y,

所以AOMN不是等腰三角形，所以。不正确.

故选：AC.

9.(2023•上海)已知抛物线「：丁=4》，在「上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为

a(a>0).

(1)若A到抛物线「准线的距离为3,求”的值；

(2)当a=4时，若x轴上存在一点3,使AB的中点在抛物线「上，求O到直线43的距离；

(3)直线/:x=-3,抛物线上有一异于点A的动点P,P在直线/上的投影为点H,直线公

与直线/的交点为Q.若在P的位置变化过程中，|〃。|>4恒成立，求。的取值范围.

【解析】(1)抛物线r：V=4x的准线为x=T,

由于A到抛物线r准线的距离为3,

则点A的横坐标为2,则/=4x2=8(a>0),

解得a=2>/2；

A~

(2)当“=4时，点A的横坐标为土=4,则A(4,4),

4

设B(b,O),则/由的中点为(攻心⑵，

2

由题意可得22=4x3,解得。=一2,

2

所以8(-2,0),

4-02

则L

-4+23

7

由点斜式可得，直线旗的方程为y=：(x+2),即2x—3y+4=0,

所以原点O到直线AB的距离为j=—

历于13

44

故直线”的方程为y-a=/一（x-土），

t+a4

zy24/724

令x=—3,可得y=a—（幺+3）----,即。（一3,。一（幺+3）-----）,

4t+a4t+a

4

则IHQ|=|f—a+（--F3）-----1,

4t+a

依题意，|f-a+（土+3>'-|>4恒成立，

4t+a

乂f+a+(—-+3)-----2a..4J——+3—2tz>0>

4t+aV4

则最小值为4A+3-2a>4,即2,(+3>2+a,即\Ja2+12>2+a,

则/+12>。2+4〃+4,解得0<a