高中数学空间向量基本定理的初步应用

第2课时空间向量基本定理的初步应用第一章

§1.2空间向量基本定理1.会用基底表示空间向量.2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法.学习目标道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》，它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程.导语联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量.随堂演练课时对点练一、证明平行、共面问题二、夹角、垂直问题内容索引一、证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝

.3.直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.a＝λbxa＋yb知识梳理例1

如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)EG∥AC；又EG，AC无公共点，所以EG∥AC.(2)平面EFG∥平面AB′C.又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′.又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C，所以FG∥平面AB′C.又由(1)知EG∥AC，可得EG∥平面AB′C，又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面AB′C.反思感悟证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.跟踪训练1

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且求证：A，E，C1，F四点共面.二、夹角、垂直问题问题如何利用空间向量解决空间几何中的垂直问题，以及求解夹角问题？(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.注意点：区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围.例2

在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝(1)证明：EF⊥B1C；则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.所以EF⊥B1C.(2)求EF与C1G所成角的余弦值.延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M，证明：MF∥B1C.又MF，B1C无公共点，所以MF∥B1C.反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法跟踪训练2

(1)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______.解析

如图所示，(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点.证明：①AB1∥GE，AB1⊥EH；则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底.∴AB1∥GE.∴AB1⊥EH②A1G⊥平面EFD.∴A1G⊥DF.∴A1G⊥DE.又DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面EFD，∴A1G⊥平面EFD.1.知识清单：(1)空间向量基本定理.(2)空间向量共线、共面的充要条件.(3)向量的数量积及应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.课堂小结随堂演练1.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CDA.相交

B.平行C.垂直

D.无法判断位置关系√12342.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为√12343.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是√1234根据题意可得，故其所成角的余弦值为0.4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_____.1234课时对点练1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是A.重合 B.垂直C.平行 D.无法确定√基础巩固1234567891011121314151612345678910111213141516设正方体的棱长为1，2.已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，CC1＝2，AA1与AB，AC都成60°角，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为√12345678910111213141516则a·b＝0，a·c＝2，b·c＝2，123456789101112131415163.已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°√12345678910111213141516所以异面直线l，m所成的角等于60°.√123456789101112131415165.如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝

则SC与AB所成角的大小为A.90° B.60°C.45° D.30°√12345678910111213141516因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以a·c＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，12345678910111213141516所以SC与AB所成角的大小为60°.12345678910111213141516√12345678910111213141516∵AM⊥平面BCD，MC⊂平面BCD，∴AM⊥MC，解析由共面向量基本定理和空间向量基本定理可知，M∈平面BCD，N∈直线AC，当AM，BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，∴M为△BCD的中心，N为AC的中点，123456789101112131415167.正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为_____.12345678910111213141516解析如图，画出对应的正四面体，12345678910111213141516设异面直线DM与CN所成的角为θ，8.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，则MN______AB(填“∥”或“⊥”).⊥12345678910111213141516由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.123456789101112131415161234567891011121314151610.如图，已知在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.(1)求证：CE⊥A′D；12345678910111213141516根据题意，得|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.12345678910111213141516A.－3 B.－1 C.1 D.3√12345678910111213141516综合运用1234567891011121314151612.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线EF和BC1所成的角是A.30°

B.45° C.90° D.60°√12345678910111213141516因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，设所求异面直线的夹角为θ，13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是A.平行

B.垂直C.相交但不垂直

D.无法判断12345678910111213141516√1234567891011121314151614.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为12345678910111213141516√∵四边形BCC1B1是平行四边形，∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，∴a2＝b2＝4，c2＝9，a·b＝0，a·c＝b·c＝3×2×cos60°＝3，1234567891011121314151615.在