2022-2023学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在等差数列{an}中，a1+a2＝1，a3+a4＝5，则a2022+a2023＝（）A．2022 B．2023 C．4043 D．40442．（5分）“m＝2”是“直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）一组数据如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，则该组数据的第30百分位数是（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.54．（5分）已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是2，则该点到y轴的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5．则甲通过测试的概率为（）A．0.1 B．0.25 C．0.3 D．0.356．（5分）已知点P在直线y＝x+3上，A（1，0），B（3，0），则|PA|+|PB|的最小值为（）A．10 B．5 C．42 D．27．（5分）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，MO→=3OF→，经过M的直线l与C的一个交点为N，若△A．2-1 B．2-2 C．3-18．（5分）已知数列1，1，3，1，3，9，1，3，9，27，……（也可表示为30，30，31，30，31，32，30，31，32，33，…．，30，31……3k﹣1）k∈N*若该数列的前n项和为Sn，则满足60≤Sn≤1600的整数n的个数为（）A．15 B．16 C．17 D．18二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）已知双曲线C：x2A．双曲线C的实轴长为2 B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝6 C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m（多选）10．（5分）已知{an}是正项等差数列，首项为a1，公差为d，且a1＝d，Sn为{an}的前n项和（n∈N*），则（）A．数列{Sn+1﹣Sn}是等差数列 B．数列{Sn}是等差数列C．数列{2aD．数列{lgan}是等比数列（多选）11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线x＝ty+m与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（）A．若m=p2，则B．若m＝p，则x1C．若m＝2p，则OA⊥OB D．若m＝4p，则△OAB面积最小值为8（多选）12．（5分）已知椭圆x23+y22=1，过点P（1，1）的直线与椭圆CA．若直线AB过右焦点F2，则λ=7±B．若λ＝1，则直线AB方程为2x+3y﹣5＝0 C．若λ＝2，则直线AB方程为3x+2y﹣5＝0 D．若动点Q满足AQ→=-λQB→，则点Q的轨迹方程为2x+3y三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是23，则该电路正常运行的概率为14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2x，则过点（2，﹣4）与曲线y＝f（x）相切的直线有条．15．（5分）在数列{an}中，a1＝1，an+1=an+1an（n∈N*），若t∈Z，则当|a7﹣t|16．（5分）已知曲线C1方程：x2+ky2＝1（2≤k≤3），曲线C2方程：tx2+y2＝1（3≤t≤4），曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，且它的渐近线过C1与C2的交点，则曲线C3的离心率的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f(x)=lnx-（1）求f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）求f（x）在[118．（12分）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户．根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），⋯，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？（3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分．19．（12分）已知点A（1，2），圆C：x2+y2+2mx+2y+2＝0．（1）若过点A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；（2）当m＝﹣2时，过直线2x﹣y+3＝0上一点P作圆的两条切线PM、PN，求四边形PMCN面积的最小值．20．（12分）已知正项数列{an}满足，a1＝2，且an+12-an+1an+an+1＝2an（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=nan(n∈N*)，记{bn}的前项和为Tn，若anTn+n+（﹣1）n•λan﹣1＞0对任意21．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点坐标为F(0，12)，点P为直线y=12x-3上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、（1）求抛物线C的方程；（2）请问直线DE是否过定点，若是求出该定点；若不是，请说明理由．22．（12分）在△AnBC中，已知B(-12，0)，C(12，0)，记bn＝|AnC|，cn＝|AnB|且对∀n∈N*，均有bn+1=cn+12（1）求点An的轨迹方程；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）记△AnBC的面积为Sn，判断{Sn}的单调性并给出证明．

2022-2023学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）在等差数列{an}中，a1+a2＝1，a3+a4＝5，则a2022+a2023＝（）A．2022 B．2023 C．4043 D．4044【解答】解：∵{an}为等差数列，∴a1+a∴an＝a1+（n﹣1）d＝n﹣1，∴a2022+a2023＝2022﹣1+2023﹣1＝4043．故选：C．2．（5分）“m＝2”是“直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行，∴-2m+1=-m3，解得m＝故“m＝2”是“直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）一组数据如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，则该组数据的第30百分位数是（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.5【解答】解：根据题意得，该组数据有11个数，且已经从小到大排列，则该组数据的第30百分位数是0.3×11＝3.3，所以取第4个数13．故选：C．4．（5分）已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是2，则该点到y轴的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由抛物线方程得焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，点P到焦点F的距离是2，由抛物线的定义得点P到准线的距离为2，所以P到y轴的距离为2﹣1＝1．故选：A．5．（5分）某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5．则甲通过测试的概率为（）A．0.1 B．0.25 C．0.3 D．0.35【解答】解：由题知甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，甲若通过测试，则有以下可能：点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次进，投掷结束，概率为：0.1×0.5＝0.05；点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次不进，后一次进，则概率为：0.1×0.5×0.5＝0.025；点M处未进营垒区，两次点A处投掷中，进入两次，则概率为：0.9×0.5×0.5＝0.225，故甲通过测试的概率为：0.05+0.025+0.225＝0.3．故选：C．6．（5分）已知点P在直线y＝x+3上，A（1，0），B（3，0），则|PA|+|PB|的最小值为（）A．10 B．5 C．42 D．2【解答】解：由题知，过点A做关于直线y＝x+3的对称点C（x，y），取直线y＝x+3上一点P，连接PA，PB，PC，连接BC交y＝x+3于点P1，连接AP1，P1C，AC，如图所示：则有x+12+3=y2y-0x-1=-1，解得x=因为A，C关于直线y＝x+3对称，所以直线y＝x+3是线段AC的垂直平分线，所以|PA|＝|PC|，则|PA|+|PB|＝|PC|+|PB|≥|BC|，当且仅当点P运动到P1处时|P1C|+|P1B|＝|BC|，所以(|PA|+|PB|故选：D．7．（5分）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，MO→=3OF→，经过M的直线l与C的一个交点为N，若△A．2-1 B．2-2 C．3-1【解答】解：不妨设F（c，0），由MO→=3OF→得，|MF→|=4c，又MF的中点为左焦点F1（﹣c，0），在等边△MNF中，|NF由椭圆定义|NF1所以椭圆C的离心率为2-故选：D．8．（5分）已知数列1，1，3，1，3，9，1，3，9，27，……（也可表示为30，30，31，30，31，32，30，31，32，33，…．，30，31……3k﹣1）k∈N*若该数列的前n项和为Sn，则满足60≤Sn≤1600的整数n的个数为（）A．15 B．16 C．17 D．18【解答】解：由题记第一组数为：1，个数为1，和为1，最后一个数为第1项，S1＝1；第二组数为：1，3，个数为2，和为1×(1-3最后一个数为第1+2项，S1+2第三组数为：1，3，9，个数为3，和为1×(1-3最后一个数为第1+2+3项，S1+2+3第四组数为：1，3，9，27，个数为4，和为1×(1-3最后一个数为第1+2+3+4项，S1+2+3+4第k组数为：1，3，9，27，⋯，3k﹣1，个数为k，和为1×(1-3最后一个数为第1+2+3+⋯+k=k(1+k)因为S10＝58，所以S11＝59，S12＝62，由60≤Sn≤1600可知，n从12开始计数，因为S7×82=第七组的数为：1，3，9，27，⋯，729，所以S27＝S28﹣729＝1636﹣729＝907＜1600，所以要满足60≤Sn≤1600，则12≤n≤27，n∈N*，故n的个数为27﹣12+1＝16个．故选：B．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）已知双曲线C：x2A．双曲线C的实轴长为2 B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝6 C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m【解答】解：对A选项，∵双曲线C：x24-y22m=1的实轴长为对B选项，∵（4，0）是双曲线C的一个焦点，∴c＝4，∴4+2m＝16，∴m＝6，∴B正确；对C选项，∵双曲线C：x24-∴2m4=1，∴m＝2，∴对D选项，∵双曲线C的焦点到渐近线的距离为|bc|a2+故选：BC．（多选）10．（5分）已知{an}是正项等差数列，首项为a1，公差为d，且a1＝d，Sn为{an}的前n项和（n∈N*），则（）A．数列{Sn+1﹣Sn}是等差数列 B．数列{Sn}是等差数列C．数列{2aD．数列{lgan}是等比数列【解答】解：由题意得，a1＝d＞0．因为数列{an}是等差数列，Sn+1﹣Sn＝an+1，所以数列{Sn+1﹣Sn}是等差数列，故A正确；当a1＝d＝1时，an＝n，S1=1，所以数列{Sn}不是等差数列，故B因为2an+12an当a1＝d＝1时，an＝n，lga1＝0，数列{lgan}不是等比数列，故D错误，故选：AC．（多选）11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线x＝ty+m与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（）A．若m=p2，则B．若m＝p，则x1C．若m＝2p，则OA⊥OB D．若m＝4p，则△OAB面积最小值为8【解答】解：对于A项，因为F(p2，0)，AB直线方程为x＝联立x=ty+my2=2px，可得y2﹣2pty﹣2pm＝0，设A（x1，y1），B（x2，∴y1y2＝﹣2pm，当m=p2时，解得y1对于B项，∵x1=y122p，x2∴x1x2对于C项，∵y1y2＝﹣2pm且x1x2又m＝2p，∴OA→⋅OB→=-2pm+m2对于D项，∵AB直线方程为x＝ty+m，∴设直线AB与x轴的交点坐标为D（m，0）．∴S△OAB＝S△OAD+S△ODB=1又y1y2＝﹣2pm，且m＝4p，∴y1∴y1×(-y∴S△OAB=1即S△OAB的面积最小值是82p2故选：ACD．（多选）12．（5分）已知椭圆x23+y22=1，过点P（1，1）的直线与椭圆CA．若直线AB过右焦点F2，则λ=7±B．若λ＝1，则直线AB方程为2x+3y﹣5＝0 C．若λ＝2，则直线AB方程为3x+2y﹣5＝0 D．若动点Q满足AQ→=-λQB→，则点Q的轨迹方程为2x+3y【解答】解：对于A，∵椭圆的右焦点为（1，0），又直线过点P（1，1），∴直线AB的方程为x＝1，所以A(1，23当A(1，233)，B(1当A(1，-233)，B(1∴若直线AB过右焦点F2，则λ=7±43对于B，由选项A可知：直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1）+1，联立y=k(x-1)+1x23+y22=1，得（2+3k2）x2﹣（6k2﹣6k）x+3设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1∵λ＝1，∴AP→=PB→，∴x1+x∴x1+x此时直线AB的方程为：2x+3y﹣5＝0，故选项B正确；对于C，同选项B可得x1∵λ＝2，∴AP→=2PB→，∴x1+2x2＝3，∴x1＝3﹣∴x1+x∴x1∴x1化简得23k2+32k+10＝0，显然k=-32对于D，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），∴AP→=λPB→，两式相乘可得：x1同理可得：y1则(x∴(x又A，B在椭圆x23+又根据题意可知λ≠±1，∴m3∴动点Q的轨迹方程为：2m+3n﹣6＝0，即2x+3y﹣6＝0，故选项D正确，故选：ABD．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是23，则该电路正常运行的概率为1627【解答】解：电路正常工作，即：A正常且B或C至少有一个正常，所以电路正常运行的概率为：23故答案为：162714．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2x，则过点（2，﹣4）与曲线y＝f（x）相切的直线有2条．【解答】解：曲线方程为f（x）＝x3﹣2x，点（2，﹣4）不在曲线上，设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0由f（x）＝x3﹣2x，得f'（x）＝3x2﹣2，由导数的几何意义知，y＝f（x）在M（x0，y0）处的切线的斜率为k=f'故切线的方程为y-因为点（2，﹣4）在切线上，所以-联立①②得x03-3x02=0，解得x0＝故所求切线方程为y＝﹣2x或y＝25x﹣54，则过点（2，﹣4）与曲线y＝f（x）相切的直线有2条．故答案为：2．15．（5分）在数列{an}中，a1＝1，an+1=an+1an（n∈N*），若t∈Z，则当|a7﹣t|【解答】解：∵a1＝1，an+1=an+1∴a2=a1+1a1=2，a又t∈Z，则当|a7﹣t|取得最小值时，整数t的值为4，故答案为：4．16．（5分）已知曲线C1方程：x2+ky2＝1（2≤k≤3），曲线C2方程：tx2+y2＝1（3≤t≤4），曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，且它的渐近线过C1与C2的交点，则曲线C3的离心率的取值范围是[2，【解答】解：联立C1，C2的方程x2+ky2=1tx2+y2=1，整理得（k﹣∵2≤k≤3，3≤t≤4，则k﹣1∈[1，2]，t﹣1∈[2，3]，∴y=±t-1k-1x，故曲线C1与曲线C又∵曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，设双曲线的渐近线为y=±ba故双曲线的离心率e=c∵k﹣1∈[1，2]，t﹣1∈[2，3]，则1k-1∴t-1k-1∴e=1+故答案为：[2四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f(x)=lnx-（1）求f（x）在点x＝1处的切线方程；（2）求f（x）在[1【解答】解：（1）∵x＞∴f'（1）＝0，∵f(1)=-12，所以切线方程为y+（2）f'∴x∈(1e，1)，f'(x)＞0，f(x)在(1e，1)单调递增；x∈（1，e∴x＝1时，f（x）取极大值也是最大值，∴f(x)max∴f(e)＜∴f(x18．（12分）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户．根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），⋯，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？（3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分．【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，解得a＝0.006；（2）由频率分布直方图可知，评分在[40，60），[60，80），[80，100]内的顾客人数之比为：（0.004+0.006）：（0.022+0.028）：（0.022+0.018）＝1：5：4，所以评分在[40，60）内的顾客应抽取20×（3）用户对该APP评分的平均分为：x=(45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018)×10=76.219．（12分）已知点A（1，2），圆C：x2+y2+2mx+2y+2＝0．（1）若过点A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；（2）当m＝﹣2时，过直线2x﹣y+3＝0上一点P作圆的两条切线PM、PN，求四边形PMCN面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得A（1，2）在圆外，则1+4+2m+6＞0，即m＞-又4m2+4﹣8＞0，即m＞1或m＜﹣1，所以-112＜m＜故m的取值范围为（-112，﹣1）∪（1，（2）m＝﹣2时，圆方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝3，则圆的半径r=3，圆心C（2，﹣1∴直线方程为2x﹣y+3＝0，设圆心（2，﹣1）到直线2x﹣y+3＝0的距离为d，∴|PC|20．（12分）已知正项数列{an}满足，a1＝2，且an+12-an+1an+an+1＝2an（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn=nan(n∈N*)，记{bn}的前项和为Tn，若anTn+n+（﹣1）n•λan﹣1＞0对任意【解答】解：（1）∵an+1∴an+12-an+1an-2