2021年上海市初三二模数学压轴冲刺-直角相关（互余倒角、一线三垂直、类共边相似、直角三角形存在性、双勾股）

直角（直角三角形、直角梯形、垂直等）相关

1、互余倒角

2、勾股

3、一线三垂直

4、射影定理、共角相似、共边相似

5、等腰直角三角形

6、HL全等和相似

7、斜边中线及逆定理

8、三线合一

9、四点共圆、直径所对的圆周角等于90°

10、三角比

11、双勾股

12、高线、等面积

直角（三角2020嘉定三角形+动点2、圆和圆的2、找半径、圆心距的表达

形）存在性一线三垂直位置关系式即可

3、直角三角3、三角比；一线三垂直；

形存在性射影定理

2020静安圆1、函数关系1、勾股定理；

345与1/2、式之线段+相2、垂径定理

1/3等3、三角比列方程求线段长

2、求三角比4、345与1/2和1/3

3、直角三角

形存在性

2018黄浦2、求角度2、中垂线，角平分线+平行

3、直角三角出等腰

形存在性3、情况1:特殊角度60,

HL全等

情况2:一线三垂直，类共

边型相似

2018宝山嘉圆2、直角三角1、角平分线+平行出等腰

定556形存在性2、射影定理、三角比

345与1/2;3、函数关系3、面积之直接法（平行线

1/3式之线段+面分线段成比例）

积

2016宝山圆2、直角三角2、射影定理

形存在性3、垂径定理+相似（直角共

3、函数关系角型）

式之线段+线

段

2016SID圆2、函数关系2、平行线分线段成比例+

式之线段比+矩形

线段3、互余倒角，转化为相似，

3、直角存在具体求出线段

性

2016松江梯形2、函数关系2、一线三垂直

式之线段+线3、一线三垂直全等

段

3、等腰直角

三角形存在

性

2015虹口三角形2、函数关系2、分线段成比例

式之线段+线3、情况1:角平分线+垂直，

段三线合一

3、直角三角情况2:转化为蝴蝶相似

形存在性

一线三垂直

2020黄浦菱形3、求线段长1、矩形的处理之一线三垂

矩形直相似；

2、三角比

2020奉贤圆2、函数关系2、平行线分线段成比例+

式之线段+线射影定理找函数关系式

段3、一线三垂直构造，斜转

3、等线段求直三角比相等列方程

面积

2019奉贤圆2、垂径定理，2、特殊角度45,解三角形

求线段比3、情况1:特殊位置状态

3、四边形（梯垂直

形）存在性情况2:双高法；类似一线

三直角相似；三角比列方程

2019宝山圆2、求角的三2、直角三角形中类似共边

角比（直接型的相似

求）3、平行线分线段成比例找

3、①函数关函数关系式

系式之线段+找线段表达式等于半径列

线段方程

②点和圆的

位置关系

2216浦东三角形内接2、函数关系2、一线三垂直构造

矩形式之线段+面3、同上

一线三垂直积

构造3、线段

2016普陀圆2、函数关系2、垂直处理之一线三垂直

式之线段+线3、情况1:一线三等角两

段两相似

3、相似存在情况2:一线三垂直，相似

性+圆和圆的转化

位置关系

互余倒角2020徐汇圆综合2、平行求线2、蝴蝶相似；推出等腰三

一线三等角段长角形；

3、圆和圆的3、隐含中垂线，互余倒角

位置关系（内倒出特殊位置关系垂直

切）

2019徐汇圆2、函数关系2、平行线分线段成比例找

式之线段+线函数关系式（互余倒角）

段3、HL全等列方程（斜边中

3、圆和圆的线or直径所对的圆周角为

位置关系，求90°）

公共弦长

2017嘉定圆2、函数关系2、勾股找函数关系式

式之线段+线3、互余倒相似，斜A相似

段

3、垂直的处

理

2017奉贤圆2、函数关系2、互余倒角，三角比+勾股

菱形式之线段+线3、半径相等；斜边中线

段比

3、点和圆的

位置关系之

点在圆上

2015黄浦三角形2、函数关系2、相似找函数关系式（类

式之线段+线共边型相似）

段3、情况1:转化为分线段

3、相似存在成比例

性情况2:转化为其他相似

（共角型斜A）,或互余倒

角，倒出中垂线

三线合一2017崇明梯形2、函数关系2、面积比转化为底边比（射

翻折式之线段+面影定理或三角比）

积比3、三线合一+解三角形或角

3、等腰三角平分线第二性质定理、勾股

形存在性

共边、共角2020宝山圆2、垂径定理1、1/3与345

相似3、等腰+圆和2、垂径定理+共边相似

圆的位置关3、勾股列方程

系

2016黄浦三角形2、定值问题2、相似

（难）3、相似存在四点共圆，共角相似

性3、同弧所对的圆周角相等，

HL全等，特殊角度45。

2015静安青圆2、等腰三角2、解三角形

浦形存在性3、类共边型相似

3、求三角比

斜边中线2019金山圆2、直线和圆2、斜边中线线段的表达式

的位置关系3、345的三角形三角比列

3、相似存在方程

性

2019青浦圆2、函数关系2、①斜边中线；②平行线

式之线段+线转化比例：③中位线④直径

段比所对圆周角等于90。

3、线段相等3、推出特殊角度22.5。

（等腰三角

形存在性）

2018徐汇圆2、函数关系1、类共边型相似

菱形式之线段+线2、中位线+勾股找函数关系

段式

3、等腰三角3、情况1:斜边中线+中位

形存在性线

情况2:全等+半径产生等

腰；CG=CF

2017浦东等腰直角三2、函数关系2、三线合一；三角比列等

角形式之线段+线式

斜边中线段3、情况1:全等，y的值已

3、相似存在知

性情况2:三线合一，对角线

互相平分推出矛盾

2217长宁圆2、函数关系2、平行线分线段成比例+

式之线段+面直接法表示面积

积3、转化为斜边中线

3、相似存在

性

2016徐汇圆2、圆和圆的2、斜A相似

位置关系之3、转化为斜边中线+特殊角

相切30°

3、相似转化

比例线段推

出特殊角

2016长宁圆2、函数关系2、直接法+345与1/2和

345与1/2和式之线段+面1/3

1/3积3、情况1:斜边中线；

3、等腰三角情况2:三线合一

形存在性

双勾股2019杨浦圆2、弧中点，2、垂径定理

求线段长3、双勾股解三角形

3、圆和圆的

位置关系之

相切

2018奉贤圆2、求证比例2、AA相似

中垂线线段3、情况1:转化为菱形；

3、等腰三角双勾股求线段长

形存在性情况2:倒出特殊位置（半

径处处相等产生等腰）

2018普陀圆2、公共弦+2、垂径定理+双勾股

表示线段长3、情况1:两腰的表达式

3、等腰三角相同；

形存在性情况2:三线合一+三角比

列方程

2017杨浦圆2、求线段长2、平行线分线段成比例

5563、角度恒定方法1:双勾股列方程

方法2:三角比求线段长

3、半径产生等腰

2016闵行圆2、圆和圆的2、双勾股列方程

位置关系之3、构造平行线，分线段成

内切比例+双勾股

3、函数关系

式之线段+面

积

2016闸北圆2、函数关系2、勾股

式之线段+线3、双勾股

段

3、圆和圆的

位置关系之

相交

2015奉贤圆2、函数关系2、勾股找函数关系式

梯形式之线段+线3、方法1:双勾股

段方法2:相似

3、平行

2020松江直角梯形1、HL全等1、补成正方形

等面积正方形2、两两相似2、角平分线+平行出等腰

345与1/2、3、点关于直3、隐含345与1/2、1/3的

1/3线对称（中垂关系

线）；求线段4、等面积法求点到直线的

比例的值距离

2020普陀圆+梯形2、函数关系2、垂线段之等面积法

式之线段+相3、找三边表达式（有一种

等情况是相切易错，要舍掉）

3、等腰三角

形存在性

直角三角形存在性

1.（2020嘉定二模）25.（满分14分，第（1）5分，第（2）小题5分，第（3）小题4

如图8,在AA8C中，zC=90°,AB=5cm,cosB=-，动点。从点A出发沿着射线AC的

方向以每秒\cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移

动.已知点。和点E同时出发，设它们运动的时间为/秒，联结BD

（1）当AO=A8时，求tanzABD的值；

（2）以A为圆心，AD为半径画OA：以点8为圆心、BE为半径画。8.讨论OA与。8的位

置关系，并写出相对应的［的值；

（3）当"DE为直角三角形时，直接写出fan/CBD的梏

备用图

2.（2020静安二模）25.（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4

分，第（3）小题满分5分）

4

在RM力8c中，”C出90°,4015,sin/BAC=《.点。在边48上（不与点4B

重合），以/。为半径的0力与射线ZC相交于点£,射线与射线8c相交于点尸，射线

AF^QA交于点G.

（1）如图10,设Z0=x,用x的代数式表示的长；

（2）如果点£是茄的中点，求/OS4的余切值；

（3）如果为直角三角形，求的长.

3.(2018黄浦二模)如图，四边形A8CA中，NBCD=ND=9G。，£是边A8的中点.已知

AD=\,AB=2.

(1)设CD=y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

(2)当N8=70°时，求N4EC的度数；

(3)当△4C£为直角三角形时，求边8c的长.(相似或三角比)

B

4.（2018宝山嘉定二模）（本题满分14分，第（1）小整4分，第（2）小题5分，第（3）

小题5分）

在圆。中，AO、B。是圆。的半径，点C在劣弧AB上，04=10,AC=12,AC||OB,

联结AB.

（1）如图8,求证：AB平分NO4C;（角分线+平行出等腰）

（2）点M在弦AC的延长线上，联结,如果A/U"是直角三角形，请你在如图9中

画出点M的位置并求CM的长;（三角比或射影定理）

（3）如图10，点。在弦AC上,与点A不重合，联结。。与弦A3交于点E,设点。与

点C的距离为x,AOEB的面积为y,求），与x的函数关系式，并写出自变量x的取

值范围.

囱A

囱OESn

5.（2016年虹口二横）25.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2，点。、E分

别在边BC、AB上，,以AE为半径的。A交OE的延长线于点F;

（1）当。为边BC中点时（如图1）,求弦EF的长；

（2）设一DC匕=x,EF=y,求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；

BC

（3）若DE过AABC的重心，分别联结8尸、A尸、CE,当NAb8=90。时（如图2）,

求上CE三的值；

AB

6.(2016年松江二模)25.已知，如图1，在梯形A8CO中,AD||BC,ZBCD=9Q°,

BC=\\,CD=6,

tanZABC=2，点E在AO边上，且AE=3EQ,EF||AB交BC于点F，点M、N

分别在射线FE和线段CO上;

(1)求线段CF的长；

(2)如图2,当点M在线段FE上，且AM_LMN，设FM心ZEFC=x,CN=y,

求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)如果AAMN为等腰直角三角形，求线段的长；

7.（2015虹口二模）25.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）

如图，在RrA48c中，/AC3=90°,A8=13,CO||A8.点E为射线CO上一动点（不

与点C重合），联结AE，交边于点尸,NBAE的平分线交8c于点G.

（1）当CE=3时，求SACEF：SAC”的值；（找中间量求面积比；面积比等于相似比的平方）

（2）设。后=工,AE=y,当CG=2G8时，求），与x之间的函数关系式；（平行线分线

段成比例；角分线+平行出等腰）

（3）当AC=5时，联结EG，若AAEG为直角三角形，求BG的长.（情况1:三线合一，

八字全等；情况2:蝴蝶相似+等腰三角形AGB）

AB

（第25题图）

一线三垂直

8.（2020黄浦二模：本质相似）

25.（本题满分14分）

在边长为2的菱形4BCZ）中，E是边4。的中点，点只G、，分别在边AB、BC、CD

上,且FGLEF,EH1EF.

（1）如图7,当点尸是边48中点时，求证：四边形是矩形；

（2）如图8,当竺=，时，求生值；

GC2EH

（3）当COSN£>=9,且四边形EFG”是矩形时（点尸不与AB中点重合），求AF的长.

M-lIA7I

HylrIX7lC

9.(2020奉贤二模)25.(本题满分14分，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分5分，第

(3)小题满分5分)

如图8,已知半圆。。的直径A8=10,弦C0IAB,且C£>=8,E为弧C£>的中点，点P在弦

CD±,联结PE,过点E作PE的垂线交弦CD于点G,交射线。8于点F.

(1)当点尸与点B重合时，求CP的长；

(2)设CP=x,OF=y,求y与x的函数关系式及定义域；

(3)如果GP=GF,求的面积.

10.(2019年奉贤二模)

25.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)

如图10,已知△ABC,AB=y{i,BC=3,/B=45。，点。在边BC上，联结AD,以

点4为圆心，AO为半径画圆，与边AC交于点E,点尸在圆A上，且A凡LAD

(1)设BO为x,点。、尸之间的距离为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(2)如果E•是9厂的中点，求8O:C£＞的值；

11.(2019年宝山二模)

25.(本题满分14分，第(1)、第(2)小届满分各4分，第(3)小题满分6分)

如图已知：AB是圆O的直径，AB=10,点C为圆。上异于点A、B的一点，点M为弦

BC的中点.

(1)如果AM交OC于点E,求OE:CE的值；

(2)如果AM±OC于点E,求/ABC的正弦值；

(3)如果AB:BC=5:4,D为BC上一动点，过D作DF_LOC,交OC于点H,与射线

8。交于圆内点尸，请完成下列探究.

探究一：设BD=x,FO=y，求y关于x的函数解析式及其定义域.

探究二：如果点。在以。为圆心，。尸为半径的圆上，写出此时BD的长度.

12.(2016年浦东二横)25.如图，中，NACB=90°,BC=6，点。为斜边AB

的中点，

点E为边AC上的一个动点，联结DE，过点E作OE的垂线与边交于点尸，以DE、

EF

为邻边作矩形OEFG;

(1)如图1,当AC=8,点G在边AB上时，求OE和EF的长；

DE1

(2)如图2,若一=—，设AC=x,矩形OEFG的面积为y,求)，关于x的解析式；

EF2

DE2

(3)若——=-,且点G恰好落在RrA43c的边上，求AC的长；

EF3

3

13.(2016年普陀二模)25.如图，在RfABC中，NC=9()",AC=14,tanA=-,

4

点。是边AC上的一点，AD=S，点E是边A8上一点，以点E为圆心，EA为半径

作圆，经过点D，点F是边AC上一动点(点F不与A、C重合)，作PG，EF,

交射线BC于点G;

(1)用直尺圆规作出圆心E,并求圆E的半径长(保留作图痕迹)；

(2)当G在BC上时，设AF=x,CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)联结EG，当AEFG与AFCG相似时，推理判断以点G为圆心，CG为半径的圆G

与圆E可能产生的各种位置关系；

14.(2020徐汇二模)25.(本题满分14分)

如图，在梯形ABC。中，AD〃BC,AB=CD=AD=5,cosB=*.点O是边BC上的动点，以

OB为半径的。O与射线BA和边BC分别交于点E和点M,联结AM,作NCMN=/BAM,

射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N.

(1)当点E为边AB的中点时，求DF的长；

(2)分别联结AN、MD,当AN〃MD时，求MN的长；

⑶将。O绕着点M旋转180。得到。O',如果以点N为圆心的。N与。O和。O'都内切,

求。O的半径长.

15.（2019徐汇二模）

22.本题满分14分，第（1）题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题6分）

3

如图，在中，AC=BC=l（）,cosC=g,点尸是AC边上一动点（不与点A、C重

合），以PA长为半径的。P与边A8的另一个交点为。,过点。作OE_LCB于点E

（1）当OP与边BC相切时，求0P的半径

⑵联结3P交OE交于点F，设AP的长为x,PF的长为y,求），关于x的函数解析式，

并直接写出x的取值范围

（3）在（2）的条件下，当以PE长的直径的。。与QP

,求相交所得的公共弦的长。\

相交于AC边上的点G时,

/

D

C1A,

16.（2017嘉定二模）25.（满分14分，第（1）小鹿5分，第（2）小题5分、第（3）小

题4分）

已知：AB=8,0。经过点A、B.以A8为一边画平行四边形A3CO,另一边CO经过

点。（如图8）.以点B为圆心，BC为半径画弧，交线段。。于点E（点E不与点。、点

。重合）.

（1）求证：OD=OE;（全等）

（2）如果。。的半径长为5（如图9）,设QD=x,BC=y，求y关于x的函数解析式，

并写出它的定义域;（勾股列解析式）

（3）如果。。的半径长为5，联结AC,当BEJ.AC时，求。。的长.（利用中垂线（垂

径定理）或三角比列方程）

C

17.（2017奉贤二模）25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）

小题4分）

已知：如图9,线段48=4,以48为直径作半圆。，点。为弧的中点，点尸为

直径上一点，联结PC,过点。作CDIIAB,且CAPC，过点。作DE/IPC,交射线

尸8于点£,尸D与C£相交于点Q.

（1）若点尸与点4重合，求的长；（菱形）

pn

（2）设尸。=x,卫=y，当点尸在线段4。上时，求J/与x的函数关系式及定义域;（三

CE

角比找函数关系式）

（3）当点Q在半圆。上时，求尸。的长.（方法1:点和圆的位置关系OQ=2列方程；

n

皮I女田囱

18.（2015黄浦二横）（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）满分6分，（3）

小题满分5分）

如图8,中，NC=90*,44=30°,BC=2,是斜边28上的高，点£"为边

4c上一点（点£不与点4。重合）,联结DE,作CFLDE,C厂与边AB,线段分别

交于点6G.

（1）求线段CD、47的长；

（2）设CE=x，。尸=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;（射影定理；相

似）

（3）联结EF,当A£FG与ACDG相似时，求线段CE的长.（情况1:平行线分线段成比

例；情况2:八字相似；垂直平分线）

图8

（备用图）

三线合一

19.（2017崇明二模）25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第⑵小题4分，第（3）

小题6分）

如图，梯形中，AB//CD,NA8C=90。，A8=6,BC=8,tan£）=2，点£是射

线C。上一动点（不与点C重合），将A8CE沿着进行翻折，点。的对应点记为点F.

（1）如图1,当点尸落在梯形的中位线〃“上时，求的长；（翻折：对应边相

等；对应角相等；现特殊角度30/60）

（2）如图2,当点£在线段上时，设CE=x，/也=y，求），与x之间的函数关系式，

S^EFC

并

写出定义域；（面积比转化为底的比；射影定理）

（3）如图3,联结为C,线段8厂与射线CA交于点G,当ACBG是等腰三角形时，求CE

的长.

（第25题图3）（第25题备用图）

20.（2°20宝山二模）25.（本题满分14分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分，

第（3）小题满分4分）

如图7,已知：在直角A4BC中，NA5C=90。，点M在边上，且43=12,3M=4,

如果将\ABM沿AM所在的直线翻折，点B恰好落在边AC上的点。处，点。为AC边

上的一个动点，联结。8,以。圆心，。8为半径作。。，交线段A8于点8和点E,作

ZBOF=ZBAC交。。于点F,OF交线段AB于点G

（1）求点。到点B和直线AB的距离

（2）如果点/平分劣弧BE,求此时线段AE的长度

（3）如果A4OE为等腰三角形，以A为圆心的。A与此时的。。相切，求。A的半

径.

图7

21.(2016年黄浦二模)25.如图，在RMA8C中，ZACfi=90°,AC=\,BC=7,

点。是边CA延长线上的一点，AELBD，垂足为点E,AE的延长线交C4的平行

线BF于点F,联结CE交A8

于点G;

(1)当点E是8。的中点时，求tanNAFB的值；

(2)CE-A尸的值是否随线段A。长度的改变而变化，如果不变，求出CE-Af的值，如

果变化，请说明理由；

(3)当ABGE和ABAF相似时，求线段AF的长；

22.（2015静安青浦二模）25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满

分5分，第（3）小题满分5分）

在。。中，0cL弦力8,垂足为C,点。在。。上.

（1）如图1,已知04=5,AB=6,如果ODIIAB,8与半径08相交于点E,

求的长；

（2）已知。4=5,48=6（如图2）,如果射线与48的延长线相交于点尸,

且A。。是等腰三角形，求4尸的长；（分类讨论+三角比）

（3）如果ODIIAB,CD±OB,垂足为E,求sin/OAC的值.（用三角比列方程；

方程思想）

斜边中线

23.(2019年金山二模)

25.如图，在RfAABC中，ZC=90°,AC=16cm,43=20cm，动点。由点C向点A

—4

以每秒lc〃?速度在边AC上运动，动点E由点。向点8以每秒一cm速度在边BC上运动，

3

若点。，点E从点。同时出发，运动r秒(r>0),联结。E.

(1)求证：ADCE-ABCA.

(2)设经过点。、C、E三点的圆为。P.

①当0P与边AB相切时，求，的值.

②在点。、点E运动过程中，若。尸与边A3交于点尸、G(点尸在点G左侧),

联结CP并延长CP交边A3于点M,当APEM与ACOE相似时，求f的值.

AB

AB

Znircf-rxn

24.（2019年青浦二模）

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

已知：在RtA/BC中，zACB=90°,/1O1,。是48的中点.以CD为直径的OQ分别

交BC、8A于点£巳点E位于点。下方，联结EF交8于点G.

（1）如图11,如果BC=2,求的长；

（2）如图12,设8Ox,—=y,求y关于x的函数关系式及其定义域；

GQ-

（3）如图13,联结纪，如果CG=C£，求8c的长...

GG

rQQ

25.（2018徐汇二模）25.已知四边形ABC。是边长为10的菱形，对角线AC、BO相交

于点E，过点C作CF||。8交AB延长线于点尸，联结EE交BC于点

（1）如图1，当£尸_L3c时，求AE的长；

（2）如图2,以防为直径作。。，0。经过点C交边C。于点G（点C、G不重合），

设AE的长为x,田的长为y;

①求），关于x的函数关系式，并写出定义域；（勾股找函数关系式；中位线：圆心处隐含中

点）

②联结EG,当A3EG是以。G为腰的等腰三角形时，求AE的长.（中位线：圆心处隐

含中点）

26.（2017浦东二模）25.（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，

第（3）小题4分）

如图所示，/MON=45。，点Q是/MCW内一点，过点尸作于点APB1ON

于点8,且PB=2叵.取。尸的中点C,联结4C并延长，交08于点

（1）求证：NADB=NOPB;（外角倒角；四边形内角和）

（2）设口=*，OD=y,求），关于x的函数解析式；（特殊角度，注意第一问的提示，三

角比一样找关系式）

（3）分别联结AB、BC,当△A3。与△CPB相似时，求PA的长.（AA相似，特殊角度

45,斜边中线；等腰直角）