2020秋八年级数学上册第十一章三角形导学案 人教版

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

教学备注11.1.1三角形的边

学习目标：1.认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.

2.掌握三角形三边的关系定理，能利用定理及其推论进行简

单的证明.

3.了解三角形按边分类的原则和结论.

重点：理解三角形三边之间的不等关系.

难点：运用三角形三边之间的不等关系解题.

学生在课前

完成自主学自主学习

习部分

一、知识链接

在下面画一个三角形，观察回忆你所学过或知道的三角形的有关知识。

并写出来.

二、新知预习

1.根据小学认识的三角形判断，是三角形在括号内打“不是三角形

打“X”.

zAA人-A」

2.自主归纳：

(1)三角形概念：由不在同一直线上的三条线段首尾相连所组成

的图形.

(2)三角形的构成：如图，

条，分别为线段

顶点：一个，点A、B、C为三角形的三个顶点；

角：一个，分别为/A、/B、/C./A,NB,/C是相邻两边组

的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

顶点是A,B,C的三角形记作：△,读作：.

3.三角形按角分类，可以分为一一三角形，一.三角形和—

角形.

三、自学自测

如图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.

A

教学备注

配套PPT讲授

1.情景引入

(见幻灯片3)

有一个三角形，分别记作:

2.探究点1新

知讲授

四、我的疑惑

(见幻灯片

7-12)

/课堂探究\

一、要点探究

探究点1：三角形的相关概念

3.探究点2新

找一找：

知讲授

(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？

(见幻灯片

(2)以48为边的三角形有哪些？

(3)以£为顶点的三角形有哪些？13-16)

(4)以/。为角的三角形有哪些？

(5)说出△腼的三个角和三个顶点所对的边.

方法总结:数三角形的个数时，抓住不在同一条直线上的三个点能组成一个三角形;再按

字母的顺序去数.

探窕点2：三角形的分类

问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类?

问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？观察图形作答.

(1)等q腰三角形和等边A三角形的区别是什么？△

(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样的三角形？y

2

教学备注

(3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类?

4.探究点3新

三角形按角分类:

知讲授

(见幻灯片

17-22)

三角形

三角形按边分类:

探究点3：三角形的三边关系

1.做一做：

在4点的小狗，为了尽快吃到8点的香肠，它选择路线，而不选择

A^C-8路线，难道小狗也懂数学？

答：理由是.

2.议一议：

(1)在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么大小关系？

(2)在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么大小关系？

(3)三角形三边有怎样的不等关系？

要点归纳：

三角形两边的和第三边.

三角形两边的差______第三边.

典例精析

例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？

(1)3cm>8cm、4cm；(2)5cm>6cm、11cm；(3)5cm、6cm>10cm.

方法总结：判断三条线段是否可以组成三角形,

只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即

可.

例2：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰羊

（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？教学备注

配套PPT讲授

方法总结：等腰三角形与三角形的三边关系结合时，若腰和底不明确时，需要分类讨论，

再检验是否符合三边关系.5.课堂小结

肝对训蚓

1.下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）

A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cmC.5cm,5cm,11cmD.13cm,12cm,20cm

2•若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是（）

A.6B.3C.2D.11

3.三角形的三边长分别为5,l+2x,8,则x的取值范围是.

4.等腰三角形的腰长是6,则底边长3,周长为.

5.一根木棒长为7,另一根木棒长为2,那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？

6.当堂检测

长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？

（见幻灯片

23-26）

二、课堂小结

三角形的定义图形基本要素表示方法分类三边的关系

由不在同一直边△ABC（1）按角分期1.三角形任意

（2）整夕彳M边之和大于

线上的三条线内角

塘e边；

段首尾顺次相顶点B「D

AB

接所组成的图2.三角形任意L图中锐

形叫做三角形两边之差小于角三角形

第三边.的个数有

)

A3个B.4个

C.5个D.6个

2.用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7cm和10cm,第三根小棒可取（）

A.20cmB.3cmC.11cmD.2cm

3.如图，在△/龙中，NC必的对边是

4.已知等腰三角形的两边长分别为8cm,3cm,则这个三角形的周长为_____.

5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.

拓展提升

6.己知:a、b^c为三角形的三边长，化简：|b+c-a|+1b-c-a|Tc-a-b|-1a-b+c|.

\7

4

、三角形的高、中线与角平分线

教学备注11.1.2

学习目标：1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的

稳定性.

2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.

重点：三角形的高、中线与角平分线的特征.

学生在课前难点：三角形的高、中线与角平分线的应用.

完成自主学

习部分/自主学习

一、知识链接

1.如图按要求作图：

P.

ABOB

(1)在左图中，过点P作线段AB的垂线PD；作出线段AB的中点E.

则有—=____.

(2)在右图中，作出/AOB的平分线，则有/=Z

ZAOB.

二、新知预习

1.三角形的高：

(1)小学我们已经学过三角形的高，如图①，过点A向它的对边画垂线,

(2)自主归纳：

①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间

的线段叫做三角

形的高线，简称三角形的高.

②一个三角形有条高，请在图①中作出AABC的另外两条高.

③三角形的高是一条.

2.(1)如图②，连接AABC的顶点A和它的边BC的中点D,类比三角形

高线的定义，

则所得的线段AD应叫做aABC的边BC上的线.并画出4ABC其

他的两条中线.

(2)自主归纳:

①在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三

角形的中线.

5

②一个三角形有条中线，每条中线都是一条.

教学备注

3.三角形的角平分线：

（1）如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗？

（2）自主归纳

①三角形角平分线定义：.

②三角形的角平分线与角的平分线的区别是：.

③一个三角形有条角平分线.

4.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线

几何推理图例

三角形的高；AD是4ABC的高,A.

A

.•.①____±_____,

®ZADB=Z______=______0

Z---------------b—X

BnCr

三角形的中VCFMAABC的中线,

线®AF=___=______AC.

②AC=____AF=____CF.

三角形的角；BE为AABC的角平分线,

平分线.,.①N1=N____=____ZABC.

②/ABC=___/1=_Z2.

三、自学自测

1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线.

配套PPT讲授

1.复习引入

（见幻灯片

四、我的疑惑

3-4）

2.探究点1新

知讲授

（见幻灯片

z课堂探究5-12）

二、要点探究

探究点1:三角形的高

做一做：请在下图中画出AABC的高线.

【归纳总结】三角形的高或其延长线相交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形

的内部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的顶点上，钝角三角形的三条高的交

点在三角形的外部.

6

/典例精析

教学备注

例1：如图所示，在△力比1中，AB=AC=5,BC=6,于点、D,且4〃

=4,若点尸在边/C上移动，求8。的最小值.

3.探究点2新

知讲授

（见幻灯片

13-18）

方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求

出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.

探究点2：三角形的中线

问题1：任意作一个三角形，画出它的三条中线，观察，有什么结论？

问题2：如图，AD为AABC的中线，猜想AABD与4ACD的面积关系，并证

明.

【归纳总结】L三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做

三角形的重心.

2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

典例精析

例2：如图，在阿中，后是比上的一点，比-2%点〃是北的中点,

设XABC,和△戚的面积分别为心胸，必戚和心麻，且义值=12,

求以腑一5k胶的值.

4.探究点3新

知讲授

（见幻灯片

19-23）

方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面

积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比.

探究点3：三角形的角平分线

例3：如图，DC平分/ACB,DE〃BC,NAED=80°,求NECD的度数.

5.课堂小结

y二、课堂小结

7

三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段.

三角三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段.三角形的中教学备注

形的线把三角形分为面积相等的两个三角形.

有关"三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这6.当堂检测

率段（见幻灯片

角的顶点与交点的线段.24-30）

1.下列说法正确的是

A.三角形三条高都在三角形内B.三角形三条中线相交于

-'点

C.三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角

形外

D.三角形的角平分线是射线

2.在中，为中线，BE为角平分线,则在以下等式中：①NBAA/CAD；

②NAB拄/CBE；③B庐DC；®AE^EC.其中正确的是

()

A.①②B.③④C.①④

D.②③

3.如图，中/e90°,CDVAB,

线段中可以作为4ABC的高的有

（）

4.画△A5C中4?边上的高，下列画法中正确的是（）

ABCD

5.(1)5BE是AABC的角平分线,y

8

(2)；CF是AABC的角平分线,

:.ZACB=2=2.第5题图

第6题图

2

6.如图,AD是△ABC的中线,CE是4ACD的中线,SAAEc.3cm,则S△耽=.

7.在笫中，切是中线，已知BC-AO^cm,△应C的周长为25cm,求4

49C的周长.

学生在课前完

成自主学习部

分

第十一章三角形

11.1.3三角形的稳定性

学习目标：1.了解三角形的稳定性.

2.了解四边形的不稳定性.

3.了解三角形稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的

重点：了解三角形稳定性在生产、生活中实际应用，领会三角形的稳定

2探究点1新知性，

讲授‘、难点：准确使用三角形稳定性与四边形的不稳性与生产生活之中.

（见幻灯片课前准备：小木条8个，小钉若干.

自主学习I

一、知识回顾

1.什么叫三角形？

2.三角形的三边关系是,

3.你能用小木条做一个三角形吗？试一试

课堂探究

一、要点探究

探究点1：三角形的稳定性

<y活动1：

1.用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会

9

改变吗？探索思考.

教学备注

2.用四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它，它的形状会改变吗？

3.从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流交流。

三角形木架形状______改变，四边形木架形状_____改变（填“会”或“不会”）

4.结论:3.探究点2新

三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。知讲授

5.举出生活中利用三角形稳定性的实例：（见幻灯片

14-23）

针对训练

1.不是利用三角形稳定性的是

A.自行车的三角形车架B.三角形房架

C.照相机的三脚架D.矩形门框的斜拉条

2.下列图形中哪些具有稳定性.

(1)(2)(6)

探究点2：四边形不稳定性的应用

1.想一想：四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有

没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？

2.动手操作

将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它，这时木架的

形状还会改变吗？

例1：要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,

那么要使五边形,六边形木架,七边形木架保持稳定该怎么办呢？

10

教学备注

【方法总结】为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定

成由一个一个的

5.课堂小结三角形组成的形式.

例2：1.牧民阿其木家用于圈羊的木栅门，由于年久失修己经变成如图

甲，为什么会变

形？

2.为了恢复成原样图乙，而且要保持形状不变，他该怎么做呢？

6.当堂检测

24-27)

【针对练习】

1.盖房子时,在窗框未安装好之前,工人师傅常常先在窗框上斜钉一根木

条,为什么要这样做呢？

2.钉子架容易转动,怎样做可以使它稳定?在图中画一画.

二、课堂小结:

三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。它们都有一定的实用价值。

教学备注A.2个B.3个C.4个D.5个

2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是

（）

A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的

B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值

C.稳定性和不稳定性均有利用价值

D.以上说法都不对

3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD,使其不变形，这

学生在课前种做法的根据

完成自主学是（）

习部分A.两点之间线段最B.三角形两边之和大于第三边

C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性

第3题图第4题图第5题图

4.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了（）

A.节省材料,节约成本B.保持对称

C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮

5.用六条钢管连接成的钢架,为使这一钢架稳固，用三条钢管连接使它

不变

形，你能想出办法解决这个问题吗？多多益善.

第十一章三角形

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

第1课时三角形的内角和

\_________.学习目标：1.掌握三角形的内角和定理.

2.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于

12

180°.

教学备注

3.能运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算.

配套PPT讲授

重点：三角形的内角和定理.

难点：三角形的内角和定理的推导过程.

1.情景引入

（见幻灯片

___________/|自主学习\3-4）

2.探究点1新

一、知识链接

知讲授

1.三角形按照角的大小分类，可以分为、.

（见幻灯片

2.分别用量角器量出下面三个三角形的内角度数，并填表.

5-10）

三角形形状每个内角的度数三个内角的和

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

B

二、新知预习

1.如图，在AABC中，ZA+ZB+ZC-

2.在小学我们通过拼接、测量就已经知道三角形的内角和为，与其形状、大小

（填“有关”或“无关”）.

三、自学自测

在aABC中，若NA=35。，NB=65°,则NC=

四、我的疑惑

/课堂探究

三、要点探究

探究点1：三角形内角和定理的证明

活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.

\）

13

教学备注

3.探究点2新

知讲授

（见幻灯片

11-21）

三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.

问题1:观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操

作过程，你能发现证明的思路吗？

己知：如图,△ABC,

求证：ZA+ZB+ZC=180°。

证明1：延长BC到D,过点C作CE〃BA,

己知：如图，△ABC,

求证：ZA+ZB+ZC=180°。

证明2：过点A作，〃BC,

问题2：将自己剪下来的内角拼合在一起，除了上面两种拼接方式，你还能

想到其他的拼法吗？用这种拼法你能证明三角形的内角和定理吗？

要点归纳：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.

三角形的内角和为。

探究点2：三角形内角和定理的应用

典例精析

例1（教材例1变式题）如图，CD是/ACB的平分线，DE〃BC,NA=50°,

ZB=70°,求NEDC,NBDC的度数.

\7

14

A

r教学备注

配套PPT讲授

4.课堂小结（见

幻灯片28）

5.当堂检测

方法总结：平行线、角平分线与三角形的内角和定理相结合时，找到相等的角是关键.（见幻灯片

22-27）

例2在aABC中，ZA的度数是/B的度数的3倍，ZC比/B大15°,求/A,NB,

ZC的度数.

方法总结：在题中出现了角度的倍分、和差、比例关系时，通常会运用到方程思想，先

设未知数，再运用三角形的内角和定理列方程求解.

例3（教材例2变式题）如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°

方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A,B两岛的视角NACB的度数.

针对训练

1.在AABC中，ZA=35°,ZB=43°,则NC=_________.

2.在aABC中，ZA:ZB:ZC=1:2:3,则AABC是三角形.

3.在4ABC中，ZA=ZB+1O0,ZC=ZA+10°,贝！|/A=,ZB=,Z

C=.

二、课堂小结

三角形的内角和为180°.

\/

15

当堂检测

教学备注

1.求出下列各图中的X值.

学生在课前

完成自主学

习部分

3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，NA+NADE=180°,ZB=78°,

ZC=60°,

求NEDC的度数.

4.如图，在aABC中，ZB=42°,ZC=78°,AD平分NBAC.求/ADC的

度数.

C

拓展提升

5.如图，在AABC中，BP平分/ABC,CP平分/ACB.

(1)若NBAC=60°,求NBPC的度数.

(2)你能直接写出NBPC与NA之间的数量关系吗？

第十一章三角形

\)11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

16

第2课时直角三角形的性质和判定

教学备注

学习目标：1.了解直角三角形两个锐角的关系.配套PPT讲授

2.掌握直角三角形的判定.

3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.1.情景引入

重点：掌握直角三角形的性质和判定.(见幻灯片

难点：运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.3-4)

2.探究点1新

自主学习知讲授

(见幻灯片

一、知识链接5-12)

1.三角形的内角和为—

2.直角三角形有什么特点？

二、新知预习

1.如图①,在AABC中,已知NC=90°.

(D4ABC叫做,用符号表示为;

(2)ZA+ZB+ZC=_,ZA+ZB=__°-ZC=

结论：直角三角形籁好锐角.

图①图②

2.如图②，在△ABC中，己知NA+NB=90°，则NC=°-(ZA+ZB)=

所以aABC是.

结论：有两个角的三角形是直角三角形.

三、自学自测

1.在RtZXABC中，ZB=90°,ZC=50°,贝ijNA=.

2.在aABC中，若NA=35°,ZC=55°,则AABC是三角形.

四、我的疑惑

〉展堂探

四、要点探究

探究点1：直角三角形的两锐角互余

活动：如下图所示是我们常用的一副三角板,量一量自己手上三角板的两锐角的度数之

17

和为多少度?

£■

问题：在任意RtZ\ABC中，ZC=90°,两锐角的和等于多少呢?

要点归纳：

直角三角形的两个锐角.

典例精析

例1（1）如图①，ZB=ZC=90°,AD交BC于点0,NA与/D有什么关系？

（2）如图②，ZB=ZD=90°,AD交BC于点0,/A与/C有什么关系？请说明理由.

A_B

例2（教材例1变式题）如图，^ABC中，CDLAB于D,BELAC于E,CD,BE相交于点F,Z

A与/BFC又有什么关系？为什么？

方法总结:两个直角三角形的两个锐角为对顶角，则另一对锐角也相等

针对训练

1.三角形三个内角中，最多有一个直角，最多有一个钝角，至少有__个锐角.

2.在aABC中，NC=90°,ZA：NB=1：2,则NA=.

3.如图，BD平分/ABC,CD±BD,I）为垂足，NC=55°,则/ABC的度数是（）

A.35°B.55°C.60°D.70°

18

A

探究点2：有两个角互余的三角形是直角三角形

典例精析

例3如图，ZC=90°,Zl=Z2,4ADE是直角三角形吗？为什么？

教学备注

3.探究点2新

知讲授

例4如图，CEJ_AD,垂足为E,ZA=ZC,AABD是直角三角形吗？为什么？

（见幻灯片

13-16）

方法总结：判断一个三角形是否是直角三角形，只需说明两个锐角互余即

W-

二、课堂小结

性质：直角三角如图，若aABC为直角三角