第28练-空间向量解决立体几何问题的两大策略-“选基底”与“建系”

第28练空间向量解决立体几何问题的两大策略——“选基底”与“建系”[题型分析·高考展望]向量作为一个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何中的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题.而向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系.在高考中，用向量解决立体几何解答题，几乎成了必然的选择.体验高考1.(2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝eq\r(5).(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求eq\f(AM,AP)的值；若不存在，说明理由.2.(2016·天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O—EF—C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝eq\f(2,3)HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.3.(2016·课标全国乙)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值.高考必会题型题型一选好基底解决立体几何问题例1如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值.变式训练1如图，在四棱锥P－GBCD中，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD＝eq\f(3,4)BC，且BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，PG＝4.(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；(2)若F点是棱PC上一点，且eq\o(DF,\s\up6(→))·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PF,\s\up6(→))＝keq\o(CF,\s\up6(→))，求k的值.题型二建立空间直角坐标系解决立体几何问题例2(2016·山东)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(3)，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值.变式训练2在边长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长；(2)证明：EF∥平面AA1D1D；(3)证明：EF⊥平面A1CD.高考题型精练1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若eq\o(BD1,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，则x＋y＋z的值为()A.3B.1C.－1D.－32.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A.－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D.－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c3.在四棱锥P－ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－2，3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－4，1，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.264.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(\r(2),2)，则下列结论中错误的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A－BEF的体积为定值D.异面直线AE，BF所成的角为定值5.若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则()A.x＝1，y＝1 B.x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C.x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2) D.x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2)6.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，则用向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))是()A.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→)) D.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))7.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.8.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),3)，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________.9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________.10.已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点.(1)求证：DE⊥C1F；(2)求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值.11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点.(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E的余弦值为eq\f(\r(6),3)，求直线