第4章章末复习

章末复习1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．2．点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内．②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内．注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.3．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ4．圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5．空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应．(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点．题型一求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程．例1有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．解法一设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－32＋b－62＝a－52＋b－22＝r2，,\f(b－6,a－3)×\f(4,3)＝－1.))解得a＝5，b＝eq\f(9,2)，r2＝eq\f(25,4).∴圆的方程为(x－5)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))2＝eq\f(25,4).法二设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圆上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32＋62＋3D＋6E＋F＝0，,52＋22＋5D＋2E＋F＝0，,\f(－\f(E,2)－6,－\f(D,2)－3)×\f(4,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－9，,F＝39.))∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法三设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝eq\f(6－2,3－5)＝－2，∴kBP＝eq\f(1,2)，∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－33＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3.))∴P(7,3)．∴圆心为AP中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,2)))，半径为|AC|＝eq\f(5,2).∴所求圆的方程为(x－5)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))2＝eq\f(25,4).跟踪演练1已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．解法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).∵圆过点A(2，－1)，∴5＋2D－E＋F＝0，①又圆心在直线2x＋y＝0上，∴2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))＝0，即2D＋E＝0.②将y＝x－1代入圆方程得2x2＋(D＋E－2)x＋(1－E＋F)＝0.Δ＝(D＋E－2)2－8(1－E＋F)＝0.③将①②代入③中，得(－D－2)2－8(1－2D－5)＝0，即D2＋20D＋36＝0，∴D＝－2或D＝－18.代入①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－18，,E＝36，,F＝67.))故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋3＝0或x2＋y2－18x＋36y＋67＝0.法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a即圆心为(a，－2a)又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，∴eq\f(|a＋2a－1|,\r(2))＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)解得a＝1或a＝9.∴a＝1，b＝－2，r＝eq\r(2)或a＝9，b＝－18，r＝eq\r(338)，故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.题型二直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．例2如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2eq\r(3)，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．解(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2eq\r(3)，所以d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1.由点到直线的距离公式得d＝eq\f(|1－k－3－4|,\r(1＋k2))，从而k(24k＋7)＝0.即k＝0或k＝－eq\f(7,24)，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－eq\f(1,k)(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即eq\f(|1－k－3－a－b|,\r(1＋k2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,k)4－a－b)),\r(1＋\f(1,k2)))，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值范围有无穷多个，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－2＝0，,b－a＋3＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋8＝0，,a＋b－5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,2)，,b＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2)，,b＝\f(13,2).))这样点P只可能是点P1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(1,2)))或点P2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(13,2))).经检验点P1和P2满足题目条件．跟踪演练2已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(3)，求直线l的方程．解(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.作示意图如图，作MC⊥AB于C.在Rt△MBC中，|BC|＝eq\r(3)，|MB|＝2，故|MC|＝eq\r(|MB|2－|BC|2)＝1，由点到直线的距离公式得eq\f(|k－1＋3－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝2eq\r(3)，所以适合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.题型三与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围．例3已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．(1)求eq\f(y－2,x－1)的最大值与最小值；(2)求x－2y的最大值与最小值．解(1)显然eq\f(y－2,x－1)可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率．令eq\f(y－2,x－1)＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．对上式整理得kx－y－k＋2＝0，∴eq\f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝1，∴k＝eq\f(3±\r(3),4).故eq\f(y－2,x－1)的最大值是eq\f(3＋\r(3),4)，最小值是eq\f(3－\r(3),4).(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得eq\f(|－2－u|,\r(5))＝1，解得u＝－2±eq\r(5)，故x－2y的最大值是－2＋eq\r(5)，最小值是－2－eq\r(5).跟踪演练3当曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,12))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞))答案C解析曲线y＝1＋eq\r(4－x2)是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即eq\f(|1＋2k0－4|,\r(1＋k\o\al(2,0)))＝2，k0＝eq\f(5,12).直线PA的斜率为k1＝eq\f(3,4).所以，实数k的范围是eq\f(5,12)<k≤eq\f(3,4).题型四分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论．例4已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．解圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5.①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.由题意可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－k＋2＋4k－3|,\r(1＋k2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝52，解得k＝－eq\f(4,3)，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.跟踪演练4如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝2eq\r(19)