2023年湖南省一起考高考数学模拟试卷（5月份）

2023年湖南省一起考高考数学模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知全集（/=R,集合4={x[2*<1},8={刻万一2<0},则（CiM）UB=（）

A.{x|0<x<2}B,RC.{x|0<x<2}D.{x\x<2]

2.已知复数z的实部和虚部均为整数，且z羊0,则满足|z-l|W1的复数z的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.成对样本数据丫和x的一元线性回归模型是匕：/“：：：：’2,则下列四幅残差图满足

（E（e）-0,Z）（e）—c"

一元线性回归模型中对随机误差e的假定的是（）

4.正方形ABCD中，M,N分别是BC,CD的中点，若前=2宿+〃丽，则;I+"=（）

A.2B.|C.|D.|

5.已知aW（—兀,0）,且3cos2a+4cosa+1=0,则tcma等于（）

A.—B.2V-2C.-2V-2D.--

44

ii

6.记7；为数列{a"的前几项积，已知己+*=1，则T”=（）

A.8B.9C.10D.11

7.已知a=log32,b-log53,c=log85,则下列结论正确的是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

8.雨天将一个上端开口的杯子固定在地面上放置24小时以测量日降雨量.杯子可以看作是容

积为500毫升、高为20厘米、上底面（开口端）面积为30平方厘米的圆台，已知放置一天后杯

内水位线距离杯底的高度约为2厘米.日降雨量的定义是单日降水在地面上积累高度的毫米数,

则该地区当天日降雨量的估计值为(nun表示毫米)()

A.13.3mmB.16.8mmC.20.2mmD.23.6mm

二、多选题(本大题共4小题，共20・0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知Q,b表示两条不同的直线，a,£表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是()

A.若ala,al/?,则a//0

B.若ala,a//bfbt则/?///?

C.若。〃b,b1a,则Q_La

D.若可/Q,bua,则。〃b

10.设正实数m、九满足m+几=2,则下列说法正确的是()

A.工+2的最小值为学2B.号的最大值为:

mn222

C.I沆+Qi的最小值为2D.九2的最小值为2

11.实数QW0,函数/(%)=Ms讥％+2炉一1的零点恰为/(%)的极值点，则(a,Z?)构成的曲

线()

A.包含离心率为殍的椭圆B.包含离心率为。的双曲线

C.与直线y=%有四个交点D.与圆/+y2=1有六个交点

12.已知函数f(x)=e*-%,g(x)=x-Inx,则下列说法正确的是()

A.g(e%)在(0,+8)上是增函数

B.Vx>1,不等式/(ax)Z/anx2)恒成立，则正实数a的最小值为应

0

C.若/(%)=t有两个零点%1，%2,则+%2>

D.若f(%i)=g(%2)=>2),且&>Xi>0,则的最大值为工

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.(|+；+C)5的展开式中的常数项为.

14.已知函数/"(%)=ln(Vl+4x2-2x)+2.则/(句5)+/(1g1)=.

15.已知数列｛a"是等差数列，4(-1,0),8(2,1),过点4作直线2：an_xx+any+an+1=0的

垂线，垂足为点C,则BC的最大值为.

16.已知数列｛。九｝满足a"1+磷+1=2(an+1an-an+1+Qn),对任意正实数3总存在的G

(3,4)和相邻的两项以，以+i，使得以+i+(2t+l)ak=0成立，贝以的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

己知等比数列｛an｝的公比q>1,满足：$3=13,aj=3a6.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)设%=为奇，求数列｛%｝的前2n项和S2n.

+n,n为偶数

18.(本小题12.0分)

在AABC中，AB=2AC,4。是4的角平分线.且4。=

(1)求k的取值范围；

(2)若S“BC=1，问k为何值时，BC最短？

19.(本小题12.0分)

如图，在四面体4BCC中，NB4C=乙BDC=AACD=34DBC=摄AB=AC.

(1)若8到平面4CD的距离为3,求三棱锥4-BCO的高；

(2)求AB与平面ACD所成角的大小.

,4

Z.............〉B

I)

20.(本小题12.0分)

统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、

分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中4种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用f表示

其中A种鱼的条数，请写出f的分布列，并求f的数学期望Ef；

(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘,

再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.

(i)请从分层抽样的角度估计池塘乙电的鱼数.

(ii)统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法一最大似然估计，其原理是使用概率模型寻

找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请

从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

21.(本小题12.0分)

已知双曲线C：最一，=l(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±，多.

(1)求双曲线C的方程；

(2)己知点P是双曲线C的右支上异于顶点8的任意点，点Q在直线x=且。Q〃PB,M为PB

的中点，求证：直线。M与直线QF的交点在某定曲线上.

22.(本小题12.0分)

设/(%)=exsinx.

(1)求f。)在[一区网上的极值；

(2)若对Vxi，x26[0,7r],X1^x2,都有%二詈)+a>0成立,求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由集合4={x\2x<1}={x\x<0],B={x\x-2<0}={x\x<2],

则(C04)UB={x\x>0}U{x\x<2}=/?.

故选:B.

先分别求两个集合，再求集合的混合运算.

本题主要考查了集合的补集及并集运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：设2=a+bi(a,b6Z),

则|z—1|=J(a-1)2+62,所以(a-I)2+b2<l.

因为(a—1产20,所以/si,即一IWbWL

当b=±1时，a-1=0,即a=l,有两组满足条件{：或

当b=0时，a一1=°或a一1=±1，所嘴：粼:粼：；，

但a=0,b=0时，z=0,不符合题意，

综上：满足要求的z的个数为4个.

故选：C.

先将问题转化为满足(a-iy+b2<1的整数解，从而利用分论讨论求得满足的(a,b)的个数.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：根据一元线性回归模型中对随机误差e的假定，残差应是均值为0,方差为M的随机

变量的观测值.

对于4选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故A错；

对于B选项，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故B正确.

对于C选项，残差与观测时间有线性关系，故C错；

对于。选项，残差与观测时间有非线性关系，故。错；

故选:B.

根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断.

本题考查线性回归方程的运用，属于中档题.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的基本定理，坐标运算和几何应用，属于中档题.

建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出；I,

【解答】

解：以4B,4。为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：

则4(0,0),C(l,l),呜1),

所以府=

丽=(一;,1),AC=(1,1).

vX?—AAM+i^BN,

.・.，2,解得《t

W+”=l^=5

,,8

A+n=-,

故选D.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化筒求值中的应用，考查了方

程思想，属于中档题.

由已知利用二倍角公式可得3cos2a4-2cosa—1=0,解方程结合范围aE(一凡0),可求cosa=g,

进而根据同角三角函数基本关系式求解.

【解答】

解：因为3cos2a+4cosa+1=0,可得3(2cos2a—1)+4cosa+1=0,可得3cos2a+2cosa—

1=0,

解得cosa=上或一1，

又a6(一兀,0),

所以cosa=可得sina="V1—cos2a=—学工，

所以tcma=亚”=-2\T~2.

cosa

故选C.

6.【答案】D

【解析】解：当71=1时，k+丁=1,•••71=。1，.•・Q1=2；

当n32时，吃+^=1,可得％=热,

.Tn=Tn

"T„_1"Tn-r

Tn_i=Tn-1,

•••Tn—Tn_i=1,(n>2),又7\=%=2,

.・・｛7；｝是以首项为2,公差为1的等差数列，

AT10=24-(10-1)X1=11,

故选：D.

当九=1时，有△=%,当nN2时，有乌=即，从而化归转化可得：｛%｝是以首项为2,公差为

1n-1

1的等差数列，从而可得解.

本题考查等差数列的定义与通项公式，化归转化思想，属中档题.

7.【答案】A

222

【解析】解：因为［0032=log3状<log3遮=log33^=-=log^S3=logsV25<log5V27=

10/3,

所以Q<b,

因为，n3切8<(吗竺y=(1„<14)2<(/n5)2,所以黑<提，

所以logs3<logg5,所以b<c,

所以a<b<c.

故选：A.

对数函数的单调性可比较a、b,再根据基本不等式及换底公式比较"与c的大小关系，由此可得出

结论.

本题主要考查了三个数比较大小，考查了对数函数的性质，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：设水杯下底面面积为S,

则由圆台体积公式有U=gx20x(S+30+y/~30S)=500,

从而S+V3U^=45，①

即30s=(45-S)2=S2-120S+2025=0,

解得：Si=60-ISCx20或S2=60+15<7»100,

52«100不符合①式舍去，

因为积水深度只有2厘米，远低于水杯的高度，

水杯上下底面半径的差距又非常小，

故积水体积可以近似为圆柱体的体积即20x2=40毫升，

这些水是水杯敞口(地表30平方厘米区域)一天内接到水的量，

根据日降雨量的定义，

有当天日降雨量估计值为舞X10"13.3(rmn).

故选:A.

设水杯下底面面积为S,利用圆台体积公式计算出S,然后根据题意求出当天日降雨量估计值即可.

本题主要考查圆台的体积，考查运算求解能力，属于中档题.

9【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，

属于基础题.

由直线与平面垂直的性质判断4由线线平行及线面垂直的判定判断B与C；由线面平行的定义及

空间两直线的位置关系判断D.

【解答】

解：若aJLa,a10,则由直线与平面垂直的性质可得，a//p,故A正确；

若a_L氏a//b,则bl0,故b与0有交点，b〃/?错误，故B错误；

若b_La,则b垂直平面a内的两条相交直线?n与n,又a〃b,则a_LaIn,则a_La,故C正

确；

若a〃a,bua,则a〃b或a与b异面，故。错误.

故选：AC.

10.【答案】ABD

【解析】解：m,n>0,m+n=2,则'+；=g(6+")('+$=^(3+'+手)2g(3+

2I巴.当=瞥2，当且仅当n=Cm=4-时成立.

\mn72

tn4-n=2>2，nrn,解得mn<1.

v

<I，(V=m+n+2y/~rrm<2+2,AVm4-y/~n<2.

2

加2+/N智_=2,当且仅当m=n=l时取等号.

综上可得：AB。正确.

故选：ABD.

tn,n>0,77i+n=2,利用"乘1法”可得：\+；=2（爪+兀）（\+$=2©+'+，再利

用基本不等式的性质可得其最小值.利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误.

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：根据题意+2b12-l=0或一。2+2炉一1=0,

2

若为a?+2b-1=0,则点（a,b）在Oxy平面内体现为/+2y2=i（x5t0）,即/+岑=1（%*0）,

2

则a=1,/,=浮，c=号,表示离心率为殍的椭圆，

若为一小+2b2-1=0,则点(a,b)体现为2y2-%2=1(%0),

即1•--=I(XKO),则b=i,a=[，c=?，表示离心率为q的双曲线，故A正确，B

错误；

直线y=x的斜率为1,双曲线2y2一/=1(%40)的渐近线为丫=±?工，斜率为±殍，

故直线y=x和双曲线有两个交点，显然它与椭圆/+2y2=i有两个交点，故C正确；

而圆/+y2=1与椭圆交点为椭圆的左右顶点，

圆的半径大于双曲线实轴长度的一半，故圆和双曲线有四个交点，故O正确.

故选:ACD.

依题意可得&2+2匕2-1=0或一02+2人2-1=0,从而得到曲线方程，再一一分析即可.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：令t=〃，x>0,显然该函数为增函数，且t>l,而g'(x)=1-§>0在(1,+8)恒

成立，故g(t)=c-"t是(1,+8)上的增函数，

故g(e")在(0,+8)上是增函数，A正确；

对于尸(%)=e*-1>0(%>0)恒成立，故/"(%)在(0,+8)上是增函数，

由已知得Q%>0,Inx2>0,所以不等式/(ax)>f()恒成立，即@工>》/恒成立，即Q>

在(0,+8)上恒成立，

再令/i(x)=^九十%)=笆gN=0得％=e,易知％=e是极大值点，也是最大值点，故a3;即

为所求，故8正确；

对于C,f(x)=-1>0(x>0)恒成立，故f(%)在(0,+8)上是增函数,且/(%)m沅=/(0)=1,

故t>1,

设与<0<%2，若%1+%2>0,即％2>—>0,即f(%i)=/(%2)>/(一％1)，

令F(x)=/(%)—/(—X),%<0,则F，(x)=ex+e~x—2>2Vex-e~x—2=0,故F(%)在(—8,0)

上是增函数，结合F(0)=0,

故X]<0时,/(%!)<f(一％1)，故+x2>0不成立,。错误；

对于D,因为/(%)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，9(%)在(0,1)上递减，在(1,+8)上

递增,

则fQ)=g(x)有唯一解%o€(0,1)，而/⑴=e-1<2,所以%2>Xi>1,由=g(%2)，

X1X1

BPe-x1=x2-lnx29即有>(/)=f(ln%2)，所以％1="％2，BPe=x2»

所以券F=W=H又t>2,且(引声=蛆、，

(rzr)m,n=p故。正确.

人2人1c

故选：ABD.

利用复合函数单调性的判断4先分离参数构造不等式，再研究函数的最值，求参数的范围判断B；

利用极值点偏移问题的解题思路，结合构造函数判断CD.

本题考查了导数的综合应用，属于难题.

13.【答案】竽

1

【解析】解：6+：+，工厂的展开式中的常数项为：程区)1-Ci(j)•(ST+C式今2,C2(l)2.

C+O

=20C+竽+4「

=噂

2

故答案为：亨.

利用二项式定理及组合数公式的应用可求得答案.

本题考查二项式定理及组合数公式的应用，属于中档题.

14.【答案】4

【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(J1+4x2-2x)+2,其定义域为R,

/(—x)=ln(V1+4%2+2%)+2，

则f(X)+/(-%)=ln(V1+4%2—2%)+ln(V14-4x2+2%)+4=4,

则/(仞5)+/(lg|)=〃仞5)+f(—均5)=4；

故答案为：4.

根据题意，求出/(一%)的解析式，进而可得/(%)+/(-%)=4,又由f(，g5)+/(lg》=/(加5)+

/(一句5),即可得答案.

本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意分析f(x)+/•(-%)的值，属于基础题.

15.【答案］

【解析】解：因为数列是等差数列，所以直线，过定点。(1,-2).

点C在以力。为直径的圆上运动，力。的中点为E(0,-1),

该圆的方程为+(y+1)2=2,

所以BC的最大值为|BE|+C=3yf2.

故答案为：3^r~i.

由等差数列性质知直线，过定点。(1,-2),根据题意确定C在以AD为直径的圆上运动，并写出圆的

方程，由点到圆心距离求BC的最大值.

本题主要考查数列与解析几何的综合，考查转化能力，属于中档题.

16.【答案】6+8)

【解析】解：由W+i+W+1=2(an+1an-an+i+an),

得a"1+«n=2an+1an-2an+1+2an-1,

即W+i+-2an+1an+2即+1-2an+1=0,

2

即Sn+i-«n)+2(an+1-an)+1=0,

即(％i+i-%i+l)2=0，

所以册+1一+1=0，

BPan+1-an=-1,

所以｛an｝是首项为由,公差为-1的等差数列，

所以Q九=%+(H—1)X(—1)=%—?1+1.

由%+i+(2t+1)耿=0,得a1c-1+(2t+1)0上=0,

所以以=白p即的+(/c-1),(-1)=%-々+1=五9，

MC-I4LIL

又因为五3G(0弓)，

所以6(3〃)使得(0、)包含于%-k+1的取值范围.

当k=1时，a1—k+1€(3,A),不满足题意；

当k=2时，k+lE(2,A—1),不满足题意；

当k=3时，k+lW(1,2—2),不满足题意；

当k=4时，-fc+16(0M-3),

所以a—3>即a>

当心5时，a的取值均大于夕

所以42即4€g+8).

故答案为：E,+8).

化简递推关系，证明数列｛斯｝为等差数列，利用等差数列通项公式求与，化简方程纵+i+(2t+

l)afe=0可得k-1<«1<k-|,列不等式求；I的取值范围.

本恩替主要考查数列的递推式，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由题意，可知S3=%+g+%=%(i+q+q?)=13,①

•・,al=3a6，

•••(aiQ3)2=3&q5,

整理，得由q=3,②

①可治於+q+l_13

②,可行一可

整理得3q2-10q+3=0,

解得q=3,或q=3,

nn

:.an=1-3t=3t,nEN

(2)由题意及(1),可知：

n-1

当九为奇数时，bn=an=3,

n2

当九为偶数时，bn=bn_14-n=an_1+n=3~+n,

口(3九t,九为奇数

13九T+n,n为偶数

：•S2n=瓦+⑦+以+b4d------Fb2n-l+b2n

=(瓦+(+。5+…+=?iT)+⑸+儿+…+b2n)

=(3°+32+34+…+32n-2)+(30+32+34+・・・+32n-2+2+4+6+…+2九)

=2(3°+32+34+…+32n-2)+(2+4+6+…+2九)

1—32n

=2X-9+n(n+1)

9n-i/

=^j—+n(n+1).

【解析】(1)根据题干已知条件及等比数列的通项公式及求和公式可列出关于公比q的方程，解出

公比q的值，进一步计算出首项的的值，即可计算出等比数列｛aj的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果分n为奇数与偶数计算出数列｛%｝的通项公式，再运用分组求和法，等差

数列和等比数列的求和公式，即可计算出数列｛琥｝的前2n项和S2rt.

本题主要考查等比数列求通项公式，以及分组求和法求前律项和问题.考查了方程思想，转化与化

归思想，整体思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运

算能力，属中档题.

18.【答案】解：⑴设4c=1,则4B=2,由三角形内角平分线的性质可得,BD=：BC,CD=^BC.

由余弦定理可得BO?=^BC2=AB2+AD2-2AB-AD-cos?=4+k2-4kcos今

CD2=AC2+AD2-2AC-AD-cos^=^BC2=1+/c2-2kcos^,•••cos4=九.

29224

由于0<AVg・•・0VCOS^<1,即0<累<1,

2224

.-.0<k<l，故求k的取值范围是(0,g).

(2)若S-8C=1=Tb•2b•sinA,sinA=-^<1,b2=—>1.

・•・求BC最短时k的值，.•.只考虑4为锐角或直角时即可，...cosA=71-Sin2/i=

△4BC中，令t=b2,由余弦定理可得SC?=〃+(2b)2-4炉.cosA=5t-4A「笆=I，

可得f(t)=Be?=5t-4"=1，令人，)=5-7缶=0,求得t=|，

当t>冢，［(t)>0,此时函数/(t)单调递增；当0<t<割寸，f(t)<0,此时函数f(t)单调递

减.

・•・当t=|时，函数/⑷取得最小值，即/•(1)=BC?=5x|—(|)2一1=3.

此时cosA=g=2cos2Z.ABD—1,解得COSNABO=。.

此时，k=^os乙480=空，BC的最小值等于q.

【解析】(1)由三角形内角平分线的性质可得，BD=|BC,CD=|BC；在△48。和△AC。中，分

别利用余弦定理可得cosj=累；由于0<4<白，故0<cosj<l,由此解得k的取值范围.

(2)若S-BC=1可得sinA=3.求BC最短时％的值，只考虑A为锐角或直角时即可.可得cos4=

、1-sin2/l=五舁•,在△ABC中,由余弦定理可得：BC2=4a2+a2-4a2-cosA=5a2-

4<^1，令a?=t>0,/(t)=5t-4叱二I，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.

本题考查了三角形内角平分线的性质定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基

本关系式，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难

题.

19.【答案】解：(1)：4BAC=乙BDC=UCD=3乙DBC=^,AB=

AC,

乙DBC=76.

由几何关系得BO=CCO,BC=2CD,AC=^-BC=yflCD.

AC=\/~2CD=Cx击BD=学8。，

记三棱锥4-BCD的高为/t,B到平面4co的距离为3,

则，B-4CD=^A-BCD,

即装“。X3=-SABCDxh)

即3x24C-C。=^BD-CD-h,

即3xAC=BD-/i,

即3x?8D=BD•h，

得九=V-6.

(2)如图，以C为坐标原点，而为x轴正方向，而为y轴正方向，垂直于而，血向上的方向为z轴正

方向，

建立空间直角坐标系C-xyz,

设CO=1,则。(1,0,0),S(l,<3,0)C(0,0,0),

因为CD_LAC,故4在平面Cyz内，设4(0,y,z),

因为14cl=\AB\=y/~2,

V+Z2=2,二:常+/一解得y~~3~BH“n2<3%

则_<6，卬A(0，k，T)

1+(y—V-3)2+z2=2

Z~~

则加=(1,0,0)，方=(0,空争，南=(1,?,一不，

设平面ACD的法向量元=(x,y,z),

则｛亨y+苧z=o,即50+°Cz=0,得'=°，令z=C，则y=-i，

即元=(0,—1,/1)，I下|=q，

记4B与平面4CD所成的角为仇

则sin。=|cos<n,>i”'明_I_匚，

1同|4B|OxC2

因为。<。<看故。=也

所以4B与平面4CD所成的角为

【解析】(1)利用体积法建立方程进行求解即可.

(2)建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.

本题主要考查三棱锥体积的计算，以及线面角的计算，利用体积法以及建立坐标系，求出法向量,

利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题.

20.【答案】解：(1)由题意可知f的可能取值为0,1,2,

P(f=0)=普稳,P"l)=警手，「(1)=寻=希,

故f的分布列为：

012

129433

P

175175175

129,.43,-37

E(f)=°nX175+1X175+2X175=

25

(2)(i)设池塘乙中鱼数为则算=裔，解得爪=200,故池塘乙中的鱼数为200.

3)设池塘乙中鱼数为n,令事件B="再捉20条鱼，5条有记号”，事件C="池塘乙中鱼数为n”，

则匕=「(8|。)=斑第1,由最大似然估计法，即求4最大时71的值，其中nN65,

0n

.Pn+1=(n-49)5—19)

••Pn~5-64)5+1)'

当ri=65,....198时，架〉1,

当M=199时铲=1,

当n=200,201,...时争1<1,

所以池塘乙中的鱼数为199或200.

【解析】(1)根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望；

(2)根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.

本题考查离散型随机变量的概率分布列及期望，是中档题.

21.【答案】(1)解：由于双曲线右焦点为F(2,0),渐近线为y=±Cx，

所以+炉=4,'=y/~3,

解得。2=1,b2=3,

所以双曲线C的方程为：x2-^-=l.

(2)证明：设P(Xi，yi),直线。M与直线QF的交点为(Xo，yo),

设直线BP为y=/c(x-1),

由题可知：0(0,0),B(l,0),F(2,0),

'y=k(x—1)

联立2y2,化简得(3-I)/+21%一攵2一3=(J,

(%-y=1

所以X/B=点，由4=1可得与=点，

那么为=kg-1)=-1)=

2

所以P(言，孝,

由于M是BP中点，所以M(言,言)，

因为OQ〃PB,所以舄=上且和=机解得Q(另k),

因为直线0M与直线