2021-2022学年京改版八年级数学下册第十五章四边形专项测评试题

京改版八年级数学下册第十五章四边形专项测评

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第I［卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，N4+N班NON6/股N6的度数为（）

A.180°B.360°

C.540°D.不能确定

2、菱形力比力的周长是8须，N4BC=6Q°,那么这个菱形的对角线劭的长是（）

A.-J3cmB.cmC.\cmD.2cm

3、如图，在平面直角坐标系中，矩形04%的点/和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，A0=4,直

线1：y=3户2经过点C,将直线/向下平移w个单位，设直线可将矩形小8C的面积平分，则w的值

为（）

y

4、如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形，下列说法错误的是（）

A.梯形的下底是上底的两倍B.梯形最大角是120。

C.梯形的腰与上底相等D.梯形的底角是60°

5、如图，以。为圆心，长为半径画弧别交OM、ON于4、6两点，再分别以/、6为圆心，以。4

长为半径画弧，两弧交于点C,分别连接AC、BC,则四边形。ACB一定是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

6、如图，在长方形4?（力中，46=10cm,点£在线段49上，且4£=6cm,动点夕在线段四上，从点

A出发以2cm/s的速度向点6运动，同时点。在线段BC上.以rcm/s的速度由点6向点C运动，当

△瓦伊与△阳0全等时，r的值为（）

A.2B.4C.4或1D.2或晟

7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

X

8、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（）

(D©0©

A.1个B.2个C.3个D.4个

9、在平行四边形力阅9中，4=30°,那么NZ与4的度数之比为（）

A.4：1B.5：1C.6：1D.7：1

10、下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

第II卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在矩形1时中，对角线4G切相交于点。，AB=6,/%0=60°，点尸在线段4。上从点

1至点0运动，连接小，以加为边作等边三角形初五点后和点4分别位于所两侧，下列结论：

①NBDE=/EFC；②ED^EC；③NADF=NECF；④点£运动的路程是2耳，其中正确结论的序号为

2、如图，正方形4aZ?中，AA2值,己知点后是边力8上的一动点（不与力、6重合）将△力应沿

小对折，点1的对应点为R当如是等腰三角形时，AE=.（温馨提示：•；

（2+73）（2-73）=1.县^=2一6）

3、如图，点尸是矩形48（力的对角线〃■上一点，过点P作牙〃8G分别交四，口于点区F,连接

PB、PD,若AE=2,PF=9,则图中阴影面积为_____；

4、一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个多边形的边数为

5、如图，平面直角坐标系中，有4（3,4）,8（6,0）,。（0,0）三点，以4B,0三点为顶点的平行四边

形的另一个顶点〃的坐标为

九

5-

4-•4(3,4)

3-

2-

1-5(6.0)

।।_______iiiii,»x

-2-1O123456,

-1-

-2-

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、在菱形力中，N48C=60°,。是直线劭上一动点，以力尸为边向右侧作等边阳(4P,E

按逆时针排列)，点6的位置随点夕的位置变化而变化.

(1)如图1,当点尸在线段物上，且点£在菱形力版内部或边上时，连接四则如与"的数量

关系是，g与龙的位置关系是;

(2)如图2,当点P在线段做上，且点f在菱形16切外部时，(1)中的结论是否还成立？若成

立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

(3)当点P在直线加上时，其他条件不变，连接旗.若AB=2小,BE=2M,请直接写出A4图

的面积.

A

cCc

图1图2图3

2、在戊弦中，N//=90°,AC=BC,点〃为四边上一点，过点〃作瓦土48,交回于点£,连

接小，取熊的中点R连接如，CP.

/HzA

d

BEC/---------JBc

图⑴图(2)备用图

(1)观察猜想：如图(1),如与"之间的数量关系是,分与h之间的位置关系

是.

(2)类比探究：将图(1)中的46瓦•绕点8逆时针旋转45°,(1)中的结论是否仍然成立？若成

立，请就图(2)的情形给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)问题解决：若比=38〃=3近，将图(1)中的△顺绕点8在平面内自由旋转，当BELAB

时，请直接写出线段⑦的长.

3、如图，在nABCD中，过点。作DEJLAB于点£,点尸在边CD上，DF=BE,连接4尸，BF.

(1)求证：四边形MDE是矩形；

(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证：A/平分N£)A8.

4、(3)点。为〃1上一动点，则侬所最小值为.

5、已知长方形4%为，。为坐标原点，6的坐标为(8,6),点4C分别在坐标轴上，p是线段比'上

的动点，设.PC=m.

(1)已知点〃在第一象限且是直线y=2x+6上的一点，设〃点横坐标为〃，则〃点纵坐标可用含〃

的代数式表示为,此时若△加少是等腰直角三角形，求点〃的坐标；

(2)直线尸2x+6过点(3,0),请问在该直线上，是否存在第一象限的点〃使△力即是等腰直角

三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由.

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

设物与小1交于点机BE与AC交干点、N,根据三角形的外角性质，可得

NBMD=NB+NF,NCNE=NA+NE,再根据四边形的内角和等于360°,即可求解.

【详解】

解：设旗与以交于点机BE与AC交于点、N,

NBMD=ZB+NF/CNE=ZA+NE,

ZA+Z5+ZC+ZD+ZE+ZF=ZfiW+ZCWE+ZC+ZD,

,?ZBMD+NCNE+NC+ND=360°,

ZA+ZB+NC+ZD+NE+NF=36O。.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质，多边形的内角和，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的

两个内角的和；四边形的内角和等于360°是解题的关键.

2、B

【分析】

由菱形的性质得"=8C=2(cm),OA^OC,OB=OD,ACLBD,再证△力比是等边三角形，得4c=43

—2(cm),则如=1(cm),然后由勾股定理求出仍=6(cm),即可求解.

【详解】

解：•.•菱形力6徵的周长为8期

:.AB=BC=2(cm),OA=OC,OB=OD,ACVBD,

V60°,

.•.△4%是等边三角形，

.'.AC=AB=2cm,

<24=1(cm),

在应△/小中，由勾股定理得：0B=ylAB2-O^—V22-I2—yfi(cm),

，劭=2①=26(cm),

故选：B.

【点睛】

此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质,

勾股定理，等边三角形的性质和判定方法.

3、A

【分析】

如图所示，连接4C,必交于点〃，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到〃是〃1的中点，

从而求出。点坐标为（2,1）,再由当直线y=3x+2经过点〃时，可将矩形以况'的面积平分，进行求

解即可.

【详解】

解：如图所示，连接4G08交于■点、D,

•••。是直线"3》+2与；/轴的交点，

.•.点C的坐标为（0,2）,

'：OA=4,

点坐标为（4,0）,

•.•四边形如8。是矩形，

是〃'的中点,

•••〃点坐标为（2,1）,

当直线y=3x+2经过点。时，可将矩形如比'的面积平分,

由题意得平移后的直线解析式为y=3x+2-相，

/.3x2+2-m=1,

・••机=7,

故选A.

【点睛】

本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩

形中心的直线平分矩形面积.

4、D

【分析】

如图(见解析)，先根据平角的定义可得Nl+N2+N3=180。，再根据N1=N2=N3可求出

Zl=Z2=Z3=60°,由此可判断选项8,。；先根据等边三角形的判定与性质可得

DE=CD,ZCDE=60°,再根据平行四边形的判定可得四边形ABCE是平行四边形，根据平行四边形的

性质可得a=8。，然后根据菱形的判定可得四边形OEFG是菱形，根据菱形的性质可得

DE=EF=AD,最后根据线段的和差、等量代换可得8=4),8C=240,由此可判断选项AC.

【详解】

解：如图，VZ1+Z2+Z3=18O°,Z1=Z2=Z3,

.♦.Nl=N2=N3=60°,

■.■AD\\BC,

ZADC=180°-Zl=120°,

•••梯形A8CD是等腰梯形，

ZABC=Z1=60°,ZBAD=ZADC=120。,CD=CE,

则梯形最大角是120。，选项B正确；

・•・没有指明哪个角是底角，

•••梯形的底角是6()。或12()。，选项D错误；

如图，连接OE,

CD=CE,Z2=60°,

.•.△COE是等边三角形，

:.DE=CD,ZCDE=60°,

,\ZADC+ZCDE=18O°,

.•.点A,。,E共线，

vZABC=Z3=60°,

AB\\CE9

-,-AB=CE,

.•・四边形A5CE是平行四边形，

AE=BC,

vZCGF=ZCD£=60°,

DE||FG,

-EF\\DG,EF=FG,

四边形DEPG是菱形，

:.DE=EF=AD,

:.CD=AD,BC^AE=AD+DE^2AD,选项A、C正确;

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰梯形、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定与性

质是解题关键.

5、B

【分析】

根据题意得到OA=OB=AC=3C,然后根据菱形的判定方法求解即可.

【详解】

解：由题意可得：OA=OB=AC=BC,

•••四边形OACB是菱形.

故选：B.

【点睛】

此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法.菱形的判定定理：①四条边都相等

四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形.

6、D

【分析】

根据题意可知当△口P与△阳。全等时，有两种情况：①当口=阳时，XAPE^XBQP、②当A用BP

时，XAEP^XBQP,分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可.

【详解】

解：当产与△哪全等时，，有两种情况：

①当必=及?时，△//注46少（SIS）,

VAB=\Qcm,AE=6cm,

:.B片A斤6cm,AP=4c/n,

:.BQ=AQ4cm；

♦.•动点。在线段AB1.,从点A出发以2cmls的速度向点8运动,

.•.点P和点。的运动时间为：44-2=2s,

.•/的值为：4+2=2cm/s；

②当力六即时，叫足△80（必S）,

VAB=10c/n,AE=Qcm,

:.AP=BP=5cm,BQ=AB=6cm,

V54-2=2.5s,

A2.5%6,

.12

••仁—.

5

故选：D.

【点睛】

本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关

性质及定理是解题的关键.

7、B

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋

转180。，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的

定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图

形）是解题关键.

8、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：第一个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

第四个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

既是中心对称图形又是轴对称图形的只有1个,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折

叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

9、B

【分析】

根据平行四边形的性质先求出的度数，即可得到答案.

【详解】

解：•.•四边形46切是平行四边形，

：.AD//BC,

斤180°-"150°,

，4B：N/=5：1,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形邻角互补.

10、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】

A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意;

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重

合，则此图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一固定点旋转180度后能够与

原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，固定的点叫对称中心；理解两个概念是解答本题的

关键.

二、填空题

1、①②③④

【分析】

①根据/为C=60°,OD=OA,得出为等边三角形，再由△加£'为等边三角形，得NDOA=NDEF

=60°,再利用角的等量代换，即可得出结论①正确；

②连接应利用SIS证明△为足△加再证明△飒/4。四，即可得出结论②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确；

④延长施•至使0£=①，连接DE',通过△的通△，宏，NDOE=6Q°,可分析得出点尸在线段

加上从点A至点0运动时，点后从点。沿线段OE'运动到E',从而得出结论④正确；

【详解】

解：①设08与E尸的交点为G如图所示：

B

VZZZ4C=60°，OD=OA,

・•・△加〃为等边三角形，

：.ZDOA=Z/)AO=ZADO=60°,

・・・△加之为等边三角形，

・・・N叱=60°,

:・NDOA=/DEF=6C,

・•・ZDGF=ZBDE+ZDEF,ZDGF=NEFC+ZDOA

：.ZBDE=ZEFC

故结论①正确；

②如图，连接第

在△的b和△〃/中,

AD=OD

<ZADF=ZODE,

DF=DE

:.△DA2MDOE(SAS),

:・/DOE=/DAF=6G,

・・・NC勿=180°-N4勿=120°,

：.ZCOE=ZCOD-ZDOE=120°-60°=60°,

：・/COE=/DOE,

在△颇'和中,

OD=OC

-NDOE=/COE,

OE=OE

：./\ODE^/\OCE(必S),

：.ED=EC,NOCE=NODE,

故结论②正确；

③Y40DE=NADF,

：.ZADF=ZOCE,即ZADF=ZECF,

故结论③正确；

④如图，延长施至E,使。£=勿，连接£>£,

•△的总△。庞；ND0E=6Q°,

...点6在线段10上从点力至点。运动时，点£从点0沿线段运动到£,

*/NBDA=90°-ZADB=90°-60°=30°

/.DB=2AD

设ZM=x,则£>8=2x

.•.在心m3中，AD2+AB2=DB2

即x2+62=(2x)2

解得：x=2G

：.OE'=OD=AD=2^,

.•.点K运动的路程是2石，

故结论④正确；

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题主要考查了几何综合，其中涉及到了等边三角形判定及性质，相似三角形的判定及性质，全等三

角形的性质及判定，三角函数的比值关系，矩形的性质等知识点，熟悉掌握几何图形的性质合理做出

辅助线是解题的关键.

2、2

【分析】

当4尸46时，结合正方形的性质可得由折叠的性质可得力仄〃R推出△/如为等边三角

形，得到//妗30°,然后根据勾股定理进行计算；当加阳时，过P作出上16于点尸，过P作

于点G,则四边形4"。为矩形，得到止4代由等腰三角形的性质可得结合正方形

以及折叠的性质可得好/尸g加，则庐=30°,进而求得N必户30°,设丽x,贝I］上4良2x,

E打Wx,然后根据小^户从档户〃进行计算.

【详解】

解：当力尸力6时，

•.•四边形46切为正方形，

:.A±AD,

：.AP^AD.

'：将△/庞沿庞1对折，得到△加

:.A户DP,

:.A六AADP,

・・・△力加为等边三角形，

.•・/力叱60°,

・・・/力陵30°,

:.DE=2AE,

・,•设AE=a,贝！JDE=2〃，

・••在A/AADE中，AD2+AE2=DE\即(26『+/=(24，

・••解得：。=2；

当月尸阳时，过户作/KLZ8于点反过尸作为1_力。于点G,

■:AMAB,

・•・四边形AFPG为矩形,

：.PG-AF.

■:A片PB,PFLAB,

：.AF=^AB=^3.

'：AFAADP,

:・Pg［用三PA®

如图，作〃户的中点财，连接C区

*/NDGP=90。

：.GM=-DP=MP

2

XVGP=；DP

:,GM=MP=GP

・・・AGM尸是等边三角形

JZGPD=60°

•；ZDGP=90°

，N6Z¥=W°.

•・,/加氏N如成90°,NAD六30。,

：.ZAEP=150a，

AZ/^30°.

设止x,则止止2x,E2&x,

/.AE+EP=(2+73)>/3，

尸26-3,

.•.止4斤6.

故答案为：2或4Q-6.

【点睛】

此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方

形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定方法.

3、18

【分析】

作掰L/1〃于加交直于M根据矩形的性质可得S△居kS△他即可求解.

【详解】

解：作局此助于M交BC于N.

则有四边形4目孙四边形"7班四边形的"，四边形切卯都是矩形,

S«A£)C=SaABC，S«AM户

=SdAEP>S.BE=S&PBN>SaPFD=S^PFC=C.PCN，

S矩OHW=S期BEPN，

SA0°=S^PBE=-x2x4=4,

，SM=9+9=18,

故答案为：18.

【点睛】

本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明凡由,=5/£.

4、6

【分析】

根据内角和等于外角和的2倍则内角和是720°利用多边形内角和公式得到关于边数的方程，解方程

就可以求出多边形的边数.

【详解】

解：根据题意，得

(77-2)•180=360X2,

解得：77=6.

故这个多边形的边数为6.

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来

解决.

5、(9,4)、(-3,4)、(3,-4)

【分析】

根据平行四边形的性质得出除6,AD//BO,根据平行线得出4和〃的纵坐标相等，根据6的横坐

标和8。的值即可求出〃的横坐标.

【详解】

•.•平行四边形力风力的顶点4、B、。的坐标分别为(3,4)、(6,0)、(0,0),

:.AD=B86,AD//BO,

〃的横坐标是3+6=9,纵坐标是4,

即〃的坐标是(9,4),

同理可得出。的坐标还有(-3,4)、(3,-4).

故答案为:(9,4)、(-3,4)、(3,-4).

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对边平行且相等.

三、解答题

1、(1)BP=CE,CELBC；(2)仍然成立，见解析；(3)31^

【分析】

(1)连接4C,根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△物整即可证得结论；

(2)(1)中的结论成立，用(1)中的方法证明△砌&△。后即可；

(3)分两种情形：当点。在初的延长线上时或点尸在线段〃6的延长线上时，连接/C交劭于点

0,由N6390°,根据勾股定理求出位的长即得到即的长，再求40、P0、外的长及等边三角形

4也的边长可得结论.

【详解】

解：(1)如图1,连接4G延长〃■交朋于点〃，

图1

•.•四边形是菱形,

:.AB=BC,

VZABC=60°,

...△/I6C是等边三角形,

：.AB=AC,ZBAC=60°；

•.•△4阳是等边三角形，

：.AP=AE,/为3=60°,

：.ZBAP=ZCAE=60°-ZPAC,

:.XBA恒&CAE(必S),

：.BP=CE；

•••四边形/腼是菱形，

：.ZA3P^^ZABC=30a,

:.NABP=NACE=3C,

VZJ6Z?=60°,

:.NBCE=6Q°+30°=90°,

J.CEVBC-,

故答案为：BP=CE,CELBQ

(2)(1)中的结论：BP^CE,加力。仍然成立，理由如下:

如图2中，连接AC,设CE与交于H,

:菱形ABCD,NMC=60°,

.•.△48C和徵都是等边三角形,

：.AB=-AC,/胡"=120°,/BAP=120°+4DAP,

•.•△4也是等边三角形，

：.AP=AE,/〃!£1=60°,

.".ZG4f=6O°+60°+ZDAP=120°+NDAP,

：.ZBAP=ZCAE,

:.XAB2XACE(S4S),

：.BP=CE,/ACE=NABD=30°,

：./DCE=30°,

•；/A9C=60°,

：.ZDCE+ZADC=90°,

.*.ZC7®=90°,

:.CELAD；

...(1)中的结论：BP^CE,血力〃仍然成立；

(3)如图3中，当点P在胡的延长线上时，连接丝交放于点0,连接圆BE,作品1征于凡

♦.•四边形板〃是菱形，

：.ACLBDBD平分NABC,

,：AABC=&Q°,AB=20

:./AB0=3Q°,

：.AO=^AB=^,OB=WAO=3,

.•.如=6,

由（2）知CELAD,

'：AD//BC,

：.CEVBC,

,:BE=2M,BC=AB=2币,

•*.CE="（2炳）2一（2病2=8,

由（2）知BP=CE=8,

：.DP=2,

.•.耽5,

•*-AP=JOA'+O产=7（\/3）2+52=2币,

火是等边三角形，

立X（2万）2=7上，

如图4中，当点尸在的的延长线上时，同法可得44gV+o尸=&亚W=2而,

5ktt»=--X(2A/JT)=31@>

4

【点睛】

此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股

定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联

系起来，此题难度较大，属于考试压轴题.

2、(1)PD^PC,PD1PC；(2)成立，见解析；(3)2或4

【分析】

(1)根据直角三角形斜边中线的性质，可得=根据角之间的关系即可即可求

解；

(2)过点〃作〃以4?交6c的延长线于7,交4c于点“根据全等三角形的判定与性质求解即可；

(3)分两种情况，当点£在比的上方时和当点£在花■的下方时，过点。作掰J_%于0,利用等腰

直角三角形的性质求得尸。，即可求解.

【详解】

解：⑴VZACB=90a,AC=BC,

，ZBAC=ZABC=45°,

'：DELAB,

：.ZADE=NBDE=ZACB=90°,

•.•点〃为/£1的中点,

DP=—AE=CP=AP,

2

：.ZPDA=ZPAD,ZPAC=ZPCAf

：.ADPC=ZDPE+NCPE=2ZDAP+2ZCAP=2ZDAC=90°,

・・・PDLPC

故答案为：PD=PC,PDLPC.

(2)结论成立.理由如下：

过点〃作PTUB交■的延长线于T,交北于点0.

则ZAPO=ZBPT=ZOCT=90°

AZA=ZAOP=45°,ZCOT=ZAOP=45°

PA=PO9OC=CT,zero=45°

由勾股定理可得：OT=yf2CT

：.ZPBT=zero=45°

：.PB=PT

：.PE+BE=OP+OT

•・•点/为四的中点,

・・・PA=PE=PO

：.BE=OT

在.RSBDE中,BD=DE,

:.BE=®BD,ZDBE=NT=45。

，-J1CT=叵BD

：.CT=BD

：.ADBPACTP(SAS),

?.PD=PC,NBPD=NCPT,

：.NDPC=NBPT=9Q。,

：.PDVPC.

(3)如图3-1中，当点5在回的上方时，过点。作切，比1于0.

则0后〃「。〃仁PE=PA

：.DQ=CQ

BC=3BD=3近

,CD=4近

由(2)可得，PDLPC,PD=PC,二APC£＞为等腰直角三角形

PQ=^CD

：.PQ=；CD=DQ=26

由勾股定理得，PC=PD=4

图3-2

如图3-2中，当点£在比1的下方时，同法可得。。=必=2.

综上所述，/T的长为4或2.

【点睛】

此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌

握相关基本性质，做辅助线，构造出全等三角形.

3、(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)先证明四边形是平行四边形，结合小，43,从而可得结论；

(2)先证明NDE4=NE4B,再求解BC=5,证明AE>=BC==5,证明ND4/=NO必，从而可得结

论.

【详解】

(1)证明：・•・四边形ABCD是平行四边形，

:.AB//CD.即防〃

■.BE//DF,BE=DF,

四边形8反犯是平行四边形.

-.DE1AB,

:.ZDEB=90°,

•••四边形3FDE是矩形；

(2)•.•四边形A8CO是平行四边形，

:.AB//DC,

:.ZDFA=^FAB.

■■■四边形8FDE是矩形；

\?DFB90??BFC,

在RrABCF中，由勾股定理，得BC=#=同=用/=5，

：.AD=BC=DF=5,

：.ZDAF-ZDFA,

:.ZDAF=ZFAB,

即A/平分ND43.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，证明四边

形8FDE是平行四边形是解(1)的关键，证明A£>=8C=D尸=5是解(2)的关键.

4、见解析

【分析】

(1)根据折叠的性质可得：Z1=Z2,再由矩形的性质，可得N2=N3,从而得到N1=N3,即可求

解；

(2)设法x,则［后上8-x,再由勾股定理，可得旌3,从而得到诋5,即可求解；

(3)连接加，根据折叠的性质可得△比侬△比R从而得到正如，进而得到当点尺P、8三点共

线时，PE+PF最小,最小值为期'的长，再由勾股定理，即可求解.

【详解】

(1)解：是等腰三角形，理由如下:

如图,

由折叠可知，Z1=Z2,

•••四边形48徵是矩形，

：.AB//CD,

.\Z2=Z3,

.*.N1=N3,

：.AF=CF,

是等腰三角形；

(2):四边形力四是矩形且4左8,3(=4,

：.AD=BO^,CD=AB=8,/介90°,

设F2x,贝ij仍华8-x,

在Rt/\AFD中，根据勾股定理得短+D"A户,

.,.42+?=(8-x):

解得尸3,即〃片3,

...<72=8-3=5,

S,rF=-2-CF-AD=-2x5x4=10；

(3)如图，连接期,

根据折叠得：C^CB,/EC叫乙BCP,

'：CP=CP,

，丛EC2XBCP,

：.PE^PB,

：.PE+Pf^PE+PB,

，当点F、P、6三点共线时，PE+PF最小,最小值为M的长，

由（2）知：C广5,

■:BO4,Na衿90°,

工BF=JBC。+CF?="2+5?=标>

即侬所最小值为标.

【点睛】

本题主要考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键.

<2022A

5、（1）点〃（4,14）；（2）存在第一象限的点〃使力是等腰直角三角形，点，的坐标或

（28381

【分析】

（1）过点〃作瓦工了轴于6,杼Ly轴于凡设〃点横坐标为〃，点。在第一象限且是直线y=2x+6

上的一点，可得点〃（〃,2加6），根据如是等腰直角三角形，可得NED小NE4P,可证

△曲之△QIP（AAS）,可得AB=PF,ED=FA,再证四边形"7方为矩形，得出点。"，14）,根据点2

在直线y=2x+6上，求出炉4即可；

（2）直线y=2x+6过点（3,0）,求出6=-6,设点，（x,2尸6）,分三种情况当/力。片90°,

AD=DP,△力如为等腰直角三角形，证明△£的丝△/=/少（AAS）,再证四边形0*61为矩形，EF=0O8,

得出如耍x+2x-14=8；当N/1勿=90°,AP=DP,卯为等腰直角三角形，先证△/台国△他

（AAS）,得出CI^CB+PF-P^+S-（『8）=22-产2廿6；当/以。90°,AP^AD,△/分为等腰直角三角

形，先证四边形"7方为矩形，得出外X后8,再证△力（AAS）,得出2x-6=14求解方程即

可

【详解】

解：（1）过点〃作班Ly轴于反根Ly轴于E

设〃点横坐标为n,点〃在第一象限且是直线y=2x+6上的一点，

x^n,尸2〃+6,

.•.点D（/?,2山6）,

♦.•△力即是等腰直角三角形，

：.DA=AP,/%片90°,

二/%后/用片180°-NZZ4片90°,

•.•比1y轴，分1y轴，

：.ZDEA=ZAFP=90a,

.,./曲+/%尺90°,

：.ZEDA=ZFAP,

在△砌I和4ai尸中，