初中升高中数学衔接：教材12讲配答案

初高中数学衔接教材

编者的话

高中数学难学，难就难在初中教材与高中教材之间剃度过大，因此我们要认真搞好初高

中数学教学的衔接，使初高中的数学教学具有连续性和统一性。

现有初高中数学教材存在以下“脱节”：

1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；

2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的

涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用

到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函

数、不等式常用的解题技巧；

5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中那么是贯穿整个数学教

材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域1取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、

求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基此题型和常用方法;

6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不

作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的

相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；

7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，那么作为必备的根

本知识要领；

8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中那么作为重点，并无专

题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；

9、几何中很多概念（如三角形的四心：重心、内心、外心、垂心）和定理（平行线等分

线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没

有去学习；

10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中那么在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,

甚至老师根本没有去延伸开掘，不利于高中数学的学习。

高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。初中毕业生以

较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，学习成绩大幅度下降，出现了严重的两

极分化，心理失落感很大，过去的尖子生可能变为学习后进生，甚至，少数学生对学习失去

了信心。初中数学教学内容作了较大程度的压缩、上调，中考难度的下调、新课程的实验和

新教材的教学，使高中数学在教材内容以及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，使得

原来的矛盾更加突出。高中教材从知识内容上整体数量较初中剧增；在知识的呈现、过程和

联系上注重逻辑性，且数学语言抽象程度发生了突变，教材表达比拟严谨、标准而抽象。知

识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，表达了“起点高、难度大、

容量多”的特点。其次，初中难度降低，有中考试卷的难度降低作保障；而高中由于受高考

的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度并没有降低。

因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而

加大了。如现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低

了，那些在高中学习中经常应用到的知识，如十字相乘法、分组分解法等内容，都转移到高

一阶段补充学习。这样初中教材就表达了“浅、少、易〃的特点，但却加重了高一数学的份

量。在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教

师所讲例题类型，一般均可对号入座取得中考好成绩。而高考要求那么不同，有的高中教师

往往用高三复习时应到达的类型和难度来对待高一教学，造成了轻过程、轻概念理解、重题

量的情形，造成初、高中教师教学方法上的巨大差异，中间又缺乏过渡过程，至使新生普遍

适应不了高中教师的教学方法。

高中许多知识仅凭课堂上听懂是远远不够的，还需要认真消化。这就要求学生具有较强

的阅读分析能力和自学理解能力。因此，在初、高中数学教学衔接中，教师要有意识地指导

学生阅读数学课本，通过编拟阅读提纲，帮助学生理解和掌握数学概念，对某些简单章节内

容的教学，可组织阅读讨论，以培养学生的自学理解能力以及独立钻研问题的良好习惯，引

导学生主动参与观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使学生形成有效的学习

策略。

新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我

们会不断的研究新课程及其体系，将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的缺乏,

加以补充和完善。

我们的目标是使所有的学生在努力之后，都能摘到相应的果实，所以我们要不惜时间与

精力，进行初高中数学教学的衔接，让“衔接教学”更好地为高一新生铺设一条成功的路。

南侨中学高一数学备课组

目录

第一章数与式

1.1数与式的运算

1.1.1乘法公式..........................................................3

1.1.2分式..............................................................4

1.2分解因式.........................................................5

第二章二次方程、二次函数与二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式.......................................................11

2.1.2根与系数的关系...................................................13

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=ax?+bx+c的图像和性质..................................19

2.2.2二次函数的三种表达方式...........................................25

2.3一元二次不等式的解法..............................................28

第三章相似形、三角形

3.1相似形

3.1.1平行线分线段成比例定理...........................................33

3.1.2相似三角形形的性质与判定.........................................36

3.2三角形

3.2.1三角形的四心、..................................................40

3.2.2几种特殊的三角形............................................43

课后练习与习题答案.....................................................46

1.1数与式的运算

1.1.1乘法公式

我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式：

(1)平方差公式(。十份(。一〃)=/一〃；

(2)完全平方公式=。2±2。/?+〃。

我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式:

m立方和公式(。+b)(a2一。。+Z??)=；

(2)立方差公式(Q—〃)(/+Clb+

(3)三数和平方公式(〃+匕+c)2=/++/+2(ab+bc+ac)；

(4)两数和立方公式(。+b)3=/+2a2b+3ab2+h3；

(5)两数差立方公式(a-bY=/-3/〃+-。

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。

例1计算：(X+1)(%-1)(X2-X+1)(X2+X+1)o

解法~1：原式二(%2—1)[(X?+1)~—尤之]二(X2—1)(X4+X2+1)=%6-1o

解法二：原式二(%+1)(%2一%+1)(一一1)(72+x+1)=(X3+1)(X3-1)=X6-1o

例2a+〃+c=4,ab+bc+ac=4,求a,+/+c?的值。

^5^：Q~+h~+c~=(Q+Z?+c)~—2(QZ?+be+QC)=80

练习：

1.填空：⑴-a2--b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4m-b>=16"/+4加+()；

2222

(3)(a+2b-c)=a+4Z?+c+()0

2.选择题：11)假设f+Lnr+k是一个完全平方式，那么左等于()

2

A、m2B、—m2C、—nrD>-nV

4316

(2)不管a,。为何实数，4+〃一2。一4b+8的值()

A、总是正数B、总是负数C、可以是零D、可以是正数也可以是负数

1.1.2分式

1.分式的意义：形如些的式子，假设8中含有字母，且8/0,那么称&为分式。

BB

当，狂o时，分式4具有以下根本性质：4=公竺；4=41竺。

BBBxMBB^M

a

2.繁分式：像一白一，空誓这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

c+d2/77

〃+P

例1假设」-=4+—上，求常数A8的值。

x（x+2）xx+2

..ABA(x+2)+Bx(A+3)x+2A5x+4.A+8=5,解得七:

•--1-----=------------=------------=-------,.•

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)12A=4,

例2(1)试证：一-—=±-一—（其中〃是正整数）；（2）计算：…

〃(〃+1)n〃+11x22x39x10

(1)证明：-一!一=%止^=—1—,^=工-二一(其中〃是正整数)成立。

n〃+1〃(〃+1)〃(〃+1)〃(〃+1)nn+1

⑵解：由(1)可知----1-----F…-I------=(1)+(----)+•••+(------)=1---=

1x22x39x102239101010

练习:

1.对任意的正整数〃，一1—=一（--——）;

〃（"+2）n〃+2

1111

2.计算:----1------1F•••H

1x32x43x5----9x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应

了解求根法及待定系数法。

1、提取公因式法

例1分解因式：⑴a2(b-5)+a(5-b)(2)x3+9+3x2+3%

解:(1)a2(b-5)+a(5-b)=a2(b-5)-a(b-5)=a(b-5)(a-1)

23222

(2)?+9+3X+3X=(X+3X)+(3X+9)=X(X+3)+3(A:+3)=(X+3)(X+3)O

或x3+9+3*+3x=(V+3/+3x+l)+8=(x+l)3+8=(x+1)3+23

=[(x+l)+2][(x+l)2-(x+l)x2+22]=(x+3)(x2+3)

练习：

一、填空题：1、多项式6/y-2孙2+4孙z中各项的公因式是o

2、m(x-y)+n(y-x)=(x—y)»。

3、m(x-y)2+n(y-x)2=(x-y)2・。

4、m(x-y-z)+n(y+z—x)-(x-y—z)*。

5、m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z),。

6、-13ab2x6-39a3b2x5分解因式得。

7.计算99?+99=

二、判断题：(正确的打上“J”,错误的打上"X")

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bm+m=m(a+b)()

3、-3丁+6x?-15x=-3x(x?+2x-5)()4、x"+x"~'=x"-1(x+1)()

2、公式法

例2分解因式：(1)-a4+16(2)(3x+2y)J(x-»

解：(1)-«4+16=42-(«2)2=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+«)(2-a)

(2)(3x+2y)2-(x-'J=(3x+2y+x-y)(3x+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)

练习

一、a2-2ab+b2,a2-b2,浮一03的公因式是。

二、判断题：(正确的打上“J",错误的打上"X")

1、/一0.01=@)—(0.1)2=&+0.山*0.1]()

2、9a2-862=(34)2—(48)2=(3a+4b)(3a—4/?)()

3、25/一166=(5a+46)(5a-46)()

4、-x2-y2=-(x2-y2)--(x+y)(x-y)()

5、-0+0)2=(Q+〃+C)(Q_0+C)()

五、把以下各式分解

1、-9(m-H)2+(m+H)22、3x2--

2

3、4-(X-4X+2)T4、X4-2X2+1

3、分组分解法

222

例3分解因式：(1)x-xy+3y-3x(2)2x+xy-y-4x+5y-6o

解：(1)x1—xy+3y—3x=(x2-xy)+(3y-3x)=x(x-y)-3(x-y)=(x-y)*(x-3)

或/一；Q，+3y—3x=(x?-3x)+(-9+3y)=x(x-3)-y(x-3)=(x-3)>(x-y)

(2)2x2-\-xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-^2+5y-6

=2x2+(y_4)x_(y-2)(y_3)=(2x-y+2)(x+y-3)。

或2/+xy_y2_4x+5y-6=(212+xy-y2)-(4x-5y)-6=(2x-y)(%+^)-(4%-5y)-6

=(2x—y+2)(x+y—3)0

练习：

用分组分解法分解多项式

(1)X2-y2+a~-b~+2ax+2by(2)a2-4ab+4b2-6a+l2b+9

4、十字相乘法

例4分解因式：

2222

(1)x—3x+2；(2)x+4x—12；(3)x-(a+b)xy+aby；14)xy-\+x-yo

解：(1)如图1.1-1,将二次项V分解成图中的两个”的积，再将常数项2分解成一1

与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是f—3x+2中的一次项，所

以，有/—3x+2=(x—1)(x—2)o

图1.1-1图1.1-2图1.1-3图1.1-4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1—1中的两个x用1

来表示(如图1.1—2所示)。x—i

(2)由图1.1—3,得/+4x—12=(x-2)(x+6)oy1

图1.1-5

(3)由图1.1—4,W^v2-(«+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)

(4)xy-l+x-^=xy+(x—y)—1=(x—1)(y+1)(如图1.115所示)。

练习

一、填空题：1、把以下各式分解因式：

⑴无2+5x—6=o⑵x~—5x+6=

⑶x2+5x+6=o⑷x~-5x—6二

⑸x1-[a+\)x+a=o(6)X2-11X+18=

⑺f)x~+7x+2—0(8)4m2-12m+9=

⑼5+7x-6/=______________o(10)12x2+初一6)2

2、x~-4-x+-(x+3*x+)

3、彳段设X?+ax+0=(x+2)(x-4)那么a=,h-。

二、选择题：(每题四个答案中只有一个是正确的)

1、在多项式(1)X2+1X+6(2)X2+4X+3(3)x2+6x+S⑷x2+1x+l0,⑸%2+15%+44

中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式"+8"-33/得()

A、(a+ll)(a—3)B、(a+\\b)[a-3b)C、(a-ll£»)(a-3i»)D、(«-ll£>)(a+3&)

3、Q+»2+8(a+8)-20分解因式得()

A、(a+b+10)(a+b-2)B、(a+0+5)(a+》-4)

C、(a+b+2)(a+0-10)D、(a+£>+4)(a+0-5)

4、假设多项式V—3x+a可分解为(x-5)(x-。)，那么。、人的值是()

A、”=10,h-2B、a=10,/?=—2C>a=—10,b=—2D、a=—10>b-2

5、假设x?+/nx-10=(x+a)(x+A)其中a、8为整数，那么加的值为()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把以下各式分解因式

1、6(2p-4-11(q-2p)+32、ay—5a1b+6ab1

3、2/-4y-64、Z?4-2/72-8

5、关于x的二次三项式ax2+8x+c(aW0)的因式分解。

假设关于x的方程以2+法+c=0("0)的两个实数根是用、々，

那么二次三项式依2+fex+c(a工0)就可分解为a(x-尤1)(工-々)。

22

例5把以下关于x的二次多项式分解因式：(1)X+2X-1；⑵x+4xy-4/o

解：(1)令—+2x—1=0,那么解得看=一1+夜，/=—1一0,

2

X+2X-1=[X-(-1+V2)][X-(-1-A/2)]=(X+1-V2)(X+1+V2)O

(2)令f+4盯—4)3=0,那么解得玉=(—2+2夜)y,%=(—2—2夜)y,

x2+4xy-4j2=[x+2(1-V2)>>][%+2(1+V2)y]。

练习L选择题：多项式2/一孙-15：/的一个因式为()

(A)2x-5y⑻x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)，+6x+8(2)8a3-Z?3

(3)第一2x—1(4)4(x-y+1)+y(y-2x)

习题1.2

1.分解因式：

⑴/+1=

(2)4X4-13X2+9；

⑶b2+c2+2ab+2ac+2bc；

⑷+5孙-2y2+*+9y一4。

2.在实数范围内因式分解:

(1)%2-5x+3；⑵£-2瓜-3；

⑶3x2+4xy-y\⑷(X2-2X)2-7(X2-2X)+12O

2-2-

3.分解因式：x+x(aa)o

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：

(1)X2+2X-3=0；⑵V+2X+1=0；(3)x2+2x+3=0o}

用配方法可把一元二次方程ax2+8x+c=o(aWO)变为(工+女产=生二竺①

2a4a-

4.a2>0o于是

(1)当N—4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数

根占2=也也三至；(2)当4ac=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等

2a

的实数根X|=》2=—2；(3)当Z?2-4acV0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左

2a

边*+2)2一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。

2a

由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根的情况可以由下一《ac来判定，

我们把4ac叫做一元二次方程++1+户。(aWO)的根的判别式，通常用符号

来表示。

综上所述，对于一元二次方程。/+8犬+c=0(aWO),有

(1)当△>()时，方程有两个不相心+-+c=0等的实数根的2=一"±''一4竺;

2a

h

(2)当△=()时，方程有两个相等的实数根，x,=x=-—；

22a

(3)当△V0时，方程没有实数根。

例1判定以下关于x的方程的根的情况〔其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方

程的实数根。

(1)x2—3x+3=0；(2)x2—ax—1=0；

(3)x2—+(«—1)=0；(4)x2~2x+a=0o

解：(1)•.•△=32—4X1X3=—3V0,.•.方程没有实数根。

⑵该方程的根的判别式A=a2—4X1X(—l)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等

1V口a+>/〃-+4a—ci~+4

的实数根玉=---------，x2=---------o

(3)由于该方程的根的判别式为△=a2—4XlX(a—l)=a2—4a+4=(a—2)2,

所以，①当a=2时，△=(),所以方程有两个相等的实数根用=吊=1;

②当aW2时，△>(),所以方程有两个不相等的实数根不=1,x?=a—l。

(4)由于该方程的根的判别式为A=22-4XlXa=4-4a=4(l—a),所以

①当A>0,即4(1—a)>0,即aVl时，方程有两个不相等的实数根％=1+VT工,

与=1-J1-a；

②当△=（）,即a=l时，方程有两个相等的实数根为=泾=1；

③当AVO,即a>l时，方程没有实数根。

说明：

在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题

过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。

分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运

用这一方法来解决问题。

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

-b±7b2-4ac

假设一元二次方程以2+"+。=0EWO）有两个实数根x

1.2~2a

司Ky右—b+Nb--4ac—b—ylb~-4-uc—2bb

12la2a2aa

-b+\jb2-4ac-b-yjh2-4acb1-（b2-4ac）4acc

XiX-y=•="Z-=-O

2a2a4a~4a~a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：

卜r

如果ax2+Ax+c=0（a#0）的两根分别是七，X2，那么X|+%2=——,X1•X=—O这

a2a

一关系也被称为韦达定理。

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程/+px+q=0,假设七，9是其两根，由

=

韦达定理可知，xt+x2=—p,xx-x2=q,即P=一（七+%2），QXx-x2,

所以，方程苫2+0彳+g=0可化为――（修+了2）x+玉=°，由于x”它是一元二次方

程*+0x+g=0的两根，所以，为，也也是一元二次方程/一（七+%2）x+占=0。因此有

以两个数%/为根的一元二次方程（二次项系数为1）是/一（/+/）了+马・光2=0。

所以，方程的另一个根为一士，A的值为一7。

5

例2方程5/+依一6=0的一个根是2,求它的另一个根及A的值。

分析：由于了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出A的值，再由方程解出另一

个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于了方程的一个根及

方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求

出A的值。

解法一：二”是方程的一个根，.•.5X22+4X2—6=0,.•/=-7。

所以，方程就为5*—7矛一6=0,解得/=2,x2=—|o

解法二：设方程的另一个根为马，那么2x2=-t，，£=—|。

3k3

由（一士）+2=--,得k=-70所以，方程的另一个根为一士，4的值为一7。

555

例3关于x的方程^十2（加一2）*+苏+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和

比两个根的积大21,求加的值。

分析：此题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于加的方

程，从而解得加的值。但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此,

其根的判别式应大于零。

解:设X”々是方程的两根，由韦达定理，得/+%2=-2（加一2）,%1-x2=m+4o

222

Vx,4-x2—xx-x2=21,（x,+x2）—3x,-x2=21,

2

BP[—2（/z?-2）]—3（/w+4）=21,化简，得力2—16加-17=0,解得R=—1,或加=17。

当勿=一1时，方程为/+6X+5=0,A>0,满足题意；

当加=17时，方程为》2+30x+293=0,A=302-4XlX293<0,不合题意，舍去。

综上，〃=17。

说明：(1)在此题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的力的范

围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21〃求出加的值，取满足条件的R的值

即可。

(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式△是

否大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。

例4两个数的和为4,积为一12,求这两个数。

分析：我们可以设出这两个数分别为x,八利用二元方程求解出这两个数。也可以利

用韦达定理转化出一元二次方程来求解。

解法一：设这两个数分别是x,y,那么f+y=4⑴解得：.../=一2，，

xy=-12(2)[乂=6,

«々=6，因此，这两个数是一2和6。

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程f—4x—12=0的两个根。

解这个方程，得天=-2,々=6。所以，这两个数是一2和6。

说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷。

例5假设阳和乙分别是一元二次方程2-+5x—3=0的两根。

33

(1)求lx1一/I的值；(2)求士•+」的值；(3)Xj+x2o

xjx2

53

解：,.•/和Xj分别是一兀二次方程2/+5x—'3=0的两根，二内=一不，玉%2=-：。

一爽(—3=至+6=丝,

IXj-x\~=X\^X：—2X]・工2=(%+/2)2-4再-x=

22244

71_]，xj+42_(%+%)2_2X/2_(—/厂―2x(—2)_a+3，37

—

••|x.I——o(2)彳2+年一心％2一(中2)2—_3一2一9

2()2

3222

(3)x/+x2=(X[+X22)(x]—x}-x2+x2)=(Xj+x2)[(Xj+x2)-3x,-x2]

=(—2)X[(—3)2—3X(—3)]=—"。

2228

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一

个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设不和莅分别是一元二次方程ax?+bx+c=Q(aWO),

那么玉/+扬-4竺_-b-\jb2-4ac

2a2a

-b+J/-4ac-b-y/b2-4ac2y!b2-4ac_yjh2—4ac_VZ

———o

2a2a2a\a\\a\

于是有下面的结论：

假设用和々分别是一元二次方程a/+6x+c=0(a#0),那么|修-々1=返(其中卜=目

\a\

-4ac)o

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。

例6假设关于x的一元二次方程——X+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求实

数a的取值范围。

解：设/，々是方程的两根，那么尤1・X2=a—4<0,且△=(一1尸一4(a—4)>0。

17

由①得aV4,由②得aV了。，a的取值范围是aV4。

练习

1.选择题：

⑴方程26^+3/=0的根的情况是(〕

(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根

(2)假设关于x的方程机/+(2〃2+l)x+〃z=0有两个不相等的实数根，那么实数相的

取值范围是()

(A)m<-(B)m>~-(C)m<-,且〃zWO(D)〃?>一,，且机WO

4444

2.填空：

(1)假设方程/—3x—1=0的两根分别是小和如那么，+-L=。

玉%

⑵方程加+x—2加=0(/W0)的根的情况是o

(3)以一3和1为根的一元二次方程是。

3.假设Ja2+8r+]6+|"—1|=0,当在取何值时，方程4元?+@犬+6=0有两个不相等实数

根

4.方程元2—3x—1=0的两根为再和4，求(再一3)(劣―3)的值。

习题2.1

A组

1.选择题：(1)关于x的方程2=0的一个根是1,那么它的另一个根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)以下四个说法：其中正确说法的个数是()个(A)1(B)2(C)3(D)4

①方程/+2x—7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；

②方程/—2x+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；

③方程3/-7=0的两根之和为0,两根之积为一」；

3

④方程3/+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0。

(3)关于x的一元二次方程a——5x+a2+a=0的一个根是0,那么a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：(1)方程4一+4*—1=0的两根之和为一2,那么A=o

⑵方程2*一万一4=0的两根为a,B,那么a2+f32=。

(3)关于x的方程/一分一3a=0的一个根是一2,那么它的另一个根是。

(4)方程2/+2x—1=0的两根为用和尼，那么I为一尼1=o

3.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2/一的加+i)矛+1=0有两个不相

等的实数根有两个相等的实数根没有实数根

4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程7N一1=0各根的相反数。

B组

1.选择题:假设关于x的方程/+(4一1)x+4+l=0的两根互为相反数，那么在的值

为()

(A)1,或一1⑻1(C)-1(D)0

2.填空：(1)假设以，〃是方程父+2005矛一1=0的两实数根，那么病〃+以//一“的值

等于_。

(2)假设a,b是方程F+x—1=0的两个实数根，那么代数式3+才6+劭2+少的值

是O

3.关于“的方程》2一於一2=0。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的

两根为用和物如果2(为+及)＞为吊，求实数A的取值范围。

4.一元二次方程。》2+-+0=0yWO)的两根为及和房。求：门)|为一房1和上士三；

2

⑵X丁十莅3。

5.关于x的方程/+4矛+力=0的两根为为，豆满足|x}-x2\=2,求实数加的值。

C组

1.选择题：

(1)一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2/—8矛+7=0的两根，那么这个直角

三角形的斜边长等于()(A)73(B)3(C)6⑴)9

(2)假设为，也是方程2/—4x+l=0的两个根，那么五+上的值为()

/再

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果关于x的方程/一2(1+加)x+序=0有两实数根a,B,那么a+B的取值范

围为()(A)a+3(B)a+BW，(C)a+B2l(D)a+B〈l

22

(4)a,b,c是△力回的三边长，那么方程c/+(a+6)x+£=0的根的情况是()

4

(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根

(C)有两个相等的实数根⑴)有两个异号实数根

2.填空：假设方程/-8x+加=0的两根为X”x2,且3芯+2%=18,那么力=。

3.司，房是关于x的一元二次方程44/一4版+4+1=0的两个实数根。(1)是否存在实

数在，使(2耳一莅)(耳一2后)=-3成立假设存在，求出A的值；假设不存在，说明理由；

2

（2）求使人+卫一2的值为整数的实数A的整数值；（3）假设A=—2,九=土，试求;I

x2再x2

的值。

2

4.关于X的方程/一（〃2一23-==0。（1）求证：无论R取什么实数时，这个方程总

4

有两个相异实数根；（2）假设这个方程的两个实数根%,而满足|泾|=由|+2,求加的值及

相应的不，在。

5.假设关于*的方程/+x+a=O的根一个大于1、另一根小于1,求实数a的取值范

围。

2.2二次函数

2.2.1二次函数尸a*+6x+c的图象和性质

情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象,如作图(Dy=x2(2)y=

(3)y=/+2x-3教师可采用计算机绘图软件辅助教学｝

问题1函数尸a/与y=/的图象之间存在怎样的关系

为了研究这一问题，我们可以先画出y=2/,y=Lx\尸一2/的图象，通过这些函

2

数图象与函数y=/的图象之间的关系，推导出函数y=ax2与y=Y的图象之间所存在的关

系。

先画出函数产=/,y=2/的图象。

先列表：

X・・・-3-2-10123・・・

X•・・9410149・・・

2x2・・・188202818

从表中不难看出，要得到2*的值，只要把相应的*的值扩大到两倍就可以了。

再描点、连线，就分别得到了函数尸y=2/的图象(如图2—1所示)，从图2—1

我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2/的图象可以由函数y=*的图象各点

的纵坐标变为原来的两倍得到。

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数了=_1/，尸一2/的图象，并研究这两个

2

函数图象与函数y=/的图象之间的关系。

通过上面的研究，我们可以得到以下结论:

二次函数尸a/(aWO)的图象可以由尸/的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。

在二次函数y=a/(a#0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的

开口的大小。

问题2函数尸a(x+力2+4与y=ax2的图象之间存在怎样的关系

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系。同学们

可以作出函数y=2(x+l)2+l与y=2/的图象(如图2—2所示)，从函数的图象我们不难

发现，只要把函数y=2/的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数

尸2(x+lL+l的图象。这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同'’的特点。

类似地，还可以通过画函数y=—3/,y=-35—1)2+1的图象，研究它们图象之间的

相互关系。

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数尸a(x+力)2+4(aW0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；力决定了

二次函数图象的左右平移，而且“力正左移，力负右移"；A决定了二次函数图象的上下平移,

而且“A正上移，A负下移"。

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数尸ax2+8x+c(aW0)的图象的方法：

由于y—ax2+bx+c=a(x2+—x)+c=a(x2+—x+)+(:——

aa4a~4a

/b、2b2-4ac

所以，y=ax2+"+c(aW0)的图象可以看作是将函数尸a/的图象作左右平移、上下

平移得到的，于是，二次函数/=且/+0+。％工0)具有以下性质：

(1)当a＞0时，函数尸a/+6x+c图象开口向上；顶点坐标为(_2，”』)，对

2a4a

Ab__A

称轴为直线户一三当"-五时，y随着*的增大而咸小；当＞一五时，y随着X的增

大而增大；当户总时，函数取最小值