空间向量练习题

3.1.5空间向量运算的坐标表示双基达标限时20分钟1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是()．A．(1，1，1)B．(－2，－3，5)C．(2，－3，5)D．(－4，6，－2)2．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为()．A．0B．6C．－6D．±63．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦为eq\f(8,9)，则λ＝()．A．2B．－2C．－2或eq\f(2,55)D．2或－eq\f(2,55)4．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．5．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则|eq\o(PD,\s\up6(→))|的值是______．6．已知a＝(1，－2，4)，b＝(1，0，3)，c＝(0，0，2)．求(1)a·(b＋c)；(2)4a－b＋2c.综合提高（限时25分钟）7．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|的取值范围是()．8．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则eq\o(BP,\s\up6(→))等于()．A．(eq\f(40,7)，eq\f(15,7)，－3)B．(eq\f(33,7)，eq\f(15,7)，－3)C．(－eq\f(40,7)，－eq\f(15,7)，－3)D．(eq\f(33,7)，－eq\f(15,7)，－3)9．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．10．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CA,\s\up6(→))的夹角θ的大小是________．11．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)．(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC中AB边上的高．12．(创新拓展)在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.证明如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)，D(0，1，0)、A1(0，0，1)、B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、D1(0，1，1)，由中点性质得E(1，1，eq\f(1,2))、F(1，eq\f(1,2)，0)，G(eq\f(1,2)，1，0)、H(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)．(1)3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示双基达标限时20分钟1．对于空间中的三个向量a，b，2a－b.它们一定是()．A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．以上均不对2．若向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成为空间一组基底的关系是()．A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))3．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，则C的坐标是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))4．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为____________．5．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的________条件．6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O，分别以射线OB，OC，AA1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．试写出正方体八个顶点的坐标．解综合提高（限时25分钟）7．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))为()．A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为()．A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)9．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________．10．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))＝c，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．11．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).解12．(创新拓展)已知{i，j，k}是空间的一个基底设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．解3.1.3空间向量的数量积运算双基达标限时20分钟1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()．A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()．A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值为()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．04．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，则cos〈a，b〉＝________．5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．6．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))解综合提高（限时25分钟）7．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为()．A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D.eq\r(6)8．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()．A．30°B．45°C．60°D．90°9．已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．10．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．11．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.证明12．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为eq\r(2).(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为eq\f(π,3)，求侧棱的长．3.1.2空间向量的数乘运算双基达标限时20分钟1．给出的下列几个命题：①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为()．A．0B．1C．2D．32．设空间四点O，A，B，P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则()．A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AP,\s\up6(→))的方向一定相同3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，则x的值为()．A．1B．0C．3D.eq\f(1,3)4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________．5．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝______．6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))是否共线？综合提高（限时25分钟）7．对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝1是P，A，B，C四点共面的()．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(OC,\s\up6(→))等于（）。A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq