初中数学九年级上册 期中数学试卷（含答案）

九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）

1.（3分）下列计算结果等于。的是（）

A.（-1）+（-1）B.（-1）-（-1）C.(-1)X(-1)D.(-1)4-(-1)

2.（3分）下列计算中正确的是（）

A.返=±3B.｛（.5）2=-5=

c.V<6-4D,

3.（3分）下列条件中不能判定A8〃CC的是（）

A.Z1=Z4B.Z2=Z3

C.N5=/BD.N8AO+NO=180°

<x+y=10

4.(3分)已知三元一次方程组(y+z=20,

则x+y+z=()

z+x=40

A.20B.30C.35D.70

5.（3分）已知点M（2x-3,3-x）,在第一、三象限的角平分线上，则M点的坐标为（）

A.（-1,-1）.B.（-1,1）C.（1,1）D.（1,-1）

6.（3分）点、P（xi,yi）和点Q（12,y2）是关于x的函数y=iw？-（2"?+1）x+m+\Cm

为实数）图象上两个不同的点.对于下列说法：

①不论相为何实数，关于X的方程7HX2-（2机+1）]+机+1=0必有一个根为式=1；

②当m=0时，（xi-X2）（yi->2）<0成立；

③当川+^2=0时，若yl+y2=0,则加=-1；

④当，*W0时，抛物线顶点在直线y=-阻+l上.

其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

二、填空题（每小题3分，共18分）

7.（3分）已知有理数人匕满足Q+2）2+\2b-6|=0,贝lja"=.

8.（3分）如图，弹簧总长yCem）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系，则该弹

簧不挂物体时的长度为cm.

9.（3分）在平面直角坐标系中，将点P（-1,4）向右平移2个单位长度后，再向下平移

3个单位长度，得到点P,则点R的坐标为.

10.（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它

的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数

学成就.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得

甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？”

译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱.若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱

数为50；而甲把自己2的钱给乙，则乙的钱数也能为50.问甲、乙各有多少钱？”

3

设甲持钱为X，乙持钱为y,可列方程组为.

11.（3分）若JV1,X2是一元二次方程/-2x-1=0的两个根，则短-X1+/2的值为.

12.（3分）给出下列命题及函数y=x,y=/和y=上的图象.（如图所示）

X

①如图工>“>/,那么o<a<］；

a

②如图。2>4>工，那么a>l;

a

③如图〃>/>上,那么-

a

④如图/>上>“，那么”<-1.

a

则正确的是（序号）.

三、解答题（共5小题，每题6分，满分30分）

13.（6分）（1）化简：x+（5x-3y）-（x-2y）；

（2）已知：如图，AO=3C,AB=DC,求证：ZA=ZC.

14.（6分）Lx=3x+l_3

37

15.（6分）如图：在△ABC中，NC=90°,A£）是NBAC的平分线，DELABTE,尸在

AC上，BD=DF,证明:

（1）CF=EB.

（2）AB=AF+2EB.

16.（6分）一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相

同，将球摇匀.

（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是;

（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树

状图或列表）求两次都摸到红球的概率.

17.（6分）分别在图①，图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）

（1）如图①，已知四边形4BC。为平行四边形，BD为对角线，点P为AB上任意一点,

请你用无刻度的直尺在CD上找出另一点。，使4P=C。；

（2）如图②，已知四边形A8CZ）为平行四边形，8。为对角线，点P为BQ上任意一点,

请你用无刻度的直尺在BD上找出一点。，使BP=DQ.

18.（8分）如图，。为△ABC的BC边上的一点，AB=10,AD=6,DC=2AD,BD=&DC.

3

(1)求BQ的长;

(2)求△ABC的面积.

19.(8分)某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根

据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：

(I)本次参加跳绳测试的学生人数为,图①中m的值为;

(II)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(III)根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生有多少人？

20.(8分)如图，在平面直角坐标系xQy中，一次函数y=/x+5和)，=-2尤的图象相交于

点A,反比例函数y=区的图象经过点A.

X

(1)求反比例函数的表达式；

(2)设一次函数y=lx+5的图象与反比例函数y=K的图象的另一个交点为B,连接

2x

OB,求△ABO的面积.

五.(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.(9分)如图，已知。。的直径为10,点A、B、C在00上，NC48的平分线交。。于

点D.

(1)图①，当BC为OO的直径时，求BO的长.

(2)图②，当BD=5时，求NCOB的度数.

图①图②，

22.(9分)如图，抛物线+法+c(“W0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A

和点2,其中点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴是直线x=l.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点尸是直线8C上方的抛物线上的一个动点，是否存在点尸使四边形4BFC的面

积为15,若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

六.(本大题共12分)

23.(12分)探究：如图1和图2,四边形ABC。中，己知4B=A。，NBAD=90°,点E、

厂分别在BC、C£>上，/EAF=45°.

(1)①如图1,若NB、NAOC都是直角，把AABE绕点A逆时针旋转90°至△AOG,

使AB与AD重合，直接写出线段BE、。尸和EF之间的数量关系；

②如图2,若NB、N。都不是直角，则当NB与NO满足关系时，线段BE、DF

和EF之间依然有①中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；

(2)拓展：如图3,在△4BC中，ZBAC=90°,AB=4C=2&,点。、E均在边BC

上，且ND4E=45°,若BD=1,求Z)E的长.

图3

九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）

1.（3分）下列计算结果等于0的是（）

A.（-1）+（-1）B.（-1）-（-1）

【考点】1G：有理数的混合运算.

【解答】解：小原式=-2,不符合题意;

B、原式=-1+1=0,符合题意；

C、原式=1,不符合题意；

D、原式=1,不符合题意，

故选：B,

2.（3分）下列计算中正确的是（）

A.返=±3B.4（.5）2=-5C.V<6=-4D,旧=-正

【考点】22：算术平方根；24：立方根.

【解答】解：AA/5=3,故本选项错误；

B.J（-5）2=5,故本选项错误；

C”-14无意义，故本选项错误；

。.牛田=_料7，故本选项正确；

故选：D.

3.（3分）下列条件中不能判定AB〃C。的是（）

AD

BCE

A.Z1=Z4B.Z2=Z3

C./5=NBD.N8AD+/£>=180°

【考点】J9：平行线的判定.

【解答】解：A、•••Nl=/4,.•.A8〃CD（内错角相等，两直线平行），故本选项错误;

8、：N2=/3,...AOaBC（内错角相等，两直线平行），判定的不是AB〃C£）,故本选

项正确；

C、：N5=/B,(同位角相等，两直线平行)，故本选项错误;

D.VZBAD+ZD=180°,：.AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)，故本选项错误.

故选：B.

'x+y=10

4.(3分)已知三元一次方程组•y+z=20，则x+y+z=()

,z+x=40

A.20B.30C.35D.70

【考点】9C：解三元一次方程组.

\+y=lO0

【解答】解：(y+z=20②，

z+x=40③

①+&)+③得：2(x+y+z)=70,

则x+y+z=35.

故选：C.

5.(3分)己知点M(2%-3,3-x),在第一、三象限的角平分线上，则M点的坐标为()

A.(-1,-1).B.(-1,1)C.(1,1)D.(1,-1)

【考点】D1：点的坐标.

【解答】解：・.,点M(2x-3,3-x),在第一、三象限的角平分线上，

2x~3=3-x,

解得：x=2,

故2x-3=1,3-x=L

则M点的坐标为：(1,1).

故选：C.

6.(3分)点P(xi,y\)和点Q(%2,”)是关于x的函数y=wx2-(2加+1)x+m+1Gn

为实数)图象上两个不同的点.对于下列说法：

①不论〃2为何实数，关于戈的方程77?/-(2m+1)%+〃?+1=0必有一个根为X=l；

②当机=0时，(加-X2)(yi-”)<0成立；

③当川+%2=0时，若yl+y2=0,则机=-1；

④当相#0时，抛物线顶点在直线y=-L+1上.

其中正确的是()

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征.

【解答】解：当x=1时，y=nv?-(2m+1)x+〃任1-2m-l+〃rM=0,则方程mx2

-(2〃z+l)x+"z+l=0必有一个根为x=l,所以①正确；

当zn=0时，y=-x+1,则yi=-xi+l,y2=~A2+L所以(加-工2)(yi-y2)=(xi-

X2)(-X1+X2)=-(XI-X2)2,而点p(XI,y\)和点。(％2,”)是两个不同的点，则

(xi-%2)(yi-y2)=-(xi-X2)2<0,所以②正确；

2222

当m—~1时，y=-J^+X,贝(Jyi=-xi+xi,yi=-X2+X2f所以yi+”=一x\+x\-JC2+JV2

=-(X1+X2)2+2X\X2+(X1+X2)=2X1JV2W0,所以③错误；

2

当机#0时，顶点的横坐标为2m+l,纵坐标为纲(m+L'-Lm+U_=二工，当产央+1..

2m4m4m2m

时，y=-—x+l=-L2m+1+i=22工所以抛物线的顶点不在直线),=-A-x+i上，

222m4m2

所以④错误.

故选：A.

二、填空题(每小题3分，共18分)

7.(3分)已知有理数。、。满足Q+2)2+|2b-6|=0,则a-匕=-5.

【考点】16：非负数的性质：绝对值；1A：有理数的减法；1F：非负数的性质：偶次方.

【解答】解：；(a+2)2+|26-6|=0,

.*.4Z+2=0»2b-6=0,

解得：a--2,b—3,

则a-b--2-3=-5,

故答案为：-5

8.(3分)如图，弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间是一次函数关系，则该弹

簧不挂物体时的长度为12cm.

【考点】FH：一次函数的应用.

【解答】解：设解析式为y=H+6把（5,14.5）（20,22）代入得：（5k+b=14-5,解

l20k+b=22

之得产.5,

lb=12

所以y=0.5x+12,当x=0H寸，y=12.即弹簧不挂物体时的长度为12cm.

9.（3分）在平面直角坐标系中，将点P（-L4）向右平移2个单位长度后，再向下平移

3个单位长度，得到点P,则点个的坐标为（1,1）.

【考点】Q3：坐标与图形变化-平移.

【解答】解：•••点P（-1，4）向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，

-1+2=1,4-3=1,

点P\的坐标为（1,1）.

故答案为：（1,1）.

10.（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.它

的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中，方程术是《九章算术》最高的数

学成就.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得

甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？”

译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱.若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱

数为50；而甲把自己2的钱给乙，则乙的钱数也能为50.问甲、乙各有多少钱？”

3

x+y=50

设甲持钱为x,乙持钱为y，可列方程组为;

y+1-x=50

O

【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组.

【解答】解：设甲持钱为x,乙持钱为y,

X专=50

根据题意，可列方程组:

2

yfx=50

X玲=50

故答案为：；

丫七谟=50

11.（3分）若xi,X2是一元二次方程/--1=0的两个根，则x/-XI+JC2的值为3.

【考点】AB：根与系数的关系.

【解答】解：也是一元二次方程7-Zr-1=0的两个根,

.\x\+X2=--=2,x\9X2=—=-1.

aa

xi2-x\+x2=x\2-2xi-14-X1+1+X2=1+X1+X2=1+2=3.

故答案为：3.

12.（3分）给出下列命题及函数y=x,y=W和），=工的图象.（如图所示）

X

①如图工>〃>/,那么owl；

a

②如图”2>.>工，那么〃>1；

a

③如图那么-IVaVO；

a

④如图。2>工>小那么“V-1.

a

则正确的是①④（序号）.

【考点】01：命题与定理.

【解答】解：①上>4>/，那么本说法正确;

a

（2）a2>a>—,那么〃>1或-1V〃VO,本说法错误；

a

③。>/>工，那么〃不存在，本说法错误；

a

2

（4）a>—>a9那么a<-1,本说法正确；

a

故答案为：①④.

三、解答题（共5小题，每题6分，满分30分）

13.（6分）（1）化简：x+（5x-3y）-（x-2y）；

（2）已知：如图，AD=BC,AB=DC,求证：ZA=ZC.

【考点】44：整式的加减；L7：平行四边形的判定与性质.

［解答］(1)解：原式=x+5x-x-3y+2y

=5x-y.

(2)证明：U：AD=BC,AB=DC,

・・・四边形ADCB是平行四边形，

・•・NA=NC.

14.(6分)-2x=3x+l_3

37

【考点】86：解一元一次方程.

【解答】解：去分母得：

7(1-2x)=3(3x+l)-63,

7-14x=9x+3-63,

则-23尸-67,

解得：x=旦

23

15.(6分)如图：在△ABC中，ZC=90°,AQ是NBAC的平分线，QE_LAB于E,尸在

AC上，BD=DF,证明：

(1)CF=EB.

(2)AB=AF+2EB.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质.

【解答】证明：(1)是N5AC的平分线，DELAB,DC±AC,

：.DE=DC,

在RtZXCDF和RtZXEDB中,

[BD=DF,

1DC=DE'

：.Rt/\CDF^Rt/\EDB(HL).

：.CF=EB；

(2)是NBAC的平分线，DELAB,DCLAC,

:*CD=DE.

在Rt/XADC与Rt/XADE中，

<fCD=DE>

IAD=AD'

.,.RtAADC^RtAAD£(HL),

：.AC=AE,

：.AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

16.（6分）一个不透明的口袋中装有2个红球、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相

同，将球摇匀.

（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是1；

一2一

（2）先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树

状图或列表）求两次都摸到红球的概率.

【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法.

【解答】解：（1）4个小球中有2个红球，

则任意摸出I个球，恰好摸到红球的概率是上：

2

故答案为：—；

2

（2）列表如下：

红红白黑

红---（红，红）（白，红）（黑，红）

红（红，红）---（白，红）（黑，红）

白（红，白）（红，白）---（黑，白）

黑（红，黑）（红，黑）（白，黑）---

所有等可能的情况有12种，其中两次都摸到红球有2种可能,

则P（两次摸到红球）=2=工.

126

17.（6分）分别在图①，图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）

（1）如图①，已知四边形A8C。为平行四边形，BD为对角线，点P为AB上任意一点,

请你用无刻度的直尺在CD上找出另一点0,使AP=CQ-,

（2）如图②，已知四边形A8C。为平行四边形，BD为对角线，点P为BD上任意一点,

请你用无刻度的直尺在BD上找出一点。，使BP=DQ.

【解答】解：（1）如图①，点。即为所求;

（2）如图②，点。即为所求.

四.（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.（8分）如图，。为△ABC的BC边上的一点，A8=10,A£>=6,DC=2AD,BD=&DC.

（1）求8。的长；

（2）求aABC的面积.

【考点】KS：勾股定理的逆定理.

【解答】解：(1)：AZ)=6,OC=2A£>,

.'.DC=12,

•:BD=2DC,

3

.*.BD=8；

(2)在△AB。中，AB=10,AD=6,BD=S,

"：AB2=AD2+BD2,

...△AB。为直角三角形，GPADA.BC,

VBC=BD+DC=8+12=20,AD=6,

：.SAA8C=工X20X6=60.

2

19.(8分)某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根

据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：

(I)本次参加跳绳测试的学生人数为50,图①中m的值为10；

(II)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(III)根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生有多少人？

图①图②

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W4：中位数;

W5：众数.

【解答】解：(I)本次参加跳绳的学生人数是10+5+25+10=50(人)，

zn=100X-L=10.

50

故答案是：50»10；

(II)平均数是：(10X2+5X3+25X4+10X5)=3.7(分)，

50

众数是：4分；中位数是：4分；

(III)该校九年级跳绳测试中得3分的学生有1200X10%=120(人).

答：该校九年级跳绳测试中得3分的学生有120人.

20.(8分)如图，在平面直角坐标系X。)，中，一次函数y=/x+5和y=-2x的图象相交于

点A,反比例函数)，=区的图象经过点A.

X

(1)求反比例函数的表达式；

(2)设一次函数y=L+5的图象与反比例函数y=K的图象的另一个交点为B,连接

2x

OB,求△ABO的面积.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

'_1

【解答】解：⑴由『亍+5得卜=-2,

,y=-2x皿

(-2,4),

・・,反比例函数y=X的图象经过点A,

x

：.k=-2X4=-8,

...反比例函数的表达式是y=-竺

X

^=_8_

(2)解.7*得卜T或卜T,

尸|x+5卜=4ly=l

：.B(-8,1),

由直线48的解析式为y=L+5得到直线与x轴的交点为(-10,0),

2

.'.S^AOB^—'X10X4-10X1=15.

22

五.(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.(9分)如图，己知。。的直径为10,点A、B、C在。。上，ZC4B的平分线交。。于

点。.

(1)图①，当8C为0。的直径时，求8。的长.

(2)图②，当8。=5时，求NCC8的度数.

【考点】M5：圆周角定理.

【解答】解：(1)为O。直径,

：.ZDBA=90°,NCAB=90°,

,：AD是NCA8的角平分线，

•'•ZDAB=yZCAB=45°-

AZADB=45°,

...△AOB为等腰直角三角形，

'：AD=10,

；.BD=5&.

(2)连接0。、OB,

：。0直径为10,

:.OB=OD=5,

：.BD=5,

：.OB=OD=BD,

...△08。是等边三角形，

AZBOD=60°,

VCD=DB-

AZACD=ZBAD=30Q,

：.ZBAC=60Q,

•.•四边形CABD是圆内接四边形,

：.ZCDB+ZBAC=\SO＜，,

：.ZCDB=120°.

D

图①图,

22.(9分)如图，抛物线＞=«?+法+c(aWO)与)，轴交于点C(0,4),与x轴交于点A

和点8,其中点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴是直线x=l.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点尸是直线8c上方的抛物线上的一个动点，是否存在点尸使四边形A8FC的面

积为15,若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求

二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点.

'c=4

【解答】解：(1)由题意得，,会=1，

Na

4a-2b+c=0

,1

a-T

解得，b=1,

,c=4

则抛物线的解析式为：y=-：+x+4；

2

(2)连接BF、CF、OF,作FGLx轴于点G,

设点尸的坐标为(r,-Lp+f+4),

2

；A(-2,0),抛物线的对称轴是直线x=l,

：.B(4,0).

A5AOBF=—X4X(-JL?+/+4)=、於+2什8,

22

SAOCF——X4Xt=2t,SzxAOC="i«X2X4=4,

22

YS四边形48尸CUSAAOC+SAOBF+SAOC/M-尸+2什8,

由题意得，-P+2f+8=15,

解得，力=1,也=3,

，存在点尸使四边形ABFC的面积为15,此时，点尸的坐标为（1,且）或（3,§）.

22

23.（12分）探究：如图1和图2,四边形ABCD中，已知A8=A£>,/84。=90°,点E、

尸分别在BC、CD上，ZEAF=45°.

（1）①如图1,若/8、NAOC都是直角，把△4BE绕点A逆时针旋转90°至△4OG,

使AB与AO重合，直接写出线段BE、OF和EF之间的数量关系；

②如图2,若NB、NQ都不是直角，则当NB与/£>满足/3+/。=180°关系时,

线段8E、。尸和E尸之间依然有①中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；

（2）拓展：如图3,在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC=2近，点D、E均在边8c

【考点】LO：四边形综合题.

【解答】解：（1）①如图1,

♦.•把AABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG,ZB=ZADG=90°,

VZADC=90°,

ZADC+ZADG=90Q

：.F,D、G共线，

VZBAD=90°,NEAF=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZDAG+ZDAF=45°,

即/EAF=NGAF=45°,

在尸和AGA尸中，

AF=AF

ZEAF=ZGAF

AE=AG

/.△EAF^AGAF(SAS),

:.EF=GF,

,:BE=DG,

EF=GF=DF+DG=BE+DF-,

②解：NB+/£)=180°,

理由是：

如图2,把△ABE绕A点旋转到△4OG,使AB和AD重合,

则AE=AG,NB=NADG,NBAE=NDAG,

；NB+/AOC=180°,

AZADC+ZADG=\SOa,

；.C、D、G在一条直线上，

与①同理得，ZEAF=ZGAF=45Q,

在△EA尸和AGA尸中

'AF=AF

-ZEAF=ZGAF

,AE=AG

.,.△£AF^AGAF(SAS),

：.EF=GF,

•:BE=DG,

:.EF=GF=BE+DF；

故答案为：ZB+ZD=180°；

(2)解：:•△ABC中，AB=AC=2&,/BAC=90°,

.•.NA8C=/C=45°,

=224,

由勾股定理得：BCVAB+AC=

如图3,把△AEC绕4点旋转到△AFB,使AB和AC重合，连接OF.

则AF=AE,NFBA=NC=45°,ZBAF=ZCAE,

,：ZDAE=45°,

AZMD=ZFAB+ZBAD^ZCAE+ZBAD^ABAC-ZDAE=90°-45°=45°

：.ZFAD=ZDAE=45C",

在△砌。和△EA。中

'AD=AD

<ZFAD=ZEAD

AF=AE

：./\FAD^/\EAD(SAS),

：.DF=DE,

设DE=x,则Z)F=x,

BC=4,

.*.BF=CE=4-1-x=3-x,

VZFBA=45°,N4BC=45°,

AZFBD=90°,

由勾股定理得：DF2=BF2+BD2,

/=(3-x)2+l2,

解得：x=2

3

即DE=旦.

考点卡片

1.非负数的性质：绝对值

在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则

其中的每一项都必须等于0.

根据上述的性质可列出方程求出未知数的值.

2.有理数的减法

（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：a-b=a+（-b）

（2）方法指引：

①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；

②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减

数的性质符号（减数变相反数）；

【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.

减法法则不能与加法法则类比,0加任何数都不变,0减任何数应依法则进行计算.

3.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都

必须等于0.

4.有理数的混合运算

（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右

的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通

常将小数转化为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的

两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

5.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于。，即W=a,那么这个正数

x叫做〃的算术平方根.记为

（2）非负数。的算术平方根。有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根。本

身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

6.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于“，那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说,

如果/=小那么x叫做。的立方根.记作：烟.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中。叫做被开方数.

注意：符号”3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数〃有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

7.整式的加减

（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、

合并同类项.

（2）整式的加减实质上就是合并同类项.

（3）整式加减的应用：

①认真审题，弄清已知和未知的关系；

②根据题意列出算式：

③计算结果，根据结果解答实际问题.

【规律方法】整式的加减步骤及注意问题

1.整式的加减的实质就是去括号、合并同类项.一般步骤是：先去括号，然后合并同类项.

2.去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号

外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号.

8,解一元一次方程

（I）解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针

对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化.

（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号.

（3）在解类似于“or+法=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（〃+匕）

x=c.使方程逐渐转化为ov=〃的最简形式体现化归思想.将公=匕系数化为1时;要准确

计算，一弄清求X时，方程两边除以的是“还是从尤其“为分数时；二要准确判断符号，

a、b同号X为正，。、b异号X为负.

9.由实际问题抽象出二元一次方程组

（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量

和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.

（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示

的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符.

（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割

成两个方面，有“：”时一般前后各一层，分别找出两个等量关系.③借助表格提供

信息的，按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量

关系.

10.解三元一次方程组

（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都

是1,并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

（2）解三元一次方程组的一般步骤：

①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组

中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.②然后解这个二元一次

方程组，求出这两个未知数的值.③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系

数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程.④解这个一元一次方程,

求出第三个未知数的值.⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可.

11.根与系数的关系

（1）若二次项系数为1,常用以下关系：XI,是方程f+px+q=O的两根时，X1+X2=-P，

XIX2—Q,反过来可得°=-（X1+X2）,CJ=X\X2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是

已知两根确定方程中未知系数.

（2）若二次项系数不为1,则常用以下关系：xi,X2是一元二次方程a?+bx+c=O（a#0）

的两根时，Xl+X2=—X\X2——,反过来也成立，即旦=-（X1+JC2）,——XiX2.

aaaa

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求

另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值，如求，»2+^2等等.④判断两根的

符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合,

解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑“#0,△》（）这两个前提条件.

12.点的坐标

（1）我们把有顺序的两个数。和t组成的数对,叫做有序数对，记作（a,b）.

（2）平面直角坐标系的相关概念

①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴.

②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方

向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点.它既属于x轴，又属于）'轴.

（3）坐标平面的划分

建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限,

第三象限，第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.

（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.

13.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

14.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程

组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.

（2）判断正比例函数y=%x和反比例函数y=丝在同一直角坐标系中的交点个数可总结

X

为：

ko

①当kl与k2同号时，正比例函数y=k\x和反比例函数y=_z在同一直角坐标系中有2个

交点；

ko

②当k\与女2异号时，正比例函数y=k\x和反比例函数y=上在同一直角坐标系中有0个

x

交点.

15.二次函数的性质

2

二次函数>=/+法+c（aWO）的顶点坐标是（-M,4ac~b）,对称轴直线x=-M,

2a4a2a

二次函数）=«?+法+c（a#0）的图象具有如下性质：

①当心0时，抛物线y=o?+/>x+c（”#0）的开口向上，x<-M时，y随x的增大而减小；

2a

2

X>-_L时，y随X的增大而增大；X=--L时，y取得最小值%即顶点是抛物线

2a2a4a

的最低点.

②当时，抛物线丫=。/+历什。（。¥0）的开口向下，xV一旦时，y随x的增大而增大;

2a

2

时，y随x的增大而减小；》=一旦时，y取得最大值4ac-b,即顶点是抛物线

2a2a4a

的最高点.

③抛物线>=/+法+。（aWO）的图象可由抛物线），=/的图象向右或向左平移|一且|个单

2a

位，再向上或向下平移|若衿个单位得到的.

16.二次函数图象上点的坐标特征

2

二次函数yu/+A+c（aW0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-旦，蚯工）.

2a4a

①抛物线是关于对称轴x=-M成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足

2a

函数函数关系式.顶点是抛物线的最高点或最低点.

②抛物线与J轴交点的纵坐标是函数解析中的C值.

③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（XI,0）,（X2,0）,则其

对称轴为X--~.

2

17.待定系数法求二次函数解析式

（1）二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y—cur+bx+c（a,b,c是常数，aWO）；②顶点式：y—a（.x-h）2+k（a,h,

&是常数，a/0）,其中（〃，k）为顶点坐标；③交点式：y=a（x-xi）（X-JC2）（a,b,c

是常数，a