模型D01 斜中半（原卷版）

中点问题一--斜中半 中点问题一--斜中半模型讲解【定理：斜中半】已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC的中线，则：BC＝2AD．【证明】：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是斜边BC的中线∴BD＝CD∵∠ADB＝∠EDC，AD＝DE∴△ADB≌△EDC（SAS）∴AB＝CE，∠B＝∠DCE∴AB∥CE∴∠BAC+∠ACE＝180°∵∠BAC＝90°∴∠ACE＝90°∵AB＝CE，∠BAC＝∠ECA＝90°，AC＝CA∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC＝EA∵AE＝2AD∴BC＝2AD．【逆定理】如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．则△ABC为直角三角形．【证明】：∵CD是△ABC的中线∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC为直角三角形．【模型一】在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：，且．则：（1）BM＝DM（2）BM⊥DM【证明】：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠EDC＝90°，∵点M是CE的中点，∴BM＝CE，DM＝CE，∴BM＝DM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BME＝∠1+∠2，∠EMD＝∠3+∠4，∴∠BMD＝2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM且BM⊥DM．【模型二】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AB的长度恒定，CD是斜边AB的中线，P为平面内一定点（在C运动轨迹之外），连接PC，则：PC+CD的最小值为PD．【证明】：∵AD是斜边BC的中线∴BD＝CD=AD，且长度一定∴C的运动轨迹为：以D为圆心，CD为半径的圆上。∵当P、C、D三点不共线时，PC+CD＞PD∴当P、C、D三点共线时，PC+CD=PD∴PC+CD的最小值=PD例题演练例题演练1．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°【解答】解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，∴AH＝CH＝BD．∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH＝90°．∵∠BEC＝80°，∴∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．故选：B．2．如图，在△ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，得到△ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，则点C到AB的距离为（）A． B．4 C． D．2【解答】解：连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图所示，由折叠的性质可得：BD＝DE，CB＝CE，则CG为BE的中垂线，故BG＝，∵D为AB中点，∴BD＝AD，S△CBD＝S△CAD，AD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE，∵∠EDA+∠DEA+∠DAE＝180°，即2∠DEB+2∠DEA＝180°，∴∠DEB+∠DEA＝90°，即∠BEA＝90°，在直角三角形AEB中，由勾股定理可得：BE＝＝＝，∴BG＝，∵S△ABC＝2S△BDC，∴2×＝，∴CH＝＝＝．故选：C．3．如图，在等边△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，则CF的最小值为（）A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3【解答】解：如图取AB的中点E，连接EF、EC．∵△ABC是等边三角形，AE＝EB，∴AB＝BC＝6，∠CBE＝60°，∴CE＝BC•sin60°＝3，∵∠AFB＝90°，AE＝EB，∴EF＝AB＝3，∴CF≥EC﹣EF，∴当E、F、C共线时，FC的值最小，最小值为3﹣3，故选：D．强化训练强化训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点E为AC的中点，∠DBE＝30°，BD＝2，则BC的长为．2．如图，在△ABC中，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF＝3FE，当AF⊥BF时，BC的长是．二．选择题（共6小题）3．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°4．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B． C．8 D．9如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（）A．8 B．8 C．4 D．66．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．2+2 B．2 C．2 D．67．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（）A．6 B．9 C．3 D．68．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．10．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图（1），求证：BM＝DM，且BM⊥DM；（2）如果将图（1）中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图（2），那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给出证明．1．（2020•重庆中考真题）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF