抚州市高二上学期期末考试数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精抚州市2019—2020学年度上学期学生学业发展水平测试高二年级理科数学试题卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个正确选项)1。某社区有600个家庭，其中高收入家庭120户,中等收入家庭420户,低收入家庭60户.为调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本,记作①;某学校高中二年级有15名男篮球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是()A。①简单随机抽样②系统抽样B.①分层抽样②简单随机抽样C。①系统抽样②分层抽样D.①分层抽样②系统抽样【答案】B【解析】对于①，∵社会购买力的某项指标,受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，∴要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故采用简单随机抽样法故选：B．2。某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是［96，106]，样本数据分组为[96，98）,［98，100），［100，102）,[102,104),［104，106］，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（)。A。90 B。75 C.60 D。45【答案】A【解析】样本中产品净重小于100克的频率为（0。050＋0。100)×2＝0.3，频数为36，∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0。100＋0。150＋0.125）×2＝0。75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0。75＝90。考点：频率分布直方图。3.假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元)，有如下的统计资料：12345567810由资料可知对呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（）A。26.2 B。27 C.27。6 D.28.2【答案】C【解析】【分析】先由表格中数据求出，的平均值，再由回归直线必过样本中心求出，进而可求出结果.【详解】由题意可得:,，因此这组数据的样本中心点是，由回归直线必过样本中心可得：，解得；因此线性回归方程为，所以使用年限为20年时，维修费用约为。故选C【点睛】本题主要考查线性回归直线方程，熟记线性回归直线必过样本中心即可，属于常考题型.4.如下图,该程序运行后输出的结果为（）A。7 B。15 C.31 D。63【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，当A=1时满足条件执行循环体,S=3，A=2;继续判断条件执行循环体，S=7，A=3；继续判断条件执行循环体，S=15，A=4；继续判断条件执行循环体，S=31，A=5；判断条件执行循环体，S=63，A=6，满足条件结束循环,所以输出S=63，答案选D.考点：算法与程序框图5.命题“若，则”的否命题为（）A.若，则 B.若，则C。若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】直接利用否命题的定义求解即可。【详解】因为否命题是条件和结论都要否定，所以命题“若,则”的否命题为“若，则”，故选:C.【点睛】本题主要考查否命题的基本概念，意在考查对基本概念的理解与应用，属于基础题.6。已如向量，且与互相垂直，则

A。 B. C. D。【答案】B【解析】根据题意，，因为，所以，则，即，故选7.已知5件产品中有2件次品，其余3件为合格品。现从这5件产品中任取2件，至少有一件次品的概率为（）A。0.4 B。0.6 C.0.7 D。0.8【答案】C【解析】【分析】利用组合知识,由古典概型概率公式可得结果。【详解】5件产品中任取2件共有10种取法,2件都是次品的情况有3种,至少有一件次品的取法由10-3=7种，至少有一件次品的概率为，故选：C.【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.8。已知椭圆（）的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（）A。 B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，结合椭圆的定义以及焦半径的取值范围列出关于的不等式，进而可得结果.【详解】由正弦定理得因为,，即，又，故选：D。【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，考查了正弦定理的应用,属于中档题.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围。9。设向量，若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数模的公式可得点在以为圆心,以1为半径的圆上及圆的内部，结合表示的是图中直线上方且在圆内的弓形，求出圆的面积与弓形的面积利用几何概型可得结果。【详解】因为,且,所以,点在以为圆心，以1为半径的圆上及圆的内部，表示的是图中直线上方且在圆内的弓形，而圆的面积为，，的概率为，故选：B。【点睛】本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．10.已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且，则直线的方程为(）A. B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】作与准线垂直，垂足为；作与准线垂直，垂足为，作于,利用抛物线的定义以及勾股定理，可求出直线的斜率，再由点斜式可得结果.【详解】作与准线垂直，垂足为；作与准线垂直,垂足为，作于，因为，且,所以可设，则，，可得，直线的斜率为，又因为抛物线的焦点，所以直线的方程为，故选：B。【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决。11.如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为A. B。 C。 D。【答案】B【解析】【分析】建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系,设点，利用，转化为，得出，利用空间向量法求出的表达式,并将代入的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出的最大值．【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、，设点，则，，，，,则，得，平面的一个法向量为，所以，，当时,取最大值，此时，也取最大值,且，此时,，因此，，故选B．【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解,考查运算求解能力,属于难题．12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心,当轴时，椭圆的离心率为()A. B. C. D。【答案】A【解析】【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质,得到G点坐标,再由题目条件轴,得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值,再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式,从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性,其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点,连接并延长交轴于点，轴,过点作垂直于轴于点，设点,,则，因为为的重心，所以,因为轴，所以点横坐标也为，，因为为的角平分线，则有，又因为，所以可得，又由角平分线的性质可得，，而所以得,所以，,所以，即，因为即，解得，所以答案为A。【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于的关系式,同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题。椭圆离心率求解方法主要有：(1)根据题目条件求出，利用离心率公式直接求解.（2）建立的齐次等式，转化为关于的方程求解，同时注意数形结合。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知空间单位向量，，两两互相垂直，且,则______.【答案】3【解析】【分析】利用单位向量的模为1、垂直向量数量积为0,以及向量数量积的运算法则化简求解即可。【详解】因为单位向量，，两两互相垂直,且，所以，故答案为:3.【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方14.如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是．【答案】64【解析】试题分析:由图可知甲的得分共有9个，中位数为28,∴甲的中位数为28，乙的得分共有9个，中位数为36，∴乙的中位数为36，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64考点:茎叶图与中位数15.椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点.当的周长最大时，则的值等于______。【答案】4【解析】【分析】设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义得△FAB的周长:AB+AF+BF=AB+(2a−AE）+(2a−BE）=4a+AB−AE−BE，利用三角形两边之和与第3边的关系即可得结果。【详解】设椭圆的右焦点为E。如图:由椭圆定义得△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+(2a−AE）+(2a−BE)=4a+AB−AE−BE;∵AE+BEAB;∴AB−AE−BE0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB−AE−BE4a;即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时直线x=m=c=4；故答案为：4。【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题。16.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，则该四棱锥的外接球的表面积为______。【答案】【解析】【分析】设正方形的中心，三角形的外心，取的中点,分别以,为邻边作一个矩形，可证明，点就是该外接球的球心，求出球半径，进而可得结果。【详解】设正方形的中心，三角形的外心，取的中点，连，，则,，分别以，为邻边作一个矩形，如图，因为侧面底面，则平面，平面，则，所以点就是该外接球的球心,由，可得，在中，，外接圆的表面积为,故答案为：.【点睛】要求外接球的表面积和体积,关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有:①若三条棱两垂直则用（为三棱的长)；②若面（)，则（为外接圆半径)；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径（球心在过底面多边形的外心且与底面垂直的直线上).三、(本大题共6小题，第17题10分，第18－22题每小题12分,共70分）17.已知命题:关于的不等式无解；命题：指数函数是上的增函数.（1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2）若满足为假命题且为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用判别式求得为真时的取值范围.根据指数函数的单调性求得为真时的取值范围.由于为真命题，所以真真，求两个的范围的交集，得到最终的取值范围。（2）求得假真时的取值范围，即集合，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围。【详解】解:（1)由为真命题知,解得，所以的范围是，由真命题知,,，取交集得到.综上，的范围是.（2）由（1）可知，当为假命题时，；为真命题，则解得：则的取值范围是即，而，可得，解得：所以,的取值范围是【点睛】本小题主要考查根据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集为空集的条件,考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题。18。已知椭圆经过两点，.(1)求椭圆的标准方程;(2）已知直线与椭圆交于,,且已知线段的中点为，求直线的方程。【答案】(1);（2）。【解析】【分析】（1）设椭圆方程为，代入点可得m和n的方程组,解方程可得结果;（2）检验可得M在椭圆内，设是以M为中点的弦的两个端点,A,B的坐标代入椭圆方程,相减，运用中点坐标公式和直线的斜率公式计算可得斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程.【详解】（1）设椭圆方程为,因为椭圆经过两点，，则有，，所求椭圆的标准方程为;(2)由可知M在椭圆内.设是以M为中点的弦的两个端点，,则,，两式相减得化为，整理得，则所求直线方程为,即.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程及“点差法"的应用，属于中档题.对于有关弦中点问题常用“点差法”，其解题步骤为:①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入(即代入圆锥曲线方程)；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式);④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解。19。如图，已知四棱锥的底面为棱形，且面，，，,且，分别为,的中点。（1）求证:面；（2）求二面角余弦值.【答案】（1）证明见解析;（2)。【解析】【分析】(1）先利用线面垂直的性质证明,再由菱形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得结果;（2)建立空间直角坐标系，取的中点,连，易证面，可得平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量,利用空间向量加角余弦公式可求出二面角的余弦值。【详解】（1）∵平面∴又∵在菱形中，对角线为与∴又∵∴面（2）平面内，过作直线与垂直，建立如图所示的空间直角坐标系,，，，，，∴中点,中点则取的中点，连,则，所以面，所以面的一个法向量为,设平面的一个法向量为，则∴令，则，∴令二面角的平面角为，易知该二面角为锐角∴.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4)将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离。20.某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过小时收费10元,超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算)．现有甲、乙二人参与但都不超过小时,甲、乙二人在每个时段离场是等可能的．为吸引顾客，每个顾客可以参加一次抽奖活动．(1)用表示甲乙玩都不超过小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为44元的概率；（2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个［0，1］之间的均匀随机数，并按如右所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该顾客中奖；若电脑显示“谢谢”,则不中奖，求顾客中奖的概率．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）设甲付费a元，乙付费b元，其中a，b=10,18，26，34，由此利用列举法能求出“甲、乙二人付费之和为44元”的概率；（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1点（x，y）在正方形OABC内，作出条件的区域，由此能求出顾客中奖的概率试题解析：（1）设甲付费元，乙付费元，其中．则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为：共16种情形．其中，这种情形符合题意．故“甲、乙二人付费之和为元”的概率为（2）由已知点如图的正方形内，由条件得到的区域为图中阴影部分由，令得；令得；由条件满足的区域面积．设顾客中奖的事件为，则顾客中奖的概率考点：1.古典概型概率;2.几何概型概率21。已知三棱锥（如图1）的平面展开图(如图2）中，四边形为边长为的正方形,，均为正三角形,在三棱锥中。(1）求证：平面平面；（2）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求得取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2).【解析】【分析】（1）设AC的中点为O,连接BO，PO，先证明PO⊥AC，PO⊥OB，可得PO⊥平面ABC，从而可得结论；（2）以OC，OB，OP所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系,设，求出与的坐标，令，得，化为,利用单调性可得结果。【详解】（1)设AC的中点为O，连接BO,PO．

由题意，得PA＝PB＝PC＝，