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文档简介
考向02整式与因式分解—能力提升【知识梳理】考点一、整式
1.单项式
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式.单项式是代数式的一种特殊形式,它的特点是对字母来说只含有乘法的运算,不含有加减运算.在含有除法运算时,除数(分母)只能是一个具体的数,可以看成分数因数.单独一个数或一个字母也是单项式.方法指导:(1)单项式的系数是指单项式中的数字因数.(2)单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.2.多项式
几个单项式的代数和叫做多项式.也就是说,多项式是由单项式相加或相减组成的.方法指导:(1)在多项式中,不含字母的项叫做常数项.(2)多项式中次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.(3)多项式的次数是n次,有m个单项式,我们就把这个多项式称为n次m项式.(4)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母降幂排列.另外,把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把这个多项式按这个字母升幂排列.3.整式
单项式和多项式统称整式.
4.同类项
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项.
5.整式的加减
整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用.
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
6.整式的乘除
①幂的运算性质:
②单项式相乘:两个单项式相乘,把系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
③单项式与多项式相乘:单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:
④多项式与多项式相乘:一般地,多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:
平方差公式:完全平方公式:
在运用乘法公式计算时,有时要在式子中添括号,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
⑤单项式相除:两个单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
⑥多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
方法指导:(1)同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的有理数,也可以是单项式、多项式.(2)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即(都是正整数).(3)公式的推广:(,均为正整数)(4)公式的推广:(为正整数).考点二、因式分解1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.
2.因式分解常用的方法(1)提取公因式法:(2)运用公式法:平方差公式:;完全平方公式:(3)十字相乘法:3.因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法;(3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法;(4)最后考虑用分组分解法及添、拆项法.方法指导:(1)因式分解的对象是多项式;(2)最终把多项式化成乘积形式;(3)结果要彻底,即分解到每个因式都不能再分解为止.(4)十字相乘法分解思路为“看两端,凑中间”,二次项系数一般都化为正数,如果是负数,则提出负号,分解括号里面的二次三项式,最后结果不要忘记把提出的负号添上.【能力提升训练】一、选择题1.若能被60或70之间的两个整数所整除,这两个数应当是()A.61,63B.63,65C.61,65D.63,672.乘积应等于()A.B.C.D.3.已知x2﹣x﹣1=0,则x3﹣2x+1的值为()A.﹣1 B.2 C.﹣1 D.﹣24.的个位数字是()A.2B.4C.6D.85.若为任意实数时,二次三项式的值都不小于0,则常数满足的条件是()A.B.C.D.6.如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a﹣1)cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则该矩形的面积是()A.2cm2 B. 2acm2 C. 4acm2 D. (a2﹣1)cm2二、填空题7.已知,,那么P,Q的大小关系是.8.已知,则=.9.若n是正整数,且,则=__________.10.(1)如果,那.(2)已知,则.11.对于任意的正整数,能整除代数式的最小正整数是_______.12.图1可以用来解释:(2a)2=4a2,则图2可以用来解释:.三、解答题13.若关于x的多项式﹣5x3+(2m﹣1)x2+(3n﹣2)x﹣1不含二次项和一次项,求m,n的值.14.将下列各式分解因式:(1);(2);(3);(4).15.若二次三项式能被整除,试求的值.16.已知:求的值.答案与解析1.【答案】B;【解析】2.【答案】D;【解析】3.【答案】B;【解析】∵x2+x﹣1=0,∴x2+x=1,∴x3﹣2x+1=x(x2﹣x)+x2﹣2x+1=x+x2﹣2x+1=(x2﹣x)+1=1+1=2.故选:B.4.【答案】C;【解析】的个位数字等于的个位数字.∵;.∴的个位数字等于9+7的个位数字.则的个位数字是6.5.【答案】B;【解析】,由题意得,,所以.6.【答案】C;【解析】矩形的面积是(a+1)2﹣(a﹣1)2,=a2+2a+1﹣(a2﹣2a+1),=4a(cm2),故选C.二、填空题7.【答案】P=Q;【解析】∵∴P=Q.8.【答案】-5;【解析】原式∵∴原式==-5.9.【答案】200;【解析】.10.【答案】(1)-4;(2)1;【解析】(1)原式.(2)∵∴;∴;∴,.11.【答案】10;【解析】利用平方差公式化简得10,故能被10整除.12.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2;【解析】如图2:整体来看:可看做是边长为(a+b)的正方形,面积为:(a+b)2;从部分看,可看作是有四个不同的长方形构成的图形,其中两个带阴影的长方形面积是相同的,面积为:a2+2ab+b2;∴a2+2ab+b2=(a+b)2.故答案为:(a+b)2=a2+2a
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