六年级图形问题综合(奥数)含答案

平面图形计算（一）

经典图形:

13131

1.任意三角形ABC中，CD=-AC,EC=二BC,则三角形CDE的面积占总面积的-x2=一（为什么？）

34344

2.任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和

等于左右两个三角形面积之和。（为什么？）

3.任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。（1）腰上的两个三角形面积相等；（2）上下两个三角形

面积之积等于左右两个三角形面积之积。（为什么？）

4.正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方+2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方

+2,或者等于斜边的平方+4.（为什么？）

例题:

例1.如右图，三角形ABC的面积是10,BE=2AB,CD=3BC,求三角形BDE的面积。

例2.如图，已知三角形ABC的面积是1,延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使CE=2BC,延

长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积。

F

A

B。

DE

例3.如图，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AE=ED,EF=2BF,求AEF的面积。

例4.如图，ABCD是个长方形，DEFG是个平行四边形，E点在BC边上，FG过A点，已知，三角形

AKF与三角形ADG面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。求三角形BEK的面积。

例5.如图，三角形ABC的AB和AC两条边分别被分成5等分。三角形ABC面积是500,求图中阴影部分

的面积？

例6.如图，设正方形ABCD的面积为120,E、F分别为边AB、AD的中点，FC=3GC,则阴影部分的

面积是多少？

例7.在如图所示的三角形AGH中，三角形ABC,BCD,CDE,DEF,EFG,FGH的面积分别是1,2,3,4,5,

6平方厘米，那么三角形EFH的面积是多少平方厘米？

例8.如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，EF平行于AC,如果三角形AED的面积为12平方厘米，,

求三角形DCF的面积。

练习：

1.已知正方形ABCD的边长是5cm,又EF=FG,FD=DG,求三角形ECG的面积。

2.正三角形ABC的边长为12厘米，BD,DE,EF,FG四条线段把它的面积5等分，求AF,FD,

DC,AG,GE,EB的长。

3.如图所示是某个六边形公园ABCDEF,M为AB中点，N为CD中点，，P为DE中点，Q为FA中

点，其中游览区APEQ与BNDM的面积之和为900平方米。中间的湖泊面积为361平方米，其余

的部分是草地，问草地面积共有多少平方米？

F

4.如图，AE=EC,BD=2DC,AF=3BF,若三角形ABC的面积为270平方厘米，求图中阴影部分的面

积。

5.如下图，正方形ABC。的边长为12,P是边AB上的任意一点，M、N、/、”分别是边

上的三等分点，E、F、G是边上的四等分点，图中阴影部分的面积是—一一.

6.如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米,长方形OEPG的长。G是5厘米，那么它的宽

DE是厘米.

F

BGC

7.如图，CE=4EA,BD=3CD,AF=5BF。若三角形ABC的面积为120平方厘米，求图中四个小三角

形的面积。

A

8.DF与平行四边形ABCD的BC交于E点，与AB交于F点。若三角形ABE的面积是97平方厘米,

求三角形CEF的面积。

9.梯形ABCD,AB,CD分别是梯形的上，下底。已知阴影部分的总面积为8平方厘米，三角形COD

的面积是16平方厘米，则梯形ABCD的面积为多少平方厘米？

CD

图形与面积（一）

一、填空题

1.如下图,把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D,把它的另一边AC延长2倍到E,得到一个较大

的三角形ADE,三角形AOE的面积是三角形ABC面积的入上后

2.如下图，在三角形A3C中，BC=8厘米，AO=6厘米，E、F分别为4B和AC的中点.那么三角

形EB厂的面积是_平方厘米.

3.如下图=那么,三角形AEO的面积是三角形ABC面积的—

4.下图中，三角形A8C的面积是30平方厘米，。是BC的中点，AE的长是ED的长的2倍，那么三角形

COE的面积是一—平方厘米.

------------b--0de“--BC

5.5.现有一个5X5的方格表（如下图）每个小方格的边长都是1,那么图中阴影部分的面积总和等于

6.下图正方形ABCD边长是10厘米,长方形EEG”的长为8厘米,宽为5厘米.阴影部分甲与阴影部分乙

的面积差是平方厘米.

7.如图所示,一个矩形被分成A、3、C、。四个矩形.现知A的面积是2cm；B的面积是4cm：C的面积

是6cm2.那么原矩形的面积是平方厘米.1------------

CD

8.有一个等腰梯形,底角为45°,上底为8厘米,下底为12厘米,这个梯形的面积应是平方厘米.

9.已知三角形ABC的面积为56平方厘米、是平行四边形。EEC的2倍,那么阴影部分的面积是—

平方厘米.

10.下图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是

二、解答题

11.已知正方形的面积是50平方厘米,三角形ABC两条直角边中,长边是短边的2.5倍,求三角形A8C的

面积.

c

SC

12.如图,长方形ABC。中，AB=24cm,BC=26cm,E是8C的中点，F、G分别是AB、8的四等分点,

H为AD上任意一点,求阴影部分面积.

13.有两张正方形纸，它们的边长都是整厘米数，大的一张的面积比小的一张多44平方厘米.大、小正方形

纸的边长分别是多少？

14.用面积为1,2,3,4的四张长方形纸片拼成如图所示的一个长方形.问：图中阴影部分面积是多少?

图形与面积（二）

一、填空题

1.下图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是

______厘米

2.第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一小方格的面积是1.

那么7,2,1三个数字所占的面积之和是一_—.

3.下图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是平方厘米.

4.下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是平方厘米.

5.在AABC中，BD=2DC,AE=BE,已知A4BC的面积是18平方厘米，则四边形AEOC的面积等

6.下图是边长为4厘米的正方形，A£=5厘米、OB是____厘米.

7.如图正方形A8CO的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形。EEG的长OG是5厘米，那么它的宽

DE是同来

4252030

361612

B

8.如图，一个矩形被分成10个小矩形,其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是

9.

10.如下图，正方形A8C。的边长为12,尸是边A5上的任意一点，M、N、I、”分别是边BC、AD

上的三等分点，E、F、G是边。上的四等分点，图中阴影部分的面积是.

11.下图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方厘米，四边形A8CO的

面积是_一平方厘米.

二、解答题

12.图中正六边形ABCDER的面积是54.AP=2PF,CQ=28Q,求阴影四边形CEPQ的面积.

13.如图，涂阴影部分的4、回积是16平方厘米.问：大正六角星形面积是多少平方厘米.

14.一个周长是56厘米的大长方形，按图35中（1）与（2）所示意那样,划分为四个小长方形.在（1）中小长

方形面积的比是：A:B=\:2,B:C=1:2.而在⑵中相应的比例是A':B'=1:3,B':C'=1:3.又

知,长方形D'的宽减去D的宽所得到的差,与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1:3.求大长

方形的面积.

AC4C

BDB'D'

15.如图，已知CD=5,DE=1,EF=15,尸G=6.直线A8将图形分成两部分，左边部分面积是38,

右边部分面积是65.那么三角形ADG面积是.

（-）答案：

S

1.6.如下图，连接BE,因为CE=2AC,所以，SMCE=2sMBC，即/^ABE=3sAy48c.又因为

AB=BO,所以，S.BE=SABDE，这样以来，SMDE=6SMBC.产,

2.6.已知E、F分别是A6和AC的中点，因此△ABP的面积是A46c的面积d/~——二4

的g,AEBE的面积又是AABE的面积的;.又因为SMBC=；BCXAO=；X8X6=24

（平方厘米），所以S.BF=gx；x24=6（平方厘米）.

3.工.由8E=：8C,CD=14C,可知£C=18C,AO=,AC.因为AABC与A4EC是同一个顶点，

底边在同一条线段，所以这两个三角形等高，则三角形面积与底边成正比例关系，因此

S^FC=-S..Rr.同理可知S^ED=2SA4k.这样以来，A4ED的面积是A48C的2的3,即是

3ZXAZJCL^XEJLJ4ZViiiC34

A/LBC的面积的1.

所以，AAEO的面积是AA3c的工.

2

4.5.因为。是BC的中点,所以三角形AOC和三角形ABO面积相等（等底、等高的三角形等积），从而三

角形AOC的面积等于三角形ABC面积的一半，即30+2=15（平方厘米）.在八。。£与小4。。

中，。E=■!■D4,高相等,所以NCDE的面积是MDC面积的L即\CDE的面积是1x15=5（平方

333

厘米）

5.10三个阴影三角形的高分别为3,2,2,底依次为2,4,3,所以阴影部分面积总和等于

-1X3X2+-1X2X4+-^X2X3=I0-

222

6.60设正方形438的面积为a,长方形EFGH的面积为b,重叠部分EFNM的面

积为c,则阴影部分的面积差是：（a-c）-（b-c）=a-b.即阴影部分的面积差与重叠部分的面积大小无关，

应等于正方形A8CD的面积与长方形EFGH的面积之差.所求答案:10X10-8X5=60（平方厘米）.

7.24图中的四个矩形是大矩形被两条直线分割后得到的，矩形的面积等于一组邻边的乘积.从横的方向看，

两个相邻矩形的倍比关系是一致的，6是A的2倍，那么。也应是。的2倍，所以。的面积是2X

6=12cm2,从而原矩形的面积是2+4+6+12=24cm2.

8.20如下图，从上底的两个端点分别作底边的垂线,则BCFE是矩形，AB=CD=（12-8）+2=2（厘

米）.外----------

因为24=45°,所以A43七是等腰直角三角形,则5七=48=2（厘米）.根据梯形的/：；

求积公式得：S梯形=」+；）x2=20（平方厘米）.•12-------------->|

A

9.14由已知条件,平行四边形。石尸。的面积是:56・2二28（平方厘米）如下图,连接氏

EC,EC为平行明行形OEFC的对角线，由平行四边形的性质如，S^DEC=《Sdefc

=1x28=14（平方厘米）.在AAEO与ACED中，为公共底边，OE平行于AC,从而七上的局

相等，所以，SME°=SACED=14（平方厘米）.

10.97因为长方形的面积等于AABC与AECO的面积和,所以AABC与AEC。

重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和，即51ra=49+35+13=97.4D

阴影Ir'"；

11.画两条辅助线如下图，根据条件可知,正方形面积是长方形ABC。面积的2.5倍.从而\;

A88的面积是504-2.5=20（平方厘米）.所以A48C的面积是20+2=10（平方厘米）.II7

BQ

12.连结3“，ABE”的面积为:x（36+2）x24=216（cm2）.把MH/和"WG结合起来考虑，这两

个三角形的底BF、DG相等,且都等于长方形宽的!,它们的高AH与DH之和正好是长方形的长，

4

所以这两个三角形的面积之和是：ixBFxAH+^xDGxDH=^xBFx（AH+DH）

2

=JXBFXA/）=Jx；x24x36=108（c”/）.于是,图中阴影部分的面积为216+108=324（CW）.

13.把两张正方形纸重叠在一起，且把右边多出的一块拼到上面,成为一个长方形,如图：

这个长方形的面积是44平方厘米,它的长正好是两个正方形的边长的和,它的宽正好是

两个正方形的边长的差.因为两个整数的和与它们的差是同奇或同偶，而44又只能分解成下面的三种形式:

44=1X44=2X22=4X11.所以，两个正方形的边长的厘米数的和与差只能是22与2.于是，两个正方形的边长

是（22+2）+2=12（厘米），12-2=10（厘米）.

14.如图大长方形面积为1+2+3+4=10.延长R4交底边于。，延长S3交底边于P.矩形ABPR面

积是上部阴影三角形面积的2倍.矩形ABSQ是下部阴影三角形面积的2倍.所以矩形RQS尸的面

QS

积是阴影部分面积的两倍.知C4=±1C£）,CB=-3CD48=。8-。1=33。。一±18=已2。力因

377321

此矩形RQSP的面积是大矩形面积的工，阴影部分面积是大矩形面积的.阴影部分面积=-!-X1O=—.

21212121

（二）答案：

1.170.每个小正方形的面积为400+16=25平方厘米,所以每个小正方形的边长为5cm,因此它的周长是

34X5=170厘米.

2.25.7,2,1所占面积分别为7.5,10和7.5.

3.6.5.直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围的正方形和直角三角形来计算.周围有正

方形3个,面积为1的三角形5个,面积为1.5的三角形一个,因此围成面积是4X4-3-5T.5=6.5（平

方厘米）.

4.24仿上题，大、小两个正方形面积之和减去两只空白三角形的面积和，所得的差就是阴影部分的面

积.4?+8?_f竽+把竽Q]=16+64-（32+24）=80-56=24（平方厘米）

5.12

如下图，连接AD,因为BD-2DC,所以=2sA40c；又S阿口+^/\ADCS^ABC=18>

所以SMBD=i2-因为AE=BE，所以%。去.B希；因此

A

%优=%蛇—S诙E=I8-6=12（平方厘米）.

3.2如下图，连接BE,则正方形=1x4x4=8（平方厘米）.从另一角度

6.

22A_

看，S.Rq=1x5xQ3,于是，x5xO3=8.「.06=8x2+5=3.2（厘米）

wti匕22

E

7.3.2如下图,连接AG,则A4G。的面积是正方形ABCD面积的；,也是长方形

OEEG的面积的;，于是长方形OEFG的面积等于正方形ABCD的面积4X4=16（平方/

厘米）.，£>£=16+5=3.2（厘米）.鹏

8.243我们用A,8,C,。分别表示待计算的小矩形面积上、下两个矩形,长是相同的.

A252030D

36B16C12

因此它们的面积之比，就是宽之比，反之，宽之比，就是面积之比.这样就有：20:16=A:36,

A=—■—―=45;20:16=25:B,B=———=20;20:16=30:C,C=----—=24;20:16=D:12,

162020

D=------=15.因此，大矩形的面积是：45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243

16

9.60如下图，连接P。,则阴影部分就是由四个三角形：APZ)”，APG。，APEF和APMN组成.

△PGD和APEF的底都有3,高为12,所以S.prn=5Aps=1x3x12=18.APO"和APMN的底都

△N3AT"2

是4,两条高分别为PA和PB则：+S“MN=；x4xPA+gx4xPB

=2(PA+PB)=2X12=24所以，阴影部分的面积是：S.+S.+S.+S.，=18+18+24=60

iXpr(rjLJnISPrtFLrFIXprUnrHltSrPlVMIAlN

10.4长方形石/6//的面积是6义4=24（平方厘米）二50忆+5八4”=’551=12（平方厘米）

△A匕卜ZXA/iU2