4.3.2等比数列的前n项和（第二课时）性质和应用-高二数学教材教学课件人教A版2019选择性

第四章数列4.3.2等比数列的前n项和公式人教A版选择性必修第二册教学目标

n

项和公式在几何中的应用.n项和公式解决实际问题.3.能够利用递推公式解决一些实际问题.01复习导入复习导入lna1

等比数列的前n项和公式情景导入l侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？研究侏罗纪蜘蛛网的长度，需要用到数列的哪些知识呢？02等比数列前n项和公式的性质新知探究思考1：等比数列前n项和公式Sn＝

(q≠1)有什么样的函数特征？①当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.②当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.qn的系数与常数项互为相反数.新知探究

BSn＝Aqn－A.qn的系数与常数项互为相反数.∴1﹣2λ=﹣λ∴λ=1（2）若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于

.

新知探究例2.记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ.(1)当λ＝3时，求{an}的通项公式；(2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由．分析(1)把λ＝3代入数列的前n项和，求出首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，验证后得答案．(2)由数列的前n项和求得首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，由首项适合该通项公式即可求得λ的值．新知探究新知探究

新知探究

新知探究思考2：若{an}是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶,S奇之间有什么关系？(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n⇔S偶＝qS奇⇔新知探究

D

又S奇

+60=S偶，则S奇

+60=3S偶

∴S奇=

30，S偶=

90

新知探究练习：已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)﹣(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=

.

新知探究

新知探究新知探究练习：在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=

.

解：∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4﹣S2,S6﹣S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.03等比数列的前n项和公式实际应用新知探究例1.如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和;(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.解:设各个正方形的面积组成数列{an}，正方形ABCD的面积为首项a1,

则a1=25新知探究(2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和:a1+a2+a3+…+an+…,所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.新知探究例2.去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到万吨).分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列,而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列

.因此,可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.新知探究

新知探究新知探究数列求和方法：分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2)

将等差数列和等比数列分开：Tn＝c1

+c2+…+cn

＝(a