甘肃省庆阳市宁县二中2024届数学高二第二学期期末统考试题含解析

甘肃省庆阳市宁县二中2024届数学高二第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量与向量的模均为2，若，则它们的夹角是（）A． B． C． D．2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为()A．240种 B．120种 C．96种 D．480种3．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为A． B．C． D．4．设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①若，则②若，，则③若，，则④若，，则.其中真命题的序号为（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．已知数列的前项和为，，，则（）A．128 B．256 C．512 D．10246．设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．在二项式的展开式中，的系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．808．当时，函数，则下列大小关系正确的是（）A． B．C． D．9．已知两个正态分布密度函数的图象如图所示，则（）A． B．C． D．10．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（）A．在轴上 B．在轴上C．当时在轴上 D．当时在轴上11．已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为（）A． B． C． D．以上都不对12．已知，为的导函数，则的图象是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则______.14．设曲线在点处的切线方程_________________.15．已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．16．在区间上随机地取三个不同的整数,则“这三个数是一个钝角三角形的三边长”的概率为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设为虚数单位，为正整数，（1）证明：；（2），利用（1）的结论计算．18．（12分）已知等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，，求数列的前项和.19．（12分）（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取60人，从乙校抽取50人进行分析。(1)根据题目条件完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；(2)现已知甲校三人在某大学自主招生中通过的概率分别为，，，用随机变量X表示三人在该大学自主招生中通过的人数，求X的分布列及期望.参考公式：.参考数据：21．（12分）某中学高中毕业班的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次.若考核为合格，则给予分的降分资格；若考核为优秀，则给予分的降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立.（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量，请写出所有可能的取值，并求的值.22．（10分）已知函数.（1）判断的奇偶性；（2）若在是增函数，求实数的范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由题意结合数量积的运算法则可得，据此确定其夹角即可.【题目详解】∵，∴，∴，故选A.【题目点拨】本题主要考查向量夹角的计算，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、A【解题分析】

由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案。【题目详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A.【题目点拨】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题。3、B【解题分析】

根据题意，由可得：，代入化简即可求出答案.【题目详解】由伸缩变换，得代入，得，即．选B.【题目点拨】本题考查坐标的伸缩变换公式，考查学生的转化能力，属于基础题.4、D【解题分析】

由题意结合立体几何的结论逐一考查所给的说法是否正确即可.【题目详解】逐一考查所给的命题：①如图所示，正方体中，取平面为平面，平面，直线为，满足，，但是不满足，题中所给的命题错误；②由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确；③如图所示，正方体中，取平面为，直线为，直线为，满足，，但是，不满足，题中所给的命题错误；④由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确.综上可得：真命题的序号为②④.本题选择D选项.【题目点拨】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5、B【解题分析】

Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2时，Sn＝2Sn﹣1﹣1，相减可得an+1＝2an．再利用等比数列的通项公式即可得出．【题目详解】∵Sn+1＝2Sn﹣1（n∈N+），n≥2时，Sn＝2Sn﹣1﹣1，∴an+1＝2an．n＝1时，a1+a2＝2a1﹣1，a1＝2，a2＝1．∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2．则a101×28＝3．故选：B．【题目点拨】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6、D【解题分析】

取的中点，利用，可得，从而可得，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【题目详解】取的中点，则，，.，是的中点，，，，，，，.故选：D．【题目点拨】本题考查了双曲线的离心率，确定是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力。7、A【解题分析】

根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.【题目详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，即展开式中的系数为，故选A.【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、D【解题分析】

对函数进行求导得出在上单调递增，而根据即可得出，从而得出，从而得出选项．【题目详解】∵，∴，由于时，，函数在上单调递增，由于，故，所以，而，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.9、A【解题分析】

正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二个图象的均值小，又有越小图象越瘦高，得到正确的结果．【题目详解】正态曲线是关于对称，且在处取得峰值，由图易得，故的图象更“瘦高”，的图象更“矮胖”，则.故选A.【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．10、B【解题分析】

设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的，进而可判断出焦点的位置．【题目详解】渐近线方程为，，平方，两边除，，，双曲线的焦点在轴上.故选：B.【题目点拨】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在轴或轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力．11、C【解题分析】分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于的面积，除以圆的面积。详解：由图可知，点的横坐标小于的概率为，故选C点睛：几何概型计算面积比值。12、A【解题分析】

先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【题目详解】由f（x）＝，∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，故函数y＝在区间上单调递减，故排除C．故选A．【题目点拨】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

利用向量的运算法则将已知等式化简得到,得到BC为直径,故为直角三角形,求出三边长可得的值,利用两个向量的数量积的定义求出的值.【题目详解】,.,B,C共线,BC为圆的直径,.,故.则,【题目点拨】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的充要条件、圆的直径对的圆周角为直角,求出为直角三角形及三边长,是解题的关键.14、【解题分析】

求出函数的导函数，得到函数在处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．【题目详解】由题意，函数的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，即切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即为，即．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、【解题分析】

令，对函数求导，根据条件可得单调递增，且单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解．【题目详解】的解集为的解集，令，则，因为，所以当时有，所以，即当时，单调递增，又因为，所以，所以的解集为的解集，由单调性可知，又因为为偶函数，所以解集为【题目点拨】本题解题的关键是构造新函数，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解．16、【解题分析】分析：由题意，从的六个数字中随机取出3个数，共有种方法，设三角形的三边分别为，列举其中满足的共有5种，利用古典概型概率的计算公式即可求解．详解：由题意，在区间中随机地取三个不同的整数，即从的六个数字中随机取出3个数，共有种方法，设三角形的三边分别为，其中满足的共有：，共有5种，所以概率为．点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中中正确理解题意，确定基本时间的额总数和得出事件中所包含的基本时间的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析.(2).【解题分析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当时成立，假设当时，命题成立，只需证明当时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1°当时，左边，右边，所以命题成立2°假设当时，命题成立，即，则当时，所以，当时，命题也成立综上所述，（为正整数）成立（2）由（1）结论得点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.18、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：(1)由题意求得首项和公比，据此可得数列的通项公式为；(2)错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）设数列的公比为，∵，，∴，∵，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴；（2），，，，∴，∴.19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）根据不等式的特征，分，，，构造，研究其单调性即可.（2）将当时，恒成立，转化为时，恒成立，当时，显然成立，当且时，转化为，，利用（1）的结论求解.【题目详解】（1）当时，原不等式左边与右边相等，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，综上：当时，；（2）因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，当时，显然成立，当且时，恒成立，由（1）知当且时，，所以，所以.实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

(1)由题可得表格，再计算，与6.635比较大小即可得到答案；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别利用乘法原理计算对应概率，从而求得分布列和数学期望.【题目详解】（1）2×2列联表如下通过未通过总计甲校402060乙校203050总计6050110由算得，，所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关（2）设A，B，C自主招生通过分别记为事件M，N，R，则∴随机变量X的可能取值为0，1，2，3.，所以随机变量X的分布列为：X0123P【题目点拨】本题主要考查独立性检验统计案例，随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生的分析能力，转化能力及计算能力，比较基础.21、（1）；（2）所有可能的取值为、、、，.【解题分析】

（1）计算出三名同学考核均为合格的概率，利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）根据题意得出所有可能的取值为、、、，