二次根式教学课件

1.1二次根式目录二次根式基本概念二次根式化简与计算二次根式在生活中的应用二次根式与其他知识点关联典型例题分析与解答练习题与自测题二次根式基本概念01形如$sqrt{a}$（$ageq0$）的式子叫做二次根式。其中，$a$叫做被开方数，$sqrt{a}$叫做二次根式。定义非负性平方根与算术平方根的关系乘积的算术平方根的性质$sqrt{a}geq0$（$ageq0$）。正数$a$的正的平方根叫做$a$的算术平方根，记作$sqrt{a}$。负数没有算术平方根。$sqrt{ab}=sqrt{a}timessqrt{b}$（$ageq0$，$bgeq0$）。定义与性质

根号运算规则加法与减法同类二次根式可以进行加减运算，即合并同类项。例如，$sqrt{2}+sqrt{2}=2sqrt{2}$。乘法二次根式相乘时，将被开方数相乘，根指数不变。例如，$sqrt{2}timessqrt{3}=sqrt{6}$。除法二次根式相除时，将被开方数相除，根指数不变。例如，$frac{sqrt{8}}{sqrt{2}}=sqrt{frac{8}{2}}=sqrt{4}=2$。最简二次根式被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式。例如，$sqrt{7}$、$sqrt{10}$、$sqrt{15}$等都是最简二次根式。同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。例如，$sqrt{2}$与$2sqrt{2}$是同类二次根式。分母有理化在二次根式的运算中，经常需要将分母有理化，即把分母中的根号去掉。常用的方法是通过“分子分母同时乘以分母的共轭式”来实现。例如，$frac{1}{sqrt{5}}=frac{sqrt{5}}{5}$。常见二次根式形式二次根式化简与计算02将二次根式中的公因式提取出来，简化计算过程。提取公因式法分母有理化完全平方公式法通过乘以共轭式或利用平方差公式等方法，将分母中的根号消去，使计算更为简便。将二次根式中的部分式子转化为完全平方形式，从而简化计算。030201化简方法与技巧$sqrt{a}timessqrt{b}=sqrt{atimesb}$（$ageq0,bgeq0$）乘法法则$sqrt{a}divsqrt{b}=sqrt{frac{a}{b}}$（$ageq0,b>0$）除法法则先进行乘除运算，再进行加减运算，有括号先算括号内的。混合运算法则乘除运算法则同类二次根式合并将同类二次根式（即被开方数相同的二次根式）的系数相加减，被开方数和根指数不变。异类二次根式加减先将二次根式化为最简形式，再判断是否为同类二次根式。若为同类二次根式，则按照同类二次根式的加减法则进行运算；若为非同类二次根式，则不能直接进行加减运算。加减运算法则二次根式在生活中的应用03123如矩形、正方形、三角形、梯形等，通过边长或高、底等参数，利用二次根式求解面积。计算平面图形的面积如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等，通过边长、高、半径等参数，利用二次根式求解体积。计算立体图形的体积在建筑设计、土地测量、农业等领域中，经常需要计算面积和体积，二次根式是不可或缺的数学工具。解决实际问题面积与体积计算在已知两边长的情况下，利用勾股定理和二次根式可以求解第三边的长度。求解直角三角形中的边长在航海、地理测量、建筑设计等领域中，经常需要利用勾股定理和二次根式来解决实际问题，如计算两点之间的距离、确定建筑物的角度等。解决实际问题勾股定理应用在经济学、物理学等领域中，经常需要求解最值问题，如最大利润、最小成本等，通过建立二次函数模型并利用二次根式可以求解最值。求解最值问题在化学、工程学等领域中，经常需要解决方程问题，如化学反应速率方程、工程中的振动方程等，通过转化为二次方程并利用二次根式可以求解方程的解。解决方程问题在金融领域中，经常需要计算复利和折扣问题，通过建立指数函数模型并利用二次根式可以求解相关参数。计算复利和折扣其他实际问题应用二次根式与其他知识点关联04二次根式是一元二次方程的基础，通过对二次根式的运算可以求解一元二次方程。一元二次方程的解可以通过二次根式的性质进行判断，如判别式的正负与根的情况。二次根式与一元二次方程在实际问题中的应用密切相关，如求解距离、面积等问题。与一元二次方程关系通过二次根式的性质，可以判断不等式的解集范围，如开方后正负根的情况。二次根式与不等式在实际问题中的应用也密切相关，如求解最值、判断函数单调性等问题。二次根式在不等式中的应用主要体现在对不等式进行变形和求解。与不等式关系二次根式在三角函数中的应用主要体现在对三角函数的化简和求值。通过二次根式的运算，可以将某些三角函数表达式化简为更简单的形式，便于求解和计算。二次根式与三角函数在实际问题中的应用也密切相关，如求解角度、判断三角形形状等问题。在三角函数中的应用典型例题分析与解答05例1例2分析解答解答分析若$sqrt{a+3}+(b-2)^{2}=0$，则点$M(a,b)$到$y$轴的距离是____。根据非负数的性质列式求出$a$、$b$的值，得到点$M$的坐标，再根据点到$y$轴的距离等于横坐标的长度解答。由题意得，$a+3=0$，$b-2=0$，解得，$a=-3$，$b=2$，所以，点$M$的坐标为$(-3,2)$，点$M$到$y$轴的距离是$3$。已知$sqrt{x-2}+|2y-x|=0$，求$x^{2}+y^{2}$的平方根。根据非负数的性质列式求出$x$、$y$的值，然后代入代数式进行计算即可得解。由题意得，$x-2=0$，$2y-x=0$，解得，$x=2$，$y=1$，所以，$x^{2}+y^{2}=2^{2}+1^{2}=5$。选择题解析例1已知$sqrt{a+1}+(b-1)^{2}=0$，则$(a+b)^{2019}$的值为____。例2已知$sqrt{x-3}+(y+4)^{2}=0$，则$(x+y)^{2}$的平方根是____。分析根据非负数的性质列式求出$a$、$b$的值，然后代入代数式进行计算即可得解。分析根据非负数的性质列式求出$x$、$y$的值，然后代入代数式进行计算即可得解。解答由题意得，$a+1=0$，$b-1=0$，解得，$a=-1$，$b=1$，所以，$(a+b)^{2019}=(-1+1)^{2019}=0^{2019}=0$。解答由题意得，$x-3=0$，$y+4=0$，解得，$x=3$，$y=-4$，所以，$(x+y)^{2}=(3-4)^{2}=(-1)^{2}=1$。填空题解析例1例2分析解答解答分析计算：$sqrt{8}+(pi-4)^{0}-4sin{45{^circ}}+(frac{1}{3})^{-1}$．分别根据数的开方法则、零指数幂的法则、特殊角的三角函数值及负整数指数幂的法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可。原式$=2sqrt{2}+1-4timesfrac{sqrt{2}}{2}+3=sqrt{2}+4-sqrt{2}=4$。计算：$sqrt{8}-|1-sqrt{2}|+(frac{1}{2})^{-1}-(2019+pi)^{0}$．分别根据数的开方法则、绝对值的性质、负整数指数幂的法则及零指数幂的法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可。原式$=sqrt{8}-|1-sqrt{2}|+(frac{1}{2})^{-1}-(2019+pi)^{0}$$=sqrt{8}-(sqrt{2}-1)+(frac{1}{2})^{-1}-(2019+pi)^{0}$$=sqrt{8}-sqrt{2}+1计算题解析练习题与自测题06题目1讲解题目3讲解题目2讲解化简二次根式$sqrt{8}$。首先，将8进行质因数分解，得到$8=2times2times2$。然后，将其表示为$sqrt{2^3}$。由于根式的性质，我们可以将其进一步化简为$2sqrt{2}$。化简二次根式$sqrt{18}$。首先，将18进行质因数分解，得到$18=2times3times3$。然后，将其表示为$sqrt{2times3^2}$。根据根式的性质，我们可以将其化简为$3sqrt{2}$。化简二次根式$sqrt{frac{2}{3}}$。首先，将分数内部的式子进行因式分解，得到$frac{2}{3}=frac{2times1}{3times1}$。然后，将其表示为$sqrt{frac{2}{3}timesfrac{3}{3}}$。根