理论力学ch11i虚位移原理

第十一章虚位移原理关于本章内容：属于分析力学体系矢量力学(矢量物理量：动量动量矩)牛顿(I.Newton,1642-1727)分析力学(标量物理量：广义坐标，广义速度,能量

T，V，功W)拉格朗日(J.-L.Lagrange,1736-1813)本章将虚位移原理用于静力学平衡问题。优点：可避开不必求的许多中间未知约束力。——牛顿三定律——虚位移原理1§11.1约束方程及其分类

1.约束方程质点在运动时位置及速度受到的限制——约束用数学方程式表示的约束条件——约束方程位形例2.质点在曲面上运动。位形约束方程即曲面方程（2）例1.质点在平面的槽内运动。自由度自由度约束方程（1）2

n个自由质点组成的质点系——任一质点的位置可由其直角坐标确定，称这3n个坐标的集合为该质点系的位形，位形给定则质点系中每一质点的位置就可确定。

n个质点的非自由质点系——设自由度，可用广义坐标确定质点系的位形：或系统自由度其中l为独立的完整约束方程数。32.约束方程的分类例3.质点A，B用绳子相连，且绳长l=l(t).xyBA

xA广义坐标可选择位形(xA,yA,xB,yB)约束方程yA=0（3）（4）自由度k=2根据约束方程的形式和对质点系运动限制的特性，约束可有不同的分类方式：4双面约束单面约束—如约束方程yA=0—如约束方程完整约束非完整约束—只涉及位形—还涉及速度且不可积分定常约束（不显含时间t）非定常约束（显含时间t）—如约束方程yA=0—如约束方程几何约束运动约束—只约束位形—除约束位形外还约束速度5§11.2虚位移1.位移Mx3x1x2O质点M的位移：质点系的位移：n个质点，k个自由度广义坐标质点系的位形质点系的位移其中广义位移（dt时间qS的增量）62.

实位移3.虚位移若质点系的位移或广义位移满足以下2个条件：（1）满足质点系的约束条件（2）满足质点系的动力学方程及初始条件则称其为实位移或广义实位移。实位移是惟一确定的真实位移。若质点系的位移或广义位移只满足质点系的约束条件，就称为虚位移或广义虚位移。虚位移是系统约束允许的任意假想无限小位移，与主动力无关，与时间无关，且不惟一。7实位移表示为：虚位移表示为：虚位移又称为的变分(等时变分）。、、8实位移与虚位移间的关系：例如：当质点在某瞬时处于静止时，但不一定为0在定常几何约束情况下，实位移为多个虚位移中的一个。例如：9本章为静力学，仅限于讨论定常、几何约束情况。但在非定常和运动约束情况下则不然。例如：对自由度为k的质点系（刚体或刚体系）位形各点虚位移或不独立注意广义坐标位形广义虚位移

独立将各点虚位移或用独立的广义虚位移表示出来。104.单个刚体上各点的虚位移之间关系与刚体上各点的速度关系类似虚速度法任意点的虚位移均相等平动刚体c定轴转动方向如图定轴转动刚体的虚转角11AB刚体一般平面运动P

M刚体该瞬时的虚转角②虚位移投影关系刚体该瞬时的速度瞬心为P方向如图①③两点间虚位移的关系AB方向如图125.刚体系统各点虚位移之间的关系找出各点虚位移关系的方法：解析法和几何法。（1）解析法：将各点坐标用广义坐标表示，再求变分。（2）几何法（虚速度法）类比于§2，§3章中的速度分析方法（将速度矢量改为虚位移矢量）。13例题1§11虚位移原理

例题

ABCDEF刚体系统如图所示，AE=DB=2DF=2EF=2lC为AE和DB的中点，求F和B两点虚位移的关系。14例题1§11虚位移原理

例题

ABCDEF解：1.解析法建立xy坐标系，选择广义坐标

写出B，F点的位形：xy求变分可得：15例题1§11虚位移原理

例题或以为广义虚位移，则F点的虚位移表示为

ABCDEFxy故16例题1§11虚位移原理

例题

ABCDEFxy2.几何法E点为杆DB的速度瞬心。方向

大小？？可解出与的关系17例题2§11虚位移原理

例题

ABCyEHxR

AB=BC=l0,E,H分别为杆AB，BC的中点，轮子C半径R=l0/4,在地面上纯滚动，EH为一弹簧，求：（1）B，H，C点虚位移之间的关系。（2）杆AB，BC，和轮子的虚转角（用广义坐标表示）。18例题2§11虚位移原理

例题解：1.几何法系统自由度为1，选择为广义坐标，广义虚位移为杆BC的速度瞬心为P

ABCyEHxR

P(BC)19§11虚位移原理杆AB，BC，轮子C的虚转角分别为：(

)()()例题2

例题

ABCyEHxR

P(BC)20例题2§11虚位移原理

例题

ABCyEHxR

2.解析法选择为广义坐标。写出B，H，C各点位形：21例题2§11虚位移原理

例题

ABCyEHxR

求变分：22§11.3力的虚功1.作用于质点上力的虚功虚功——力在虚位移上作的功用直角坐标的分量表示：yxz由于虚位移为假想的瞬时无限小量，不能积分，故虚功只有虚元功的形式

232.作用于刚体上力和力偶的虚功(1)虚平移刚体：力偶虚功为零力的虚功为(2)虚定轴转动刚体：力偶虚功为OA力的虚功为24设刚体在平面力系(作用点为的力，)的作用下：力的虚功在刚体上取一基点A(3)虚平面运动刚体：力系的虚功25类似动能定理中力系的元功若将基点A选为刚体的虚速度瞬心P点，则其中若刚体虚平动：若刚体虚定轴转动：A点为转动轴上一点263.有势力的虚功(1)重力重力的虚功（2）弹性力弹性力的虚功27若约束力在任意一组虚位移上所作的虚功之和为零，则称这些约束为理想约束。理想系统：满足的系统。当遇到非理想约束时，可将非理想约束力看作主动力，则余下的约束为理想约束。其中为约束力，为与对应的虚位移。4.约束力的虚功一般情况下，外约束与所允许的虚位移垂直或虚位移为零，故其虚功为零；许多内部约束所作虚功也为零。28例题3§11虚位移原理

例题

均质圆轮重,半径r,弹簧原长，刚度k，M为常力偶，轮子在斜面上纯滚动，求轮心O移动

s时，重力、弹性力、力偶M所作的虚功29例题3§11虚位移原理

例题解：系统自由度为1。重力：弹性力：设轮子的虚转角为则轮心位移为力偶：为理想约束力，对应的虚功为零。30例题3§11虚位移原理

例题因此，系统的虚功：31例题4§11虚位移原理

例题

ABCyEHxR

M作用于系统的力系的虚功。例11.2中，设弹簧原长为l0，刚度系数为k，均质杆AB和BC均重mg，轮C重m1g,系统受主动力和主动力偶矩M作用，求：32例题4§11虚位移原理

例题

ABCyEHxR

M解：1.受力分析系统中作功的力：，弹性力，杆AB、BC的重力。系统中不作功的力：轮C的重力，A，B，C，E，H处铰的约束力，轮与地面接触点的约束力。33例题4§11虚位移原理

例题

ABCyEHxR

M2.虚功表达式mgmg由于系统自由度为1，选择一个广义坐标，将各虚位移用广义虚位移表示。可选为广义坐标。34例题4§11虚位移原理

例题

ABCyEHxR

Mmgmg由例11.2中求出的结果：()35§11.4虚位移原理虚位移原理具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续保持静止平衡的充要条件是：虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位移上做的虚功之和等于零。即：虚功方程36对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统：对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。若系统全部为有势力作功时，虚功方程为37比较§6与§11：条件应用的系统平衡的含义§6力系的平衡

单个刚体（充要条件）相对惯性系静止或匀速直线运动

刚体系统（必要条件）§11虚位移原理

刚体系统（充要条件）相对惯性系静止382.虚位移原理的应用虚功方程（1）对自由度为k的系统（机构）——有k个独立的广义坐标、k个独立的广义虚位移虚功方程k个独立方程已知平衡位置，求此时各主动力之间关系已知各主动力，求平衡时的位置j=1,…k39（2）对自由度为零的系统（静定结构）——求约束处的约束力自由度为零，系统无虚位移解除一个约束，代之以相应的待求约束力（视为未知大小的主动力）系统变为k=1的机构，按(1)求解未知约束力若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出一个约束力40解题指导（1）对系统，正确写出虚功方程：是全部作功的力的虚功之和——正确找出全部作功之力，正确写出虚功（2）虚功方程中的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式（3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零。41例题5§11虚位移原理

例题

杆OD、CE、CB、DB，弹簧AB，刚度为k，弹簧未变形时，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求当θ角为平衡位置时，P＝？42解：1.分析拆除弹簧AB，用、表示弹簧对刚体系统的作用系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功。例题5§11虚位移原理

例题系统自由度为1，可选θ为广义坐标。2.列虚功方程系统中作功的力：主动力