概率统计教案

如果随机变量X的分布函数F(x)能表示成某个非负函数f(x)在(-∞,x)上的积分，即2.3连续型随机变量的概率分布称这类随机变量X为连续型随机变量连续函数称其中的f(x)为该X的分布密度,简称密度称相应的分布为连续型分布X为连续型随机变量F(x)为连续函数对连续型随机变量,有不可能事件的概率为0，概率为0的事件未必是不可能事件必然事件的概率为1，概率为1的事件未必是必然事件连续型随机变量的概率与区间的开闭无关

连续型随机变量的分布密度f(x)和分布函数F(x)具有下列性质：定理11

密度函数f(x)在(-∞,+∞)上满足2

在f(x)的连续点处Ｆ(x)可导,且3

对任意的实数a,b(a＜b)都有（归一性）证1

由连续型分布的定义即知2

在f(x)的连续点处利用积分中值定理，即得3

由连续型变量的概率与区间开闭无关,知面积=1xO函数y=f(x)是某连续型随机变量X的分布密度性质1

表明性质2

表明与分布密度f(x)相应的分布函数F(x)的图形是一条单调不减的连续曲线.F(x)1

O

x

只要知道了连续型随机变量X的分布密度f(x),就能算出X落在任一区间上的概率.因此,对连续型随机变量,通常用分布密度f(x)刻划它的概率分布.xf(x)O性质3

表明：解设随机变量X具有分布密度例如

向半径为R的圆盘形靶射击，设弹着点落在以靶心O为圆心,以r(r≤R)为半径的圆盘内的概率与圆盘的面积成正比，并设每枪都能中靶．现以X表示弹着点与圆心O的距离，求随机变量X

的分布密度.例1解在2.1节例2中,已求得故几乎唯一1)

均匀分布三种常用连续型随机变量的分布则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记作端点可闭应用与背景：舍入误差、候车时间均服从均匀分布

设X服从[2,5]上的均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的分布密度函数为设A表示事件“对X的观测值大于3”,则解例2设Y表示“三次观测中A发生的次数”,则故所求概率为

某些元件、设备或动物的寿命以及顾客取款、买票的等待时间都服从指数分布.2)指数分布f(x)F(x)

1

O

xO

x分布函数应用与背景：则称X服从参数为λ的指数分布,记作

设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为

=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.

X的分布函数为解例3这是指数分布的重要性质:“无记忆性”3)正态分布(或高斯分布)

高斯资料分布函数正态分布正态分布密度函数的几何特征钟形曲线

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量、高度等都近似服从正态分布.应用与背景概率计算如果在正态分布函数中引入变量替换标准正态分布其中

(x)与

(x)分别是N(0,1)的分布密度和分布函数

,则（标准正态分布密度）（标准正态分布函数）标准正态分布标准正态分布的图形正态分布函数的计算

正态分布

标准正态分布的分布函数满足可查表得知的分布函数：设

X服从N(0,1),计算例4解利用

(-x)＝1-

(x)

并查正态分布表即得

设

X服从N(1.5,4),计算例5解利用可得Born:30April1777inBrunsw